精品解析：山东省枣庄市中职学校2025届高三下学期二模数学试题

2025年山东省枣庄市中职学校第二次调研模拟测试 数学试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟，考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题20小题，每题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并涂在答题卡上） 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将集合，用列举法表示，再根据交集的概念及运算可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2. 复数为纯虚数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】复数为纯虚数的充要条件：实部为0，虚部不为0，据此列式可求解． 【详解】复数为纯虚数 ，即. 故选：B 3. 已知为实数，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】取，可排除A；取，，可排除C；利用不等式的基本性质，可判断B错误，D正确. 【详解】对A选项，当时，此时，故错误； 对B选项，当时，若，则，故错误； 对C选项，取，，满足条件，但，故错误； 对D选项，若，且，则，即，故正确. 故选：D 4. 如图所示，四边形都是正方形，设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相等向量的定义及向量的线性运算法则即可求解. 【详解】因为四边形都是正方形， 所以，. 在正方形中，. 因为， 所以. 故选：B 5. 如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换底公式将对数进行变形，再结合对数函数的单调性来比较的大小. 【详解】原不等式可转化为， 可得，即， 因为对数函数在上单调递增，所以. 故选：B. 6. 如图所示，在同一坐标系中，分别给出甲、乙两人参加1500米赛跑，他们所跑路程y与所跑时间x之间的函数图像，则下列说法正确的是（ ） A. 甲跑的比乙快 B. 甲跑的比乙慢 C. 甲跑的路程比乙长 D. 甲跑的路程比乙短 【答案】A 【解析】 【分析】由图观察甲，乙的出发时间相同，路程相同，到达时间不同，速度不同来判断即可. 【详解】由图可知，甲、乙两人从同一地点出发，他们参加1500米赛跑，所跑路程都是1500米，故C、D错误； 因为甲完成比赛用的时间x少，乙用的时间x多，所以甲的速度快，乙的速度慢，故A正确，B错误. 故选：A 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性、特殊角的三角函数值及充要条件的概念即可判断结果. 【详解】设，若，由在单调递增，可得， 即当时， ； 当取，此时，且，但不成立， 即设， . 所以设，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8. 在等比数列中，已知，则等于（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可得解. 【详解】等比数列中，，， 则，解得. 故选：. 9. 已知向量，若，则实数x的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】向量，则， 解得， 故选：. 10. 若是奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数的性质即可得解. 【详解】当时，，所以， 因为是奇函数，所以，则， 所以当时，. 故选：. 11. 现有2名教师和3名学生站成一排，若教师都不能站在两端，且2名教师之间恰有1名学生，则所有不同的站法种数是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列与组合的定义结合捆绑法与插空法的应用即可得解. 【详解】选名学生站老师中间有种站法， 让剩下的两名学生全排列，老师不能站两端， 将两名老师和中间的学生看成一个整体进行插空，有种站法， 所以共有种站法， 故选：. 12. 已知的解集是或，则实数的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集得出的两个根为，，列出方程组即可得解. 【详解】因为的解集是或， 所以的两个根为，，， 所以，解得， 故选：. 13. 已知且，则所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式及各象限角的三角函数的符号规则可求解. 【详解】由，可知的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴； 由，可得，即的终边落在第二、四象限. 综上所述，为第二象限角. 故选：B 14. 在的二项展开式中，常数项是（ ） A. －15 B. 15 C. －20 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】先写出二项式展开式的通项公式，再由x的指数为0，求解r的值即可. 【详解】二项式展开式的通项公式， 令，解得， 则常数项为. 故选:B. 15. 若直线与直线平行，则实数m的值等于（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行得，由此列方程求解即可. 【详解】已知直线与直线平行， 则，解得， 故选：B. 16. 已知5件产品中有且只有1件是次品，现从这5件产品中任取2件，则恰有1件次品的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型公式结合组合数的计算即可得解. 【详解】因为5件产品中有且只有1件是次品，现从这5件产品中任取2件， 则恰有1件次品的概率为， 故选：. 17. 已知表示直线，表示平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系及线面平行和垂直的判定和性质，即可得结果. 【详解】对A选项，若，则，故错误； 对B选项，若，则或，故错误； 对C选项，若，则，故正确； 对D选项，若，则或或或与斜交，故错误. 故选：C 18. 某企业共有职工30000人，老年、中年、青年职工的比例为，现用分层抽样的方法从所有职工中抽出一个样本容量为500的样本，则青年职工应抽取的人数是（ ） A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义即可求解. 【详解】因为老年、中年、青年职工的比例为，现利用分层抽出一个样本容量为500人的样本， 所以青年职工应抽取的人数是：. 故选：B 19. 已知，给出法则，则等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将化为，结合已知法则即可得解. 【详解】因为，法则， ， 故选：. 20. 已知双曲线的两个顶点把焦距三等分，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再根据双曲线的渐近线方程及可求解. 【详解】设双曲线的焦距为，由题可知 ，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知函数，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外代入计算可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：2 22. 抛掷3枚质地均匀的硬币，记正面向上的硬币枚数为随机变量，则随机变量的数学期望是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二项分布的定义得出服从二项分布，代入二项分布的期望公式即可得解. 【详解】因为抛掷硬币正面向上的概率为，且每次抛掷硬币的结果互不影响，结果只有正面、反面， 所以，则， 故答案为：. 23. 过抛物线的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于两点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出焦点坐标，联立方程组利用韦达定理及平面向量的坐标运算即可得解. 【详解】抛物线，焦点在