高二数学下学期期中考试（考试范围：数列+导数+计数原理）-2024-2025学年高二下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

高二第二学期期中考试 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（数列+导数+计数原理） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B． C．60 D．240 【答案】C 【详解】由题意，解得． 展开式通项为， 由得，解得，∴常数项为． 故选：C． 2．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 3．设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象与轴相交于点， 令，解得，所以， 又，则， 所以在点处的切线方程为，即， 故选：B. 4．已知函数，在R上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可得对任意恒成立，因为和在上都单调递增，并且有唯一解，所以它们有相同的零点所以 设函数则当解得当解得所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以 设函数因为所以的正负不确定.所以和的大小关系不确定. 故选：A. 5．男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【答案】B 【详解】若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间， 不同的排法种数为； 同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数为. 根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为. 故选：B. 6．已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 【答案】B 【详解】因为，即，解得， 所以，前项和， 所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数， 所以 . 故选：B． 7．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 故在上单调递减， 是定义在上的偶函数，故， 的定义域为，且， 所以为偶函数， ， 所以， 所以，解得或. 故选：D 8．若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中d为非零常数，则称数列为等方差数列．那么（   ） A．是等方差数列 B．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 C．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 D．若是等方差数列，则不存在正整数n，使得 【答案】C 【详解】对于A，当时，有，由于不是一个常数，故A错误； 对于B，由，，则， 因为，所以，则， 解得仍为常数列，这与相矛盾，故B错误； 对于C，因为，所以 而，故C正确； 对于D，当时，总会存在使得，这显然是不成立的， 所以，由，则，即， 所以有 ， 因为，所以一定会随着的增大而增大，且能趋向于正无穷， 则总存在正整数，使得，故D错误； 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．满足不等式的的值可为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【详解】解：由， 得，，即， 解得，又， 所以或， 故选：AB 10．将个数排成行列的一个数阵，如：             …                 …                 …     …    …    …    …    …             …     该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】 因为，所以，解得（舍去），故A正确； ，，故B错误； ，，故C正确； ， 故D正确． 故选：ACD． 11．已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．当，时，函数在定义域上单调递减 C．若，且，a的最小值是 D．曲线是中心对称图形 【答案】ACD 【详解】由解析式，即定义域为，A对； 若，，则， 而在上单调递增，且在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增，B错； 若，则，故， 由，即在上恒成立， 而时取得最大值为，即，C对； 由， 所以，即关于中心对称，D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知函数，则的极小值为 【答案】 【详解】易知函数的定义域为，由题知， 令，得到，当时，，当时，， 所以在处取得极小值，极小值为， 故答案为：. 13．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】因为， 其中展开式的通项为（）， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 14．党的二十大报告指出，坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系.发展素质教育，促进教育公平，现有甲乙等名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教.若将这名大学生分成三组分别去三个不同的学校参加工作，保证每所学校至少有一名大学生去，且每名大学生只能去一所学校，则甲乙不同在一个学校的安排方案共有 种.（用数字作答） 【答案】 【详解】利用间接法：将这名大学生分成三组，每组的人数分别为、、或、、或、、，分以下几种情况讨论： 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙在同一组， 此时，不同的安排方案种数为种； 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙在同一组， 此时，不同的安排方案种数为种； 若三组人数分别为、、，且甲乙不在同一组，其反面是甲乙所在的一组有人或人， 此时，不同的安排方案种数为. 综上所述，由分类加法计数原理可知，不同的安排方案种数为种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. (1)求和； (2)求和； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，; (2)，; (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为. 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，① 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，② 由①②，解得； 所以； （2）由（1）知，所以， 则，对于方程， 由韦达定理得，即， （3）， 所以 . 16．已知展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为20，求m的值. 【答案】(1)6； (2)1. 【详解】（1）因为展开式的二项式系数和为，所以； （2）因为展开式中的通项公式为，整理得， 令，得， 则，解得. 17．（1）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求a的取值范围． （2）已知函数，对于任意，且，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） ；（2）． 【详解】（1）因为，所以， 若在上存在单调递增区间，则时有解， 即有解，，显然有， ∴，即，故a的取值范围是． （2）由已知，当时，有恒成立， 即在上是增函数． 则，则， ∴在上恒成立，即在上恒成立． ∵时，有，当时，， 由在上恒成立，得，即， 即实数a的取值范围为． 18．记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 两式相减得，① 则，② ②①得， 所以. 因为， 又，所以当时，； 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以. 19．已知函数（其中）． (1)当时，求的单调区间； (2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）将代入函数中，，由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）任意都有成立， 即，即， 令，则， 令，， 在上恒成立，即在上单调递增． 又，，故在内有零点，设零点为， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 且，则，所以， 设，，，所以在单调递增， 所以，，，即，所以， 所以最小值，所以，即实数a的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二第二学期期中考试 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（数列+导数+计数原理） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B． C．60 D．240 2．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 3．设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，在R上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 6．已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（    ） A．80 B．208 C．680 D．780 7．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中d为非零常数，则称数列为等方差数列．那么（   ） A．是等方差数列 B．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 C．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 D．若是等方差数列，则不存在正整数n，使得 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．满足不等式的的值可为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．将个数排成行列的一个数阵，如：             …                 …                 …     …    …    …    …    …             …     该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．当，时，函数在定义域上单调递减 C．若，且，a的最小值是 D．曲线是中心对称图形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知函数，则的极小值为 13．在的展开式中，的系数为 ． 14．党的二十大报告指出，坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系.发展素质教育，促进教育公平，现有甲乙等名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教.若将这名大学生分成三组分别去三个不同的学校参加工作，保证每所学校至少有一名大学生去，且每名大学生只能去一所学校，则甲乙不同在一个学校的安排方案共有 种.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. (1)求和； (2)求和； (3)设，求数列的前项和． 16．已知展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为20，求m的值. 17．（1）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求a的取值范围． （2）已知函数，对于任意，且，都有，求实数a的取值范围． 18．记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 19．已知函数（其中）． (1)当时，求的单调区间； (2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$