期末复习 中心对称图形——平行四边形 训练 2024-2025学年苏科版八年级数学下册

期末复习—中心对称图形（平行四边形） 一．选择题 1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE＝3，AD＝8，则▱ABCD的周长为（　　） A．11 B．14 C．28 D．33 2．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．FM＝3cm，EF＝4cm，则EM为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．7cm 3．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行 B．对角线互相平分 C．一组对边相等 D．对角线互相垂直 4．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BEA＝30°，则∠A的大小为（　　） A．150° B．130° C．120° D．100° 5．平行四边形ABCD的周长为32cm，AB：BC＝3：5，则AB、BC的长分别为（　　） A．20cm，12cm B．10cm，6cm C．6cm，10cm D．12cm，20cm 6．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 8．在▱ABCD中，AC＝24，BD＝38，AB＝m，则m的取值范围是（　　） A．24＜m＜39 B．14＜m＜62 C．7＜m＜31 D．7＜m＜12 9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），四边形OABC是菱形，∠AOC＝60°，以OB为边作菱形OBB1C1，使顶点B1在OC的延长线上，再以OB1为边作菱形OB1B2C2，使顶点B2在OC1的延长线上，再以OB2为边作菱形OB2B3C3，使顶点B3在OC2的延长线上，按照此规律继续下去，则B2021的坐标是（　　） A．（﹣31011，0） B．（，） C．（﹣（）2021，0） D．（，） 10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论： ①OGAB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 11．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　） A．当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90° B．当平行四边形ABCD是菱形时，AB⊥BC C．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BD D．当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝AC 12．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 13．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 14．如图，已知长方形纸板的边长DE＝10，EF＝11，在纸板内部画Rt△ABC，并分别以三边为边长向外作正方形，当边HI、LM和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则△ABC的面积为（　　） A．6 B． C． D． 15．如图，点A，B，C在同一直线上，且ABAC，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1，S2，S3，若S1，则S2+S3等于（　　） A． B． C． D． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣1，3）和（5，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移．当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　） A．（3，1） B．（2，1） C．（1，1） D．（0，1） 17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法： ①四边形ABCD是平行四边形； ②AB＝BC； ③AC⊥BD ④AC平分∠BAD； ⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　） A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④ 19．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△AFD≌△DCE B．BE＝AD﹣DF C．AB＝AF D．AFAD 20．如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（　　） A．34 B．89 C．74 D．109 21．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 二．填空题（共20小题） 22．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝35°，则∠OBC的大小为 　 　度． 23．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝32°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A、M，再分别以点A、M为圆心，AB长为半径在直线AP下方作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的大小为 　 　度． 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 　 　． 25．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 　 　． 26．如图，七个正方形拼成一个长方形图案，若中间小正方形的面积为1，则图中最大正方形的面积等于 　 　． 27．如图，在正方形ABCD内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等． （1）若①号长方形纸片的宽为1厘米，则②号长方形纸片的宽为 　 　厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为10平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 　 　平方厘米． 28．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以0.5cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为ts．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为4cm的等边三角形，当t＝　 　s时，四边形DEBF为正方形． 29．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．点F从点A出发，沿A→D→C运动到点C，点E是边BC的中点，连接AE，AF，EF．当△AEF为直角三角形时，CF的长为 　 　． 30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，D为BC上的动点，连接AD，作菱形ADEF，且∠DAF＝60°，连接CE，当BD＝　 　时，△CDE为等腰三角形． 31．中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于E、F，则EF的长为 　 　cm． 32．如图，正方形ABCD的边长为12cm，点M和N在对角线BD上，且BN＝NM＝MD，连接AM并延长交DC于点E，连接EN并延长交AB于点F，则线段BF的长为 　 　cm． 33．如图，矩形ABCD中，AD＝6，CD＝7，E为AD上一点，且AE＝2，点F、H分别在边AB、CD上，四边形EFGH为矩形，则当△HGC为直角三角形时，AF的值是 　 　． 34．以▱ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后的坐标是 　 　． 35．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝4，BE＝3，则阴影部分的面积是 　 　． 36．如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为 　 　． 37．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，对角线AC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝　 　． 38．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA＝∠ABF＝90°，且点E、A、B三点在同一直线上，AB＝4，则△ABC的面积是 　 　． 39．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　 　． 40．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB＝AD，过点A作AE∥CD分别交BC、BD于点E、F，若3BD＝4AE，EF＝5，则线段AE的长 　 　． 41．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”． 问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，且△ABC的面积为m，如果△ABC存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN，那么m的取值范围是　 　． 三．解答题（共19小题） 42．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，若M、N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．求证：四边形AMCN是矩形． 43．如图，在△ABC中，D是AC边上一点，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F． （1）如果BD是△ABC的角平分线，求证：四边形BEDF是菱形． （2）如果BD是△ABC的中线且AC＝2BD，请判断四边形BEDF的形状并说明理由． 44．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 45．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形． （1）证明：四边形AEFD是平行四边形； （2）求∠DFE的度数． 46．如图，在正方形ABCD中，AB＝24cm．动点E，F分别在边CD，BC上，点E从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点C出发沿CB边以2cm/s的速度向点B运动（当点F到达点B时，点E也随之停止运动），连接EF．问：在AB边上是否存在一点G，使得以B，F，G为顶点的三角形与△CEF全等？若存在，求出两三角形全等时BG的长；若不存在，请说明理由． 47．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）若AB＝3，BC＝5， ①当AC＝　 　时，四边形ADCF是矩形； ②若四边形ADCF是菱形，则DG＝　 　． 48．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H． （1）求证：四边形EGFH是矩形； （2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明． 49．如图，平行四边形ABCD对角线交于点O，E、F分别是线段BO、OD上的点，并且BE＝DF． （1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形； （2）如图2，若E、F分别是线段BO、OD上的中点，在不添加辅助线的条件下，直接写出所有面积等于四边形AECF面积的三角形． 50．如图，一块边长为5的正方形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，过点A作AE⊥OB于点E． （1）求证：△ABE≌△BCO； （2）若OC＝3，求EO的长． 51．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，点E在边AB上，且AE＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿折线AD﹣DC运动，到达点C后停止运动．连接PE，作点A关于直线PE的对称点F，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）如图1，在点P的运动过程中，当F与点C重合时，求BC的长； （2）如图2，如果BC＝4，当点F落在矩形ABCD的边上时，求t的值． 52．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，连接EF交BC于点G． （1）求证：△CDE≌△CBF； （2）当E是AD的中点时，求CG的长． 53．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别为AB、AC的中点，连接DE、EF、FD． （1）若AB＝14，AC＝10，求四边形AEDF的周长； （2）EF与AD存在怎样的位置关系？证明你的结论． 54．已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G． （1）求证：AF＝CG； （2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？ 55．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF （1）求证：AE＝AF； （2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由． 56．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 57．