10.3实际问题与二元一次方程组 课件2024--2025学年人教版七年级数学下册

人教版(2024)数学七年级下册 10.3实际问题与二元一次方程组 学习目标 1 2 3 掌握列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤; 经历由实际问题建立二元一次方程组、求解、验证解的正确性与合理性的过程; 多种类型题的解决方法. 复习回顾 列方程解决实际问题的一般步骤是什么? 养牛场原有30只大牛和15只小牛,1天约用饲料675 kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛,这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg,每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗? 列方程组解决简单实际问题 探索新知 问题1 题中有哪些未知量,你如何设未知数? 问题2 题中有哪些等量关系? (1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg; (2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用 饲料为940kg. 解得: x= , y= . + = 675, + = 940 解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg, 根据等量关系,列方程组: 答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg,饲养员李 大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克,每头小牛一天需用7 到8千克与计算有一定的出入. 30x 15y 42x 20y 20 5 探索新知 + = 42, + = 20. 剧情发展:随着养牛场规模逐渐扩大,李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛,已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛,乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛,请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人? 解:设李大叔应聘请甲种饲养员x人,乙种饲养员y人,则: 8x 5y 4x 2y 答:李大叔应聘请甲种饲养员4人,乙种饲养员2人. 探索新知 解得: x =4, y = 2 例1 某市举办中学生足球比赛,规定胜一场得3分,平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场,没有输过一场,共得27分,试问该队胜几场,平几场? 题中的未知量有胜的场数和平的场数 胜场 平场 合计 场数 得分 x 3x y y 11 27 典例精析 分析 胜的场数+平的场数=11; 胜场得分+平场得分=27. 等量关系 解:设市第二中学足球队胜x场,平y场.依题意可得 答:该市第二中学足球队胜8场,平3场. 通过上述两题,总结 用二元一次方程组解 决实际问题的步骤 典例精析 解得: 一审 二设 三列 四解 五验 六答 四解 利用_法或_解出未知数的值; 三列 根据_个等量关系列出方程组; 二设 用_表示题目中的未知数; 一审 弄清题意和题目中的_; 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元法 典例精析 用二元一次方程组解决实际问题的步骤 五验 检验所求的解是否符合实际意义; 六答 写出答语. 行程问题 甲、乙两人相距42km,若两人同时相向而行,可在6h后相遇;而若两人同时同向而行,乙可在14h后追上甲。求甲、乙两人的速度。 分析:题中等量关系为: 相遇问题,即甲走6h的路程+乙走6h的路程=42; 追及问题,即乙走14h的路程=甲走14h的路程+42. 解:设甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h. 可列方程为 6(x+y)=42, 14(y-x)=42, 解得 x=2, y=5. 答:甲的速度为2km/h,乙的速度为5km/h。 变式训练 甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶.甲车长150m,乙车长250m.若两车相向而行,从车头相遇到车尾离开共需要10s;若甲车从后面追赶乙车,从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要100s.求两列火车的速度。 