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G． （1）若点F在边CD上，如图1 ①证明：∠DAH＝∠DCH ②猜想△GFC的形状并说明理由． （2）取DF中点M，连接MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长． 58．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O，连接AD，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数． 59．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 60．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC； （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）； （3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习—中心对称图形（平行四边形） 参考答案 一．选择题（共21小题） 1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE＝3，AD＝8，则▱ABCD的周长为（　　） A．11 B．14 C．28 D．33 2．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．FM＝3cm，EF＝4cm，则EM为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．7cm 3．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行 B．对角线互相平分 C．一组对边相等 D．对角线互相垂直 4．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BEA＝30°，则∠A的大小为（　　） A．150° B．130° C．120° D．100° 5．平行四边形ABCD的周长为32cm，AB：BC＝3：5，则AB、BC的长分别为（　　） A．20cm，12cm B．10cm，6cm C．6cm，10cm D．12cm，20cm 6．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 8．在▱ABCD中，AC＝24，BD＝38，AB＝m，则m的取值范围是（　　） A．24＜m＜39 B．14＜m＜62 C．7＜m＜31 D．7＜m＜12 9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），四边形OABC是菱形，∠AOC＝60°，以OB为边作菱形OBB1C1，使顶点B1在OC的延长线上，再以OB1为边作菱形OB1B2C2，使顶点B2在OC1的延长线上，再以OB2为边作菱形OB2B3C3，使顶点B3在OC2的延长线上，按照此规律继续下去，则B2021的坐标是（　　） A．（﹣31011，0） B．（，） C．（﹣（）2021，0） D．（，） 10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论： ①OGAB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 11．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　） A．当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90° B．当平行四边形ABCD是菱形时，AB⊥BC C．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BD D．当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝AC 12．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 13．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 14．如图，已知长方形纸板的边长DE＝10，EF＝11，在纸板内部画Rt△ABC，并分别以三边为边长向外作正方形，当边HI、LM和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则△ABC的面积为（　　） A．6 B． C． D． 15．如图，点A，B，C在同一直线上，且ABAC，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1，S2，S3，若S1，则S2+S3等于（　　） A． B． C． D． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣1，3）和（5，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移．当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　） A．（3，1） B．（2，1） C．（1，1） D．（0，1） 17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法： ①四边形ABCD是平行四边形； ②AB＝BC； ③AC⊥BD ④AC平分∠BAD； ⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　） A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④ 19．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△AFD≌△DCE B．BE＝AD﹣DF C．AB＝AF D．AFAD 20．如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（　　） A．34 B．89 C．74 D．109 21．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 二．填空题（共20小题） 22．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝35°，则∠OBC的大小为 　 　度． 23．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝32°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A、M，再分别以点A、M为圆心，AB长为半径在直线AP下方作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的大小为 　 　度． 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 　 　． 25．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 　 　． 26．如图，七个正方形拼成一个长方形图案，若中间小正方形的面积为1，则图中最大正方形的面积等于 　 　． 27．如图，在正方形ABCD内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等． （1）若①号长方形纸片的宽为1厘米，则②号长方形纸片的宽为 　 　厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为10平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 　 　平方厘米． 28．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以0.5cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为ts．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为4cm的等边三角形，当t＝　 　s时，四边形DEBF为正方形． 29．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．点F从点A出发，沿A→D→C运动到点C，点E是边BC的中点，连接AE，AF，EF．当△AEF为直角三角形时，CF的长为 　 　． 30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，D为BC上的动点，连接AD，作菱形ADEF，且∠DAF＝60°，连接CE，当BD＝　 　时，△CDE为等腰三角形． 31．中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于E、F，则EF的长为 　 　cm． 32．如图，正方形ABCD的边长为12cm，点M和N在对角线BD上，且BN＝NM＝MD，连接AM并延长交DC于点E，连接EN并延长交AB于点F，则线段BF的长为 　 　cm． 33．如图，矩形ABCD中，AD＝6，CD＝7，E为AD上一点，且AE＝2，点F、H分别在边AB、CD上，四边形EFGH为矩形，则当△HGC为直角三角形时，AF的值是 　 　． 34．以▱ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后的坐标是 　 　． 35．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝4，BE＝3，则阴影部分的面积是 　 　． 36．如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为 　 　． 37．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，对角线AC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝　 　． 38．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA＝∠ABF＝90°，且点E、A、B三点在同一直线上，AB＝4，则△ABC的面积是 　 　． 39．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　 　． 40．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB＝AD，过点A作AE∥CD分别交BC、BD于点E、F，若3BD＝4AE，EF＝5，则线段AE的长 　 　． 41．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”． 问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，且△ABC的面积为m，如果△ABC存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN，那么m的取值范围是　 　． 三．解答题（共19小题） 42．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，若M、N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．求证：四边形AMCN是矩形． 43．如图，在△ABC中，D是AC边上一点，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F． （1）如果BD是△ABC的角平分线，求证：四边形BEDF是菱形． （2）如果BD是△ABC的中线且AC＝2BD，请判断四边形BEDF的形状并说明理由． 44．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 45．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形． （1）证明：四边形AEFD是平行四边形； （2）求∠DFE的度数． 46．如图，在正方形ABCD中，AB＝24cm．动点E，F分别在边CD，BC上，点E从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点C出发沿CB边以2cm/s的速度向点B运动（当点F到达点B时，点E也随之停止运动），连接EF．问：在AB边上是否存在一点G，使得以B，F，G为顶点的三角形与△CEF全等？若存在，求出两三角形全等时BG的长；若不存在，请说明理由． 47．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）若AB＝3，BC＝5， ①当AC＝　 　时，四边形ADCF是矩形； ②若四边形ADCF是菱形，则DG＝　 　． 48．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H． （1）求证：四边形EGFH是矩形； （2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明． 49．如图，平行四边形ABCD对角线交于点O，E、F分别是线段BO、OD上的点，并且BE＝DF． （1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形； （2）如图2，若E、F分别是线段BO、OD上的中点，在不添加辅助线的条件下，直接写出所有面积等于四边形AECF面积的三角形． 50．如图，一块边长为5的正方形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，过点A作AE⊥OB于点E． （1）求证：△ABE≌△BCO； （2）若OC＝3，求EO的长． 51．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，点E在边AB上，且AE＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿折线AD﹣DC运动，到达点C后停止运动．连接PE，作点A关于直线PE的对称点F，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）如图1，在点P的运动过程中，当F与点C重合时，求BC的长； （2）如图2，如果BC＝4，当点F落在矩形ABCD的边上时，求t的值． 52．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，连接EF交BC于点G． （1）求证：△CDE≌△CBF； （2）当E是AD的中点时，求CG的长． 53．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别为AB、AC的中点，连接DE、EF、FD． （1）若AB＝14，AC＝10，求四边形AEDF的周长； （2）EF与AD存在怎样的位置关系？证明你的结论． 54．已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G． （1）求证：AF＝CG； （2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？ 55．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF （1）求证：AE＝AF； （2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由． 56．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 57．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G． （1）若点F在边CD上，如图1 ①证明：∠DAH＝∠DCH ②猜想△GFC的形状并说明理由． （2）取DF中点M，连接MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长． 58．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O，连接AD，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数． 59．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 60．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC； （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）； （3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共21小题） 1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE＝3，AD＝8，则▱ABCD的周长为（　　） A．11 B．14 C．28 D．33 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】证明OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出AB＝2OE＝6，即可得出▱ABCD的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵E是BC边上的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴AB＝2OE＝6， ∵AD＝8， ∴▱ABCD的周长＝2×（6+8）＝28， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形中位线定理得出AB＝2OE＝4是解决问题的关键． 2．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．FM＝3cm，EF＝4cm，则EM为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．7cm 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】由条件易证∠AEB＝∠AFD＝∠DMC＝90°，进而可证到四边形EFMN是矩形及∠EFM＝90°，由FM＝3cm，EF＝4cm可求出EM． 【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线， ∴∠DAE＝∠EAB∠DAB， 同理：∠ABE＝∠CBE∠ABC， ∠BCM＝∠DCM∠BCD， ∠CDM＝∠ADM∠ADC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC， ∴∠DAF＝∠BCN，∠ADF＝∠CBN， 在△ADF和△CBN中， ， ∴△ADF≌△CBN（ASA）， ∴DF＝BN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∴∠AEB＝90°， 同理可得：∠AFD＝∠DMC＝90°， ∴∠EFM＝90°， ∵FM＝3cm，EF＝4cm， ∴ME5（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出△ADF≌△CBN是解题关键． 3．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行 B．对角线互相平分 C．一组对边相等 D．对角线互相垂直 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，分别进行判断即可． 【解答】解：A、一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意； B、两条对角线互相平分的四边形为平行四边形，故此选项符合题意； C、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法． 4．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BEA＝30°，则∠A的大小为（　　） A．150° B．130° C．120° D．100° 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】由平行四边形的性质得出∠AEB＝∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝25°，再由三角形内角和定理即可得出∠A的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC的平分线交AD于E， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝30°， ∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB是解决问题的关键． 5．平行四边形ABCD的周长为32cm，AB：BC＝3：5，则AB、BC的长分别为（　　） A．20cm，12cm B．10cm，6cm C．6cm，10cm D．12cm，20cm 【专题】计算题；多边形与平行四边形；运算能力． 【分析】根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，BC＝AD，然后设AB＝3xcm，BC＝5xcm，可得到2（3x+5x）＝32，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD， ∵AB：BC＝3：5， ∴可设AB＝3xcm，BC＝5xcm， ∵平行四边形ABCD的周长为32cm， ∴2（AB+BC）＝32，即2（3x+5x）＝32， 解得：x＝2， ∴AB＝6cm，BC＝10cm． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边相等是解题的关键． 6．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（　　） A． B． C． D． 【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，由三角形中位线定理可得HPOC＝2，HP∥AC，可得EH＝6，∠DOC＝90°，由勾股定理可求PE的长． 【解答】解：如图，取OD的中点H，连接HP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6， ∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点， ∴OH＝3，OE＝3，HPOC＝2，HP∥AC， ∴EH＝6，∠DOC＝90°， ∴EP2， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识． 【分析】根据SAS证△ABE≌△CBE，得出∠BAE＝∠BCE＝20°，根据∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF＝70°，得∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）． ∴∠BAE＝∠BCE＝20°， ∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°， ∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF， ＝180°﹣90°﹣20° ＝70°， ∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF， ∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°， 故选：D． 【点评】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 8．在▱ABCD中，AC＝24，BD＝38，AB＝m，则m的取值范围是（　　） A．24＜m＜39 B．14＜m＜62 C．7＜m＜31 D．7＜m＜12 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】根据平行四边形两条对角线互相平分可得AO12，BOBD＝19，再根据三角形三边关系定理可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO12，BOBD＝19， ∵BO﹣AO＜AB＜AO+BO， ∴7＜m＜31， 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），四边形OABC是菱形，∠AOC＝60°，以OB为边作菱形OBB1C1，使顶点B1在OC的延长线上，再以OB1为边作菱形OB1B2C2，使顶点B2在OC1的延长线上，再以OB2为边作菱形OB2B3C3，使顶点B3在OC2的延长线上，按照此规律继续下去，则B2021的坐标是（　　） A．（﹣31011，0） B．（，） C．（﹣（）2021，0） D．（，） 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】连接AC、BC1，分别交OB、OB1于点D、D1，利用菱形的性质及勾股定理即可得OB的长，进一步在菱形OBB1C1计算出OB1，过点B1作B1CM⊥x轴于M，利用勾股定理计算出B1M，OM，从而得B1的坐标，同理可得B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9，B10，B11，B12，根据循环规律可得B2021的坐标． 【解答】解：连接AC、BC1，分别交OB、OB1于点D、D1， ∵A的坐标为（1，0）， ∴OA＝1， ∵四边形OABC是菱形，∠AOC＝60°， ∴OC＝OA＝1，OB＝2OD，∠COD＝30°，∠CDO＝90°， ∴CD， ∴OD， ∴OB， ∵∠AOC＝60°， ∴∠B1OC1＝90°﹣60°＝30°， ∵四边形OBB1C1是菱形， ∴∠C1D1O＝90°，，OB1＝2OD1， 在Rt△OC1D1中，， ∴， ∴OB1＝2OD1＝3， 过点B1作B1M⊥x轴于点M， 在Rt△OMB1中，OM， ∴B1M， ∴B1（，）， 同理可得：，，，B5（﹣27，0）， ，，， ，，B11（729，0）， ， 由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次菱形的边长变成原来的倍，即， ∵2021÷12＝168……5， ∴B2021的纵坐标符号与B5的相同，则B2021在y轴的负半轴上， 又31011， ∴B2021的坐标为（﹣31011，0）， 故选：A． 【点评】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键． 10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论： ①OGAB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OGAB，①正确； ③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确； ④证OG是△ACD的中位线，得OG∥CD∥AB，OGCD，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，则S△ACD＝4S△BOG，④正确； ②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，则S四边形ODGF＝S△ABF，②错误；即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OGAB，故①正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确； ∵OA＝OC，AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OG∥CD∥AB，OGCD， ∴S△ACD＝4S△AOG， ∵S△AOG＝S△BOG， ∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确； 连接FD，如图： ∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD， ∴F到△ABD三边的距离相等， ∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF， ∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误； 正确的是①③④， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识；本题综合性强，难度较大． 11．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　） A．当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90° B．当平行四边形ABCD是菱形时，AB⊥BC C．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BD D．