分析:题中等量关系为: 相遇问题,即甲车走10s的路程+乙车走10s的路程=两车车长; 追及问题,即甲车走100s的路程-乙车走100s的路程=两车车长. 解:设甲车的速度为xm/s,乙车的速度为ym/s. 可列方程为 (x+y) 10=250+150, (y-x) 100=250+150, 解得 x=22, y=18. 答:甲车的速度是22m/s,乙车的速度是18km/s。 储蓄问题 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为2.25%的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱. 解:设教育储蓄存款x元,存一年定期存款为y元. 可列方程为 x+y=2000, (1+2.25%)x+[1+2.25%(1-20%)]y=2042.75, 解得 x=1500, y=500. 答:教育储蓄存款1500元,一年定期存款500元。 教育储蓄 定期储蓄 合计 现在 x y 2000 一年后 (1+2.25%)x [1+2.25%(1-20%)]y 2042.75 变式训练 解得 x=2.25%, y=0.99%. 答:两种储蓄的年利率分别是2.25%,0.99%。 分析:题中等量关系为: 两种储蓄的税后利息和=43.92元; 两种储蓄的年利率和=3.24%. 解:设两种储蓄的年利率分别是x、y. 可列方程为 x+y=3.24%, (2000x+1000y) 80%=43.92, 李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税后可得利息43.92元;已知这两种储蓄年利率的和为3.24%,求这两种储蓄的年利率各是百分之几?(注:利息所得税=利息金额 20%) 数字问题 两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数。 解:设较大的两位数为x,较小的两位数为y. 可列方程为 x+y=68, (100x+y)-(100y+x)=2178, 解得 x=45, y=23. 答:这两个数是45和23。 分析:题中等量关系为: 两个两位数的和为68; 前一个数比后一个数大2178. 变式训练 解得 x=5, y=6. 答:这个两位数为56。 分析:这个两位数的十位数字为x,个位数字为y, 则这个两位数表示为_ 解:设这个两位数的十位数字为x,个位上的数字为y. 可列方程为 10x+y-3(x+y)=23, 10x+y=5(x+y)+1, 一个两位数,减去它的各位数之和的3倍,结果是23,这个两位数除以它的各位数之和,商是5,余数是1.这个两位数是多少? 10x+y 年龄问题 今年父亲的年龄是儿子的5倍,6年后父亲的年龄是儿子的3倍,求现在父亲和儿子的年龄各是多少? 解:设现在的父亲的年龄为x岁,儿子的年龄为y岁. 可列方程为 x=5y, x+6=3(y+6), 解得 x=30, y=6. 答:现在父亲的年龄是30岁,儿子的年龄是6岁。 分析:6年后父子俩都长了6岁,题中等量关系为: 父亲的年龄是儿子的5倍; 6年后父亲的年龄是儿子的3倍. 变式训练 解得 x=12, y=60. 答:今年小李的年龄是12岁。 分析:题中等量关系为: 今年小李年龄是爷爷年龄的 ; 12年后,小李的年龄是爷爷的 . 解:设今年小李的年龄为x岁, 则今年爷爷的年龄是y岁. 可列方程为 x= y, x+12= (y+12), 和、差、倍、分问题 "爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,"爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍,恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内,"爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂各生产帐篷多少千顶? 解:设原计划"爱心"帐篷厂生产帐篷x千顶,"温暖"帐篷厂生产y千顶. 可列方程为 x+y=9, 1.6x+1.5y=14, 解得 x=5, y=4. ∴1.6x=1.6 5=8(千顶), 1.5y=1.5 4=6(千顶) 分析:题中等量关系为: "爱心"帐篷厂和"温暖"帐篷厂原计划每周生产9千顶帐篷; 灾区急需14千顶,一周内制作帐篷数分别达到原来的1.6倍和1.5倍. 变式训练 解得 x=33, y=86. 答:去年有33个城市参加了此项活动,今年有86个城市参加。 分析:题中等量关系为: 中国去年和今年共119个城市参加活动; 今年参加活动的城市个数=去年的3倍-13个. 解:设中国内地去年、今年分别有x、y个城市参加了此项活动. 可列方程为 x+y=119, y=3x-13, "地球一小时"是每年3月最后一个星期六20时30分~21时30分熄灯一小时.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个,问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动. 几何问题 小明用8个完全相同的小长方形拼图,拼出了如图甲、乙的两种图案:图案甲是一个正方形,图案乙是一个大的长方形;图案甲的中间留下了边长是1的正方形小洞.(1)设每个小方形的宽为x,由图乙可知每个小长方形的长可表示为_.(2)求小长方形的长和宽. 分析:题中等量关系为: 由图乙知,3 长度=5 宽度; 根据两图中长与宽的数量关系得方程. (2)依题得:2x-1= x 解得x= 3 x=5 变式训练 解得 x=15, y=9. 答:正方形的面积比矩形面积大9cm2 分析:题中等量关系为: 周长为48cm; 长边-3cm=短边+3cm. 解:设长方形的长边为xcm,宽为ycm. 可列方程为 2(x+y)=48, x-3=y+3, 用长48cm的铁丝弯成一个长方形,若将长方形的长边剪掉3cm,补到较短边上去,则得到一个正方形,求正方形的面积比长方形的面积大多少? 图表信息题问题 根据图中的信息,求梅花鹿和长颈鹿现在的高度. 解:设梅花鹿的高度是xm,长颈鹿 的高度是ym, 根据题意得: x+4=y 3x+1=y, 答:梅花鹿的高度是1.5m, 长颈鹿的高度是5.5m. 解得: x=1.5 y=5.5, 小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜,2斤排骨,准备做萝卜排骨汤.下面是这一家三口的对话,请根据对话解决小明想要知道的信息: 妈妈:"今天买这两样菜共花了45元,上月买同重量的这两种菜只要36元." 爸爸:"报纸上说了萝卜的单价上涨了50%,排骨的单价上涨了20%;"小明:“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?” 变式训练 今天萝卜的单价是: 2 (1+50%)=3元/斤, 排骨的单价是: 15 (1+20%)=18元/斤. 答:今天萝卜的单价是3元/斤, 排骨的单价是18元/斤. 3x+2y=36 3(x+50%x)+2(y+20%y)=45, 解:设上月萝卜的单价是x元/斤, 排骨的单价y元/斤,根据题意得 解得. x=2 y=15 1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨,则有4吨装不下,如果每节装16.5吨,则还可多装8吨.问有多少节车皮?多少吨货物? 解:设有x节车皮,y吨货物,根据题意列出方程组得 y=15.5x+4, y=16.5x-8 课堂练习 解得 答:有12节车皮,190吨货物. 2.某班有40名同学看演出,购买甲、乙两种票共用去370元,其中甲种票每张10元,乙种票每张8元.请问甲种和乙种票各多少张? 答:甲种票25张,乙种票15张. 课堂练习 解:设购买甲种x张,乙种票y张. 根据题意得: 解得 3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各多少只? 答:鸡有23只,兔有12只. 课堂练习 解:设鸡有x只,兔有y只. 解得 头数 脚数 鸡 兔 合计 x y 35 2x 4y 94 4.有甲、乙两数,甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47,甲 数的5倍比乙数的6倍小1,这两个数分别是多少? 课堂练习 解:设甲数是x,乙数是y. 解得 答:甲数为10,乙数为 . 5.甲、乙两店共有练习本200本,某月甲店售出19本,乙店售出97本后,甲、乙两店所剩的练习本数目相等,则甲店和乙店原有练习本各多少? 答:甲店原有练习本61本,乙店原有练习本139本. 课堂练习 解:设甲店原有练习本x本,乙店原有练习本y本. 解得 6.某船顺流航行36km用3h,逆流航行24km用3h,则水流速度和船 在静水中的速度各是多少? 答:船在静水中的速度为10km/h,水流速度为2km/h. 课堂练习 解:设和船在静水中的速度是xkm/h,水流速度是ykm/h. 解得 隔壁听到人分银, 不知人数不知银。 每人五两多六两, 每人六两少五两。 多少人数多少银? 5x+6=y, 6x-5=y 由题意得: 7.古有一捕快,一天晚上他在野外的一个茅屋里,听到外边来了一群人在吵闹,他隐隐约约地听到几个声音,下面有这一古诗为证: x=11, y=61 解得: 答:有11个人,61两银. 课堂练习 解:设有x个人,y两银. 解:设甲的速度为x千米/时,乙 的速度为y千米/时,则 答:甲的速度为4千米/时,乙的速度为12千米/时. 课堂练习 8. 甲、乙两人都从A地到B地,甲步行,乙骑自行车,如果甲先走6千米乙再动身,则乙走 小时后恰好与甲同时到达B地;如果甲先走1小时,那么乙用 小时可追上甲,求两人的速度. A B 6km 解得 A B $$