当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝AC 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质和各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：A、当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°，不符合题意； B、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意； C、当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BD，符合题意； D、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确它们各自的性质． 12．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，证出AH＝BE＝CF＝DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF＝90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为7，AE＝BF＝CG＝DH＝4，可得AH＝3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA， ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AH＝BE＝CF＝DG． 在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中， ， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF+∠AEH＝90°， ∴∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∵AB＝BC＝CD＝DA＝7，AE＝BF＝CG＝DH＝4， ∴AH＝BE＝DG＝CF＝3， ∴EH＝FE＝GF＝GH5， ∴四边形EFGH的面积是：5×5＝25， 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形的性质和判定定理全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，证得四边形EFGH是正方形是解答此题的关键． 13．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；应用意识． 【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，根据全等三角形得到∠BAE＝∠CBF，推出点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为G，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠CBF+∠ABF＝90°， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上， 设AB的中点为G，当CPG在同一直线上时，CP有最小值，如图所示： ∵正方形ABCD的边长为4， ∴BC＝4，BG＝2， ∴CG2， ∵PG＝AG＝BG＝2， ∴CP＝22， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质、三角形的三边关系及圆的性质，确定出CP取最小值时点G的位置是解题关键，也是本题的难点． 14．如图，已知长方形纸板的边长DE＝10，EF＝11，在纸板内部画Rt△ABC，并分别以三边为边长向外作正方形，当边HI、LM和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则△ABC的面积为（　　） A．6 B． C． D． 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】由“AAS”可证△ABC≌△BJQ，可得AC＝BQ，同理可证AR＝BC，由线段的和差关系可得AC+2BC＝11，2AC+BC＝10，可求AC，BC的长，即可求解． 【解答】解：如图，延长CA交GF于R，延长CB交EF于Q， ∵四边形ACML，ABJK是正方形， ∴AC＝CM，CM⊥GD，AB＝BJ，∠ABJ＝90°， ∵四边形GFED是矩形， ∴GD∥EF， ∴MC⊥EF， ∴∠BQJ＝∠ACB＝90°＝∠ABJ， ∴∠ABC+∠BAC＝90°＝∠ABC+∠QBJ， ∴∠BAC＝∠QBJ， 在△ABC和△BJQ中， ， ∴△ABC≌△BJQ（AAS）， ∴AC＝BQ， 同理可证：AR＝BC， ∵AC+CH+AR＝11，MC+BC+BQ＝10， ∴AC+2BC＝11，2AC+BC＝10， ∴AC＝3，BC＝4， ∴S△ABCAC×BC3×4＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 15．如图，点A，B，C在同一直线上，且ABAC，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1，S2，S3，若S1，则S2+S3等于（　　） A． B． C． D． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【分析】设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可． 【解答】解：∵点D，E分别是AB，BC的中点，AB＝2BC， ∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x， ∵四边形ABGF是正方形， ∴∠ABF＝45°， ∴△BDH是等腰直角三角形， ∴BD＝DH＝2x， ∴S1＝DH•AD，即2x•2x， ∴x2， ∵BD＝2x，BE＝x， ∴S2＝MH•BD＝（3x﹣2x）•2x＝2x2， S3＝EN•BE＝x•x＝x2， ∴S2+S3＝2x2+x2＝3x2， 故选：B． 【点评】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣1，3）和（5，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移．当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　） A．（3，1） B．（2，1） C．（1，1） D．（0，1） 【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力． 【分析】根据已知条件得到AC＝3，OC＝1，OB＝5，求得BC＝6，根据正方形的性质得到DE＝OC＝OE＝1，求得O′E′＝O′C′＝1，根据相似三角形的性质得到BO′＝2，于是得到结论． 【解答】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（﹣1，3）和（5，0）． ∴AC＝3，OC＝1，OB＝5， ∴BC＝6， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE＝OC＝OE＝1， ∴O′E′＝O′C′＝1， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′＝2， ∴OC′＝5﹣2﹣1＝2， ∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，1）， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，证得△BO′E′∽△BCA是解题的关键． 17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，则下列说法： ①四边形ABCD是平行四边形； ②AB＝BC； ③AC⊥BD ④AC平分∠BAD； ⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是菱形，即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵AD＝DC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确， ∵AC＝6，BD＝8， ∴菱形ABCD的面积AC×BD6×8＝24，故⑤正确； 正确的个数有5个， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 18．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　） A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④ 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD； ②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解； ④根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确； ②∵EF， ∴OE＝2， ∵AO＝AB＝3， ∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故②正确； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G， 则FG＝1， CF， BH＝3﹣1＝2， DH＝3+1＝4， BD2，故③错误； ④△COF的面积S△COF3×1，故④正确； ∴其中正确的结论为①②④， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 19．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△AFD≌△DCE B．BE＝AD﹣DF C．AB＝AF D．AFAD 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可． 【解答】解：A、由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C＝∠AFD＝90°，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DEC． 又∵DE＝AD， ∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确； B、由△AFD≌△DCE，可得CE＝DF， 由矩形ABCD，可得BC＝AD， 又∵BE＝BC﹣EC， ∴BE＝AD﹣DF，故B正确； C、由△AFD≌△DCE，可得AF＝CD， 由矩形ABCD，可得AB＝CD， ∴AB＝AF，故C正确； D、∵∠ADF不一定等于30°， ∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故D错误； 故选：D． 【点评】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于30°，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半． 20．如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（　　） A．34 B．89 C．74 D．109 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，根据正方形的性质和平行线的性质，证△ABE≌△CDG即可；易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且两直角边长分别为h1、h1+h2，四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以S＝4h1（h1+h2）+h22＝2h12+2h1h2+h22＝（h1+h2）2+h12，将h1＝5，h2＝2代入，即可解决问题． 【解答】证明：如图，过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G， ∵四边形ABCD是正方形，l1∥l2∥l3∥l4， ∴AB＝CD，∠ABE+∠HBC＝90°， ∵CH⊥l2， ∴∠BCH+∠HBC＝90°， ∴∠BCH＝∠ABE， 同理可得，∠BCH＝∠CDG， ∴∠ABE＝∠CDG， ∵∠AEB＝∠CGD＝90°， 在△ABE和△CDG中， ， ∴△ABE≌△CDG（AAS）， ∴AE＝CG， 即h1＝h3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∵∠AEB＝∠DFA＝∠BHC＝∠CGD＝90°，∠ABE＝∠FAD＝∠BCH＝∠CDG， ∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且两直角边长分别为h1、h1+h2， ∴四边形EFGH是边长为h2的正方形， ∴正方形ABCD的面积S＝4h1（h1+h2）+h22＝2h12+2h1h2+h22＝（h1+h2）2+h12， ∵h1＝5，h2＝2， ∴S＝（h1+h2）2+h12＝49+25＝74． 故选：C． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质，本题的关键在于作好辅助线，根据已知找到全等三角形即可． 21．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 【专题】分类讨论；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案． 【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°， ∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a； ①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， 在Rt△MPC中，由勾股定理得： CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26， 又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20， ∴2a2﹣8a+26＝20， ∴（a﹣3）（a﹣1）＝0， 解得：a＝3或a＝1， ∴P（3，3）或（3，1）； ②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， ∵CM2＝OM2+OC2＝20， 在Rt△MCP中，由勾股定理得： CM2+MP2＝CP2， ∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9， 解得：a． ∴P（3，）． 综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）． 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键． 二．填空题（共20小题） 22．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝35°，则∠OBC的大小为 　55　度． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC， ∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO， 在△AMO和△CNO中， ， ∴△AMO≌△CNO（ASA）， ∴AO＝CO， ∵AB＝BC， ∴BO⊥AC， ∴∠BOC＝90°， ∵∠DAC＝35°， ∴∠BCA＝∠DAC＝35°， ∴∠OBC＝90°﹣35°＝55°． 故答案为：55． 【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质是解题的关键． 23．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝32°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A、M，再分别以点A、M为圆心，AB长为半径在直线AP下方作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的大小为 　13　度． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】由题意可得AE＝EM＝AB＝BM，由“SSS”可证△ABM≌△AEM，可得∠BAM＝∠MAE＝58°，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠BAM＝90°﹣∠PAD＝58°， 由题意可得：AE＝EM＝AB＝BM， 在△ABM和△AEM中， ， ∴△ABM≌△AEM（SSS）， ∴∠BAM＝∠MAE＝58°， ∴∠PAE＝122°， ∴∠DAE＝154°， ∵DA＝AE， ∴∠ADE＝13°， 故答案为：13． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB＝8，AC＝6，则△DEF的周长为 　12　． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC10， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10， ∴DEAB＝4，DFAC＝3，EFBC＝5， ∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 25．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 　36或32或28　． 【专题】几何综合题；推理能力． 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，以A，B，C，D为顶点的平行四边形分三种情况，一是平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，二是平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，三是平行四边形ACBD以AC、BC为邻边，分别求出相应的平行四边形的周长即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， 如图1，平行四边形ABCD以AB、BC为邻边， ∵CD＝AB＝10，AD＝BC＝8， ∴10×2+8×2＝36， ∴平行四边形ABCD的周长为36； 如图2，平行四边形ABDC以AB、AC为邻边， ∵CD＝AB＝10，DB＝AC＝6， ∴10×2+6×2＝32， ∴平行四边形ABDC的周长为32； 如图3，平行四边形ACBD以AC、BC为邻边， ∵AD＝BC＝8，DB＝AC＝6， ∴8×2+6×2＝28， ∴平行四边形ACBD的周长为28， 综上所述，此平行四边形的周长为36或32或28， 故答案为：36或32或28． 【点评】此题考查勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题过程中应分类讨论，求出所有符合题意的解． 26．如图，七个正方形拼成一个长方形图案，若中间小正方形的面积为1，则图中最大正方形的面积等于 　25　． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】若设图中正方形A的边长是a米，最小的正方形的边长是1米，从图中可看出B的边长为（a+1）米，C的边长为（a+2），D的边长为a+3；由长方形的性质得出等式求出a，求出最大正方形的周长，即可求出最大正方形的面积． 【解答】解：如图， 由中间小正方形的面积为1，则小正方形的边长为1， 设次小正方形A的边长为a，则正方形B的边长为a+1， 正方形C的边长为a+2，最大正方形D的边长为a+3， 由长方形的性质可知，a+3+a+2＝a+a+a+a+1，解得a＝2， ∴大正方形D的边长为5， ∴最大正方形的面积为25． 故答案为：25． 【点评】本题考查正方形及长方形的性质，一元一次方程的应用，理解题意能力和看图的能力，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 27．如图，在正方形ABCD内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等． （1）若①号长方形纸片的宽为1厘米，则②号长方形纸片的宽为 　2　厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为10平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 　　平方厘米． 【专题】计算题；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力． 【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等，可得②号长方形纸片的宽＝①号长方形纸片的宽×2，依此计算即可求解； （2）观察图形可知，②号长方形纸片的宽＝①号长方形纸片的宽×2，②号长方形纸片的长×3＝①号长方形纸片的长，依此计算即可求解． 【解答】解：（1）1×2＝2（厘米）． 故②号长方形纸片的宽为2厘米． 故答案为：2； （2）10÷3×2（平方厘米）． 故②号长方形纸片的面积是平方厘米． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，有理数的混合运算，解题的关键是观察图形得到②号长方形纸片的宽＝①号长方形纸片的宽×2，②号长方形纸片的长×3＝①号长方形纸片的长． 28．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以0.5cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为ts．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为4cm的等边三角形，当t＝　4　s时，四边形DEBF为正方形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；应用意识． 【分析】根据等边三角形的性质，可以得到BD的长，然后根据菱形的性质可以得到OD的长和BD⊥EF，再根据正方形的性质，可以得到OD＝OE，然后即可计算出t的值． 【解答】解：∵△ABD是边长为4cm的等边三角形， ∴BD＝4cm， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴OD＝2cm， ∵四边形DEBF为正方形， ∴OD＝OE， ∴t＝2÷0.5＝4， 即t＝4时，四边形DEBF为正方形， 故答案为：4． 【点评】本题考查等边三角形的性质、菱形的性质、正方形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 29．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．点F从点A出发，沿A→D→C运动到点C，点E是边BC的中点，连接AE，AF，EF．当△AEF为直角三角形时，CF的长为 　或　． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】根据正方形的性质，分两种情况解答即可． 【解答】解：根据题意，可知AB＝CD＝BC＝AD＝2，BE＝CE＝1，CD＝∠C＝∠B＝90°． 当∠AEF＝90°时， 如图1： 设CF＝x，则有DF＝2﹣x． ∵AF2＝AE2+EF2＝AD2+DF2＝4+（2﹣x）2，AE2＝AB2+BE2＝4+1＝5，EF2＝CF2+CE2＝x2+1， ∴4+（2﹣x）2＝5+x2+1． 解得． 如图2， 当∠AFE＝90°时， 可知DF＝AF＝1，所以． 故答案为或． 【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和勾股定理解答． 30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，D为BC上的动点，连接AD，作菱形ADEF，且∠DAF＝60°，连接CE，当BD＝　22或22或或2　时，△CDE为等腰三角形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【分析】如图，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，过点D作DK⊥AB于点K，设BD＝x，则CD＝4x，DG＝2x，由勾股定理可得DE2＝x2﹣4x+16，再运用勾股定理、全等三角形的判定和性质可求得CE2＝3x2﹣16x+64，根据△CDE为等腰三角形，可得：CD2＝CE2或CD2＝DE2或CE2＝DE2，分别建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，过点D作DK⊥AB于点K， 在Rt△ABG中，∠AGB＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴AGAB＝2， ∴BG2， ∵AB＝AC，AG⊥BC， ∴BC＝2BG＝4，∠BAG＝∠CAG∠BAC， ∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠C＝∠B＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∴∠BAG＝∠CAG＝60°， ∵四边形ADEF是菱形，且∠DAF＝60°， ∴AD＝DE， 设BD＝x，则CD＝4x，DG＝2x， ∴AD2＝AG2+DG2＝22+（2x）2＝x2﹣4x+16， ∴DE2＝x2﹣4x+16， 在Rt△BDK中，∠B＝30°， ∴DKBDx， ∴BKx， ∴AK＝AB﹣BK＝4x， ∵∠DAF＝60°， ∴∠EDH+∠ADG＝120°， ∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠DAK+∠DAG＝∠BAG＝60°， ∴∠ADG＝∠DAK+30°， ∴∠EDH+∠DAK＝90°， ∵∠ADK+∠DAK＝90°， ∴∠EDH＝∠ADK， 在△EDH和△ADK中， ， ∴△EDH≌△ADK（AAS）， ∴EH＝AK＝4x，DH＝DKx， ∴CH＝CD﹣DH＝4xx＝4x， 在Rt△CEH中，CE2＝CH2+EH2＝（4x）2+（4x）2＝3x2﹣16x+64， ∵△CDE为等腰三角形， ∴CD2＝CE2或CD2＝DE2或CE2＝DE2， 当CD2＝CE2时，（4x）2＝3x2﹣16x+64， 解得：x＝22或x＝22， ∴BD＝22或22； 当CD2＝DE2时，（4x）2＝x2﹣4x+16， 解得：x， ∴BD，DC， 此时点在点G的右侧，DG＝BD﹣BG2， ∴tan∠ADG， ∴∠ADG＝60°， ∴∠ADC＝120°， ∵四边形ADEF是菱形，且∠DAF＝60°， ∴DE＝AD，且∠ADE＝∠ADC＝120° 即点E与点C重合，△CDE不存在， ∴BD不符合题意，舍去； 当CE2＝DE2时，3x2﹣16x+64＝x2﹣4x+16， 化简得：x2﹣6x+24＝0， 解得：x＝2或x＝4， 当x＝4，即BD＝4时，点D与点C重合，△CDE不存在，故舍去， ∴BD＝2． 综上所述，BD＝22或22或或2时，△CDE为等腰三角形． 故答案为：22或22或2． 【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的运用，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定和性质，运用分类讨论思想思考问题是解题关键． 31．中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于E、F，则EF的长为 　　cm． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AOAC＝8cm，BOBD＝6cm，根据勾股定理得到AB10（cm），根据菱形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AOAC＝8cm，BOBD＝6cm， ∴AB10（cm）， ∵S菱形ABCDAC•BD＝AB•EF， ∴16×12＝10EF， ∴EF， 故EF的长为cm， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 32．如图，正方形ABCD的边长为12cm，点M和N在对角线BD上，且BN＝NM＝MD，连接AM并延长交DC于点E，连接EN并延长交AB于点F，则线段BF的长为 　3　cm． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；应用意识． 【分析】根据四边形ABCD是正方形，证明△MAB∽△MED，有，即，可得DE＝6cm，同理△NBF∽△NDE，，即，即得BF＝3cm． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠MAB＝∠MED，∠MDE＝∠MBA， ∴△MAB∽△MED， ∴， ∵BN＝NM＝MD，AB＝12cm， ∴， ∴DE＝6（cm）， 同理△NBF∽△NDE， ∴，即， ∴BF＝3（cm）． 故答案为：3． 【点评】本题考查正方形中的相似三角形，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例列方程解决问题． 33．如图，矩形ABCD中，AD＝6，CD＝7，E为AD上一点，且AE＝2，点F、H分别在边AB、CD上，四边形EFGH为矩形，则当△HGC为直角三角形时，AF的值是 　3或4或　． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】首先可判断出∠HGC＝90°，设AF＝x，再利用△AEF∽△BFC，得，代入解方程即可；当∠HGC＝90°时，画出图形，利用一线三等角相似可得答案． 【解答】解：当△HGC为直角三角形时，当∠HGC＝90°， ∵四边形EFGH是矩形， ∴∠HGF＝90°， ∴∠HGF+∠HGC＝180°， ∴点F、G、C三点共线， 设AF＝x，则BF＝7﹣x， ∴△AEF∽△BFC， ∴， ∴， 解得x＝3或4， ∴AF＝3或4； 当∠HGC＝90°时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴EH＝FG，∠HEF＝∠EFG＝90°， ∵∠A＝∠D＝∠B＝90°， ∴∠DEH＝∠BGF， ∴△DEH≌△BGF（AAS）， ∴DH＝BF， 设AF＝x，则BF＝DH＝7﹣x， 由△DEH∽△AFE得， ， ∴， 解得x， ∴AF， 故答案为：3或4或． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，判定出点F、G、C三点共线是解题的关键． 34．以▱ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后的坐标是 　（5，5）　． 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】先根据题意画出图形，然后可求出点C的坐标，进而根据平移的特点可得出平移后的坐标． 【解答】解：图形如上：可得C（5，3）， ∴平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（5，5）． 故答案为：（5，5）． 【点评】本题考查平移的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握平移的特点及平行四边形的性质． 35．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝4，BE＝3，则阴影部分的面积是 　19　． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】先由勾股定理求得AB的长，得到正方形ABCD的面积，然后求得△ABE的面积，最后得到阴影部分的面积． 【解答】解：∵AE＝4，BE＝3，∠AEB＝90°， ∴AB5，S△ABE6， ∴S正方形ABCD＝AB×BC＝5×5＝25， ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝25﹣6＝19， 故答案为：19． 【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理，解题的关键是通过勾股定理求得正方形的边长． 36．如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为 　（﹣2，﹣1）　． 【专题】推理填空题；平面直角坐标系；多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】根据平行四边形的性质是中心对称图形即可解决问题． 【解答】解：∵点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD， ∴点O是平行四边形的性质的对称中心， ∵点A的坐标为（2，1）， ∴点C的坐标为：（﹣2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，﹣1）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 37．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，对角线AC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝　5　． 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝3，根据勾股定理得到BC4，求得AD＝BC＝4，过Q作QH⊥BC于H，根据等腰直角三角形的性质得到BH＝QH，根据全等三角形的性质得到CH＝CD＝3，于是得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝3， ∵∠BCD＝∠QCP＝90°， ∴∠QCH＝∠PCD， ∵AB＝3，AC＝5， ∴BC4， ∴AD＝BC＝4， 过Q作QH⊥BC于H， ∴∠QHB＝∠QHC＝90°， ∵BE平分∠ABC交AD于点E， ∴∠QBH＝45°， ∴△BQH是等腰直角三角形， ∴BH＝QH， ∵CP⊥CQ， ∴∠QCP＝90°， ∵△PCQ为等腰三角形， ∴CQ＝CP， ∵∠CDP＝∠CHQ＝90°，∠QCH＝∠PCD， ∴△CQH≌△CPD（AAS）， ∴CH＝CD＝3， ∴BH＝QH＝1， ∴PD＝QH＝1， ∴AP＝AD+PD＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 38．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA＝∠ABF＝90°，且点E、A、B三点在同一直线上，AB＝4，则△ABC的面积是 　8　． 【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【分析】根据正方形的性质得到AC＝AF，∠CAF＝90°，证明△CAE≌△AFB，根据全等三角形的性质得到EC＝AB＝4，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵四边形ACDF是正方形， ∴AC＝AF，∠CAF＝90°， ∴∠EAC+∠FAB＝90°， ∵∠ABF＝90°， ∴∠AFB+∠FAB＝90°， ∴∠EAC＝∠AFB， 在△CAE和△AFB中， ， ∴△CAE≌△AFB， ∴EC＝AB＝4， ∴阴影部分的面积AB×CE＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 39．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　2或7　． 【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】分点P在AB和CD上两种情况讨论即可． 【解答】解：∵△DCE是直角三角形， ∴△PBC为直角三角形， ∴点P只能在AB上或者CD上， 当点P在AB上时，有BP＝CE， ∴BP＝CE＝1， ∴AP＝2， ∴t＝2÷1＝2， 当点P在CD上时，有CP＝CE＝1， ∴t＝（3+3+1）÷1＝7， 故答案为：2或7． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定，关键是要考虑到点P的两种情况，牢记三角形全等的性质． 40．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB＝AD，过点A作AE∥CD分别交BC、BD于点E、F，若3BD＝4AE，EF＝5，则线段AE的长 　15　． 【专题】几何综合题；压轴题；推理填空题；运算能力；推理能力． 【分析】方法一：如图，过点A作BC平行线AG交DC于点G，可得四边形AECG是平行四边形，证明△BEF是等边三角形，BE＝BF＝EF＝5，然后证明△AEB≌△AGD（AAS），可得AE＝AG，得四边形AECG是菱形，所以AE＝EC，由3BD＝4AE，设BD＝4x，则AE＝3x，列式可得4x﹣5＝3x，进而可以解决问题； 方法二：连接AC交BD于点O，可得AC是BD的垂直平分线，设BD＝4x，则AE＝3x，证明△AOF∽△COD，对应边成比例，列出方程求出x的值，进而可得AE的长． 【解答】解：方法一：如图，过点A作BC平行线AG交DC于点G， ∵AE∥CD， ∴四边形AECG是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵△BCD是等边三角形， ∴∠DBC＝∠BDC＝60°， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵AE∥CD， ∴∠AEB＝∠C， ∵AG∥BC， ∴∠AGD＝∠C， ∴∠AEB＝∠AGD， 在△AEB和△AGD中， ， ∴△AEB≌△AGD（AAS）， ∴AE＝AG， ∴四边形AECG是菱形， ∴AE＝EC， ∴∠AEB＝∠BCD＝60°， ∴∠AEB＝∠FBE＝∠BFE＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴BE＝BF＝EF＝5， ∵3BD＝4AE， ∴， 设BD＝4x，则AE＝3x， ∵△BCD是等边三角形， ∴BC＝CD＝BD＝4x， ∴CE＝BC﹣BE＝4x﹣5， ∴4x﹣5＝3x， 解得x＝5， ∴AE＝3x＝15， 方法二：如图，连接AC交BD于点O， ∵3BD＝4AE， ∴， 设BD＝4x，则AE＝3x， ∵△BCD是等边三角形， ∴BC＝CD＝BD＝4x，∠DCB＝∠DBC＝60°， ∵AB＝AD，BC＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴OB＝OD＝2x，OC平分∠BCD， ∴∠DCODCB＝30°， ∵AE∥CD， ∴∠DCO＝30°， ∴OC2x， ∵AE∥CD， ∴∠AEB＝∠BCD＝60°， ∴∠AEB＝∠FBE＝∠BFE＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴BE＝BF＝EF＝5， ∴OF＝OB﹣BF＝2x﹣5，AF＝AE﹣EF＝3x﹣5， ∵∠AOF＝∠COD，∠OAF＝∠OCD， ∴△AOF∽△COD， ∴， ∴， 解得x＝5，x＝0（舍去）， ∴AE＝AF+EF＝3x﹣5+5＝3x＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到△AOF∽△COD． 41．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”． 问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，且△ABC的面积为m，如果△ABC存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN，那么m的取值范围是　4m≤8　． 【专题】分类讨论；推理能力． 【分析】由△ABC的面积为m可得△ABC的高为，然后再分三角形的高取最大值和最小值两种情况求解即可． 【解答】解：∵△ABC的面积为m， ∴△ABC的BC边上的为高， 如图：当高取最小值时，△ABC为等边三角形， 点A与M或N重合， 如图：过A作AD⊥BC，垂足为D ∵等边三角形ABC，BC＝4， ∴∠ABC＝60°，BC＝4，∠BAD＝30°． ∴BD＝2， ∴AD2， ∴2，即． 如图： 当高取取最大值时，菱形为正方形． ∴点A在MN的中点， ∴， ∴4m≤8， 故答案为：4m≤8． 【点评】本题主要考查了菱形的性质/正方形的性质/等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活运用相关知识成为解答本题关键． 三．解答题（共19小题） 42．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，若M、N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．求证：四边形AMCN是矩形． 【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵MO＝NO， ∴MN＝2MO， ∵AC＝2MO， ∴MN＝AC， ∴四边形AMCN是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 43．如图，在△ABC中，D是AC边上一点，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F． （1）如果BD是△ABC的角平分线，求证：四边形BEDF是菱形． （2）如果BD是△ABC的中线且AC＝2BD，请判断四边形BEDF的形状并说明理由． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】（1）先证四边形BEDF是平行四边形，再证BE＝DE，即可证四边形BEDF为菱形； （2）由题意可得AD＝CD＝BD，等边对等角可得∠BAC＝∠ABD，∠BCA＝∠CBD，由三角形的内角和定理可求∠ABC＝90°，即可得平行四边形BEDF是矩形． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠DBF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBF， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴DE＝BE， ∴平行四边形BEDF是菱形； （2）解：四边形BEDF是矩形，理由如下： ∵DE∥BC，DF∥AB， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CDAC， ∵AC＝2BD， ∴AD＝CD＝BD， ∴∠BAC＝∠ABD，∠BCA＝∠CBD， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA+∠CBD＝180°，即2∠ABD+2∠CBD＝180°， ∴∠ABD+∠CBD＝90°，即∠ABC＝90°， ∴平行四边形BEDF是矩形． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识；掌握菱形的判定与矩形的判定方法是本题的关键． 44．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】（1）由AM是△ABC的中线，D与M重合得DC＝BD，再根据平行线的性质证明∠EDC＝∠B，∠ECD＝∠ADB，即可证明△ECD≌△ADB，则DE与AB平行且相等，可证明四边形ABDE是平行四边形； （2）过点M作MG∥AB交CG于点G，则四边形DEGM是平行四边形，得MG＝DE，由（1）得MG＝AB，所以DE＝AB，而DE∥AB，即可证明四边形ABDE是平行四边形． 【解答】（1）证明：如图1，∵AM是△ABC的中线，D与M重合， ∴DC＝BD， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B， ∵CE∥AM，即CE∥AD， ∴∠ECD＝∠ADB， 在△ECD和△ADB中， ， ∴△ECD≌△ADB（ASA）， ∴DE＝AB， ∴四边形ABDE是平行四边形． （2）成立，理由如下： 如图2，过点M作MG∥AB交CG于点G， ∵DE∥AB， ∴MG∥DE， ∵CE∥AM， ∴四边形DEGM是平行四边形， ∴MG＝DE， 由（1）得MG＝AB， ∴DE＝AB， ∴四边形ABDE是平行四边形． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明△ECD≌△ADB是解题的关键． 45．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形． （1）证明：四边形AEFD是平行四边形； （2）求∠DFE的度数． 【专题】几何综合题；推理能力． 【分析】（1）由△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，得DB＝AB＝AD，BF＝BC＝FC，EC＝AC＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠ACE＝BCF＝60°，则∠DBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF，∠ECF＝∠ACB＝60°﹣∠ACF，进而可证明△DBF≌△ABC，△EFC≌△ABC，得DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，即可证明四边形AEFD是平行四边形； （2）先根据勾股定理的逆定理求得∠BAC＝90°，再有∠BAD＝∠CAE＝60°，即可求得∠DFE＝∠DAE＝150°． 【解答】（1）证明：∵如图，∵△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形， ∴DB＝AB＝AD，BF＝BC＝FC，EC＝AC＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠ACE＝BCF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF，∠ECF＝∠ACB＝60°﹣∠ACF， 在△DBF和△ABC中， ， ∴△DBF≌△ABC（SAS）， ∴DF＝AC， ∴DF＝AE， 在△EFC和△ABC中， ， ∴△EFC≌△ABC（SAS）， ∴EF＝AB， ∴EF＝AD， ∴四边形AEFD是平行四边形． （2）解：如图，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴AB2+AC2＝32+42＝25，BC2＝52＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠DAE＝360°﹣∠BAD﹣∠CAE﹣∠BAC＝150°， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠DFE＝∠DAE＝150°， ∴∠DFE的度数是150°． 【点评】此题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 46．如图，在正方形ABCD中，AB＝24cm．动点E，F分别在边CD，BC上，点E从点C出发沿CD边以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点C出发沿CB边以2cm/s的速度向点B运动（当点F到达点B时，点E也随之停止运动），连接EF．问：在AB边上是否存在一点G，使得以B，F，G为顶点的三角形与△CEF全等？若存在，求出两三角形全等时BG的长；若不存在，请说明理由． 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】分两种情况讨论，由全等三角形的性质列出等式，可求解． 【解答】解：存在．设运动时间为ts． 则CE＝tcm，CF＝2tcm，BF＝（24﹣2t）cm． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°． （1）当△BGF≌△CEF时，BF＝CF． ∴24﹣2t＝2t． ∴t＝6． ∴BG＝CE＝t＝6（cm）． （2）当△BFG≌△CEF时，BF＝CE． ∴24﹣2t＝t． ∴t＝8． ∴BG＝CF＝2t＝16（cm）． 综上所述，在AB边上存在一点G，使得以B，F，G为顶点的三角形与△CEF全等，此时BG的长为6cm或16cm． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 47．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）若AB＝3，BC＝5， ①当AC＝　3　时，四边形ADCF是矩形； ②若四边形ADCF是菱形，则DG＝　　． 【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥AB，再证四边形ABDF是平行四边形，得AF＝BD，则AF＝DC，即可得出结论； （2）①由（1）可知，四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADC＝90°，即可得出结论； ②由菱形的性质得AC⊥DF，AD＝CD＝BD＝CF，再证△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，则AC＝4，然后由平行四边形的性质得DF＝AB＝3，最后由菱形的面积求出DG的长即可． 【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，BD＝CD， ∴DE∥AB， ∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AF＝BD， ∴AF＝DC， ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形； （2）解：①当AC＝3时，四边形ADCF是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝3，AC＝3， ∴AB＝AC， ∵D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCF是矩形； ②∵四边形ADCF是菱形， ∴AC⊥DF，AD＝CD＝BD＝CF， ∴CF＝ADBC， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AC4， 由（1）可知，四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝3， ∵DG⊥CF， ∴S菱形ADCFAC•DF＝CF•DG， 即4×3•DG， ∴DG， 故答案为：． 【点评】此题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 48．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H． （1）求证：四边形EGFH是矩形； （2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】（1）根据角平分线的性质进行导角，可求得四边形EGFH的四个内角均为90°，进而可说明其为矩形． （2）根据题目条件可得四边形MNQP为平行四边形，要证菱形只需邻边相等，连接GH，由于MN＝EF＝GH，要证MN＝MP，只需证GH＝MP，只需证四边形MFHP为平行四边形，可证G、H点分别为MN、PQ中点，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE， ∴∠FEH，∠EFH∠DFE， ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°， ∴∠FEH+∠EFH（∠BEF+∠DFE）180°＝90°， ∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°， ∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°， 同理可得：∠EGF＝90°， ∵EG平分∠AEF， ∵EH平分∠BEF， ∴∠GEF∠AEF，∠FEH∠BEF， ∵点A、E、B在同一条直线上， ∴∠AEB＝180°，即∠AEF+∠BEF＝180°， ∴∠FEG+∠FEH（∠AEF+∠BEF）180°＝90°， 即∠GEH＝90°， ∴四边形EGFH是矩形 （2）解：他的猜想正确， 理由是： ∵MN∥EF∥PQ，MP∥NQ， ∴四边形MNQP为平行四边形． 如图，延长EH交CD于点O， ∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE， ∴∠FOE＝∠FEO， ∴EF＝FD， ∵FH⊥EO， ∴HE＝HO， ∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH， ∴△EHP≌△OHQ， ∴HP＝HQ， 同理可得GM＝GN， ∵MN＝PQ， ∴MG＝HP， ∴四边形MGHP为平行四边形， ∴GH＝MP， ∵MN∥EF，ME∥NF， ∴四边形MEFN为平行四边形， ∴MN＝EF， ∵GH＝EF， ∴MN＝MP， ∴平行四边形MNQP为菱形． 【点评】本题考查矩形、菱形的性质与判定，属于综合题，熟练掌握菱形和矩形的性质及判定方法是解题关键． 49．如图，平行四边形ABCD对角线交于点O，E、F分别是线段BO、OD上的点，并且BE＝DF． （1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形； （2）如图2，若E、F分别是线段BO、OD上的中点，在不添加辅助线的条件下，直接写出所有面积等于四边形AECF面积的三角形． 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）根据平行四边形的性质和面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是线段BO、OD上的中点， 由（1）可得四边形AECF是平行四边形， ∴△ABC的面积＝△ACD的面积＝△ABD的面积＝△BCD的面积＝四边形AECF面积的三角形． 【点评】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD解答． 50．如图，一块边长为5的正方形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，过点A作AE⊥OB于点E． （1）求证：△ABE≌△BCO； （2）若OC＝3，求EO的长． 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】（1）由“AAS”可证△ABE≌△BCO； （2）由勾股定理可得BO＝4，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵OC⊥OB，AE⊥OB， ∴∠AEB＝∠BOC＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠OBC， ∴∠BAE＝∠OBC， 在△ABE和△BCO中， ， ∴△ABE≌△BCO； （2）∵△ABE≌△BCO， ∴BE＝OC＝3， 在Rt△BOC中，BO4， ∴OE＝OB+BE＝7． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 51．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，点E在边AB上，且AE＝5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度，沿折线AD﹣DC运动，到达点C后停止运动．连接PE，作点A关于直线PE的对称点F，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）如图1，在点P的运动过程中，当F与点C重合时，求BC的长； （2）如图2，如果BC＝4，当点F落在矩形ABCD的边上时，求t的值． 【专题】几何综合题；推理能力． 【分析】（1）如图1，连接AC交PE于O，过点P作PT⊥AB于T，根据轴对称性质和矩形性质可证得△AEO≌△CPO（ASA），再证明△PET∽△ACB，运用相似三角形性质即可求得答案； （2）根据题意，点F不能落在边AD和边AB上，分一下两种情况：①当点在AD边上、点F落在CD边上时，②当点P、F都落在CD边上时，③当点P在CD边上、点F落在BC边上时，分别画出图形，运用相似三角形性质、勾股定理即可求得答案． 【解答】解：（1）如图1，连接AC交PE于O，过点P作PT⊥AB于T， ∵点A关于直线PE的对称点F与点C重合， ∴PE⊥AC，OA＝OC， ∴∠AOE＝∠COP＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝9， ∴∠EAO＝∠PCO， 在△AEO和△CPO中， ， ∴△AEO≌△CPO（ASA）， ∴CP＝AE＝5， ∴DP＝BE＝4， ∵∠DAB＝∠D＝∠ATP＝90°， ∴四边形ADPT是矩形， ∴AT＝DP＝4，PT＝AD＝BC， ∴ET＝1， ∵∠ETP＝∠CBA＝∠AOE＝90°， ∴∠EPT+∠PET＝∠CAB+∠PET＝90°， ∴∠EPT＝∠CAB， ∴△PET∽△ACB， ∴， ∴， ∴BC＝3； （2）根据题意，点F不能落在边AD和边AB上，分以下两种情况： ①当点在AD边上、点F落在CD边上时，如图2，连接AF、PF， ∵点A关于直线PE的对称点F， ∴PE垂直平分AF， ∴PF＝AP，∠FAD+∠EPA＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴∠FAD+∠AFD＝90°， ∴∠EPA＝∠AFD， ∴△AFD∽△EPA， ∴， 由题意得：AP＝t，则PF＝t，DP＝4﹣t， ∴， ∴DFt， 在Rt△PFD中，PD2+DF2＝PF2， ∴（4﹣t）2+（t）2＝t2， 解得：t＝10或t， ∵点P在边AD上，t＜4， ∴t＝10不符合题意，舍去， ∴t； ②当点P、F都落在CD边上时，如图3，连接AP、EF、AF，AF与PE交于点K， ∵点A关于直线PE的对称点F， ∴PE垂直平分AF， ∴PF＝AP，AK＝FK，∠PKF＝∠EKA＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠PFK＝∠EAK， ∴△PFK≌△EAK（ASA）， ∴PF＝AE＝5， ∴AP＝5， ∵AD＝4，DP＝t﹣4，∠D＝90°， ∴42+（t﹣4）2＝52， 解得：t＝7或t＝1（与点P在CD上矛盾，舍去）， ∴t＝7； ③当点P在CD边上、点F落在BC边上时，如图4，连接AF、AP、FP、EF， ∵点A关于直线PE的对称点F， ∴PE垂直平分AF， ∴PF＝AP，EF＝AE＝5， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°， 在Rt△EFB中，BF3， ∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1， 由题意得：AD+DP＝t，AD＝4， ∴DP＝t﹣4， ∴CP＝CD﹣DP＝9﹣（t﹣4）＝13﹣t， ∵DP2+AD2＝AP2，CP2+CF2＝PF2， ∴DP2+AD2＝CP2+CF2， ∴（t﹣4）2+42＝（13﹣t）2+12， 解得：t， 综上所述，t的值为或7或． 【点评】本题考查了矩形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理等，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 52．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，连接EF交BC于点G． （1）求证：△CDE≌△CBF； （2）当E是AD的中点时，求CG的长． 【专题】证明题；图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【分析】（1）先判断出∠CBF＝90°，进而可以证明∠DCE＝∠BCF，即可得出结论； （2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∠DCE+∠BCE＝∠DCB＝90°， ∵CF⊥CE， ∴∠ECF＝90°， ∴∠BCF+∠BCE＝∠ECF＝90°， ∴∠DCE＝∠BCF， 在△CDE和△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（ASA）； （2）解：在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴△GBF∽△EAF， ∴， 由（1）知，△CDE≌△CBF， ∵E是AD的中点，正方形的边长为1， ∴BF＝DE， ∴AF＝AB+BF，AE， ∴， ∴BG， ∴CG＝BC﹣BG． 答：CG的长为． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△GBF∽△EAF． 53．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别为AB、AC的中点，连接DE、EF、FD． （1）若AB＝14，AC＝10，求四边形AEDF的周长； （2）EF与AD存在怎样的位置关系？证明你的结论． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】（1）根据直角三角形的性质分别求出AE、DE、AF、DF，根据四边形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到EF∥BC，根据平行线的性质证明结论． 【解答】解：（1）在Rt△ADB中，E为AB的中点， ∴DEAB14＝7，AEAB14＝7， 同理：DF＝AFAC＝5， ∴四边形AEDF的周长＝7+7+5+5＝24； （2）EF⊥AD， 证明如下：∵E、F分别为AB、AC的中点， ∴EF∥BC， ∵AD⊥BC， ∴EF⊥AD． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 54．已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G． （1）求证：AF＝CG； （2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？ 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【分析】（1）要证明AF＝CG，只要证明△EAF≌△HCG即可； （2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2＝AD2时，∠BED＝90°，四边形BEDH是正方形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD， ∴∠AEF＝∠CHG， ∵BE＝2AB，DH＝2CD， ∴BE＝DH， ∴BE﹣AB＝DH﹣DC， ∴AE＝CH， ∵∠BAD+∠EAF＝180°，∠BCD+∠GCH＝180°， ∴∠EAF＝∠GCH， ∴△EAF≌△HCG（ASA）， ∴AF＝CG； （2）当ADAB时，四边形BEDH是正方形， 理由：∵BE∥DH，BE＝DH， ∴四边形EBHD是平行四边形， ∵EH⊥BD， ∴四边形EBHD是菱形， ∴ED＝EB＝2AB， 当AE2+DE2＝AD2时， 则∠BED＝90°， ∴四边形BEDH是正方形， 即AB2+（2AB）2＝AD2， ∴ADAB， ∴当ADAB，四边形BEDH是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键． 55．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF （1）求证：AE＝AF； （2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据正方形的性质可得∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，结合BE＝DF，即可证明△ABE≌△ADF，于是可得AE＝AF； （2）先判断出△AEF是等腰直角三角形，作出辅助线得出EN＝DF，判断出△MNE≌△MDF，从而得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； （2）解：AM⊥EF，AMEF，理由是： 由（1）得：△ABE≌△ADF， ∴∠FAD＝∠EAB， ∴∠FAE＝∠DAB＝90°， ∴△FAE是直角三角形， 如图，过E作EN∥CD，交BD于N， ∴∠MNE＝∠MDF，∠MEN＝∠MFD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠NBE＝45°， ∴△NBE是等腰直角三角形， ∴EN＝BE＝DF， 在△MNE和△MDF中， ∵， ∴△MNE≌△MDF（ASA）， ∴EM＝FM， ∵AE＝AF， ∴AM⊥EF，AMEF． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，解本题的关键是熟练掌握正方形的性质，判断出△AEF是等腰直角三角形． 56．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【专题】几何图形． 【分析】（1）能，首先证明四边形AEFD为平行四边形．当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解决问题． （2）分三种情形讨论即可． 【解答】（1）证明：能． 理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t， ∴DF＝2t， 又∵AE＝2t， ∴AE＝DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形， 即40﹣4t＝2t，解得t． ∴当t秒时，四边形AEFD为菱形． （2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形， ∴EF∥AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠AED＝30°， ∴ADAE＝t， 又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8； ②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5． ③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 57．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G． （1）若点F在边CD上，如图1 ①证明：∠DAH＝∠DCH ②猜想△GFC的形状并说明理由． （2）取DF中点M，连接MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长． 【专题】证明题． 【分析】（1）①只要证明△DAH≌△DCH，即可解决问题； ②只要证明∠CFG＝∠FCG，即可解决问题； （2）分两种情形解决问题①如图当点F在线段CD上时，连接DE．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．分别求出EC即可解决问题； 【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC， 在△DAH和△DCH中， ， ∴△DAH≌△DCH， ∴∠DAH＝∠DCH； ②解：结论：△GFC是等腰三角形， 理由：∵△DAH≌△DCH， ∴∠DAF＝∠DCH， ∵CG⊥HC， ∴∠FCG+∠DCH＝90°， ∴∠FCG+∠DAF＝90°， ∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG， ∴∠CFG＝∠FCG， ∴GF＝GC， ∴△GFC是等腰三角形． （2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE． ∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°， ∴∠GCE＝∠GEC， ∴EG＝GC＝FG， ∵FG＝GE，FM＝MD， ∴DE＝2MG＝5， 在Rt△DCE中，CE3， ∴BE＝BC+CE＝4+3＝7． ②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE． 同法可证GM是△DEF的中位线， ∴DE＝2GM＝5， 在Rt△DCE中，CE3， ∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1． 综上所述，BE的长为7或1． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 58．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O，连接AD，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数． 【分析】（1）只要证明AB＝BC＝CD＝DA即可； （2）只要证明△ADB是等边三角形即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵BD垂直平分AC， ∴OA＝OC，AD＝CD，AB＝BC， ∵四边形AFCG是矩形， ∴CG∥AF， ∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO， ∴△COD≌△AOB， ∴CD＝AB， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形． （2）∵E为AB中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AD＝DB， ∵AD＝AB， ∴△ADB为等边三角形， ∴∠DBA＝60°， ∵CD∥AB， ∴∠BDC＝∠DBA＝60°． 【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 59．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）由菱形ABCD的边长为2，BD＝2，易得BD＝BC，∠C＝∠BDE＝60°，又由AE+CF＝2，易得DE＝CF，则可证得：△BDE≌△BCF； （2）由△BDE≌△BCF，易得BE＝BF，∠EBF＝60°，则可证得△BEF是等边三角形． 【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2， ∴BC＝BD＝CD＝AD＝2， ∴∠C＝∠CDB＝60°， ∵∠BDE＝∠BDC， ∴∠BDE＝∠C， ∵AE+DE＝AD＝2，AE+CF＝2， ∴DE＝CF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）解：等边三角形． 理由：∵△BDE≌△BCF， ∴BE＝BF，∠CBF＝∠DBE， ∵∠CBF+∠DBF＝60°， ∴∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°， ∴△BEF是等边三角形． 【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定．注意证得DE＝CF，∠BDE＝∠C是关键． 60．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC； （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）； （3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？ 【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得； （2）与（1）的证明方法相同； （3）根据（1）（2）中的结论直接求解． 【解答】解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF，∠FDC＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C ∴∠FDC＝∠C， ∴DF＝FC， ∴DE+DF＝AF+FC＝AC； （2）当点D在边BC的延长线上时，在图②，DE﹣DF＝AC； 当点D在边BC的反向延长线上时，在图③，DF﹣DE＝AC． （3）当在图①的情况，DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3； 当在图③的情况，DF＝AC+DE＝10+7＝17． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题，解决本题的关键是进行分类讨论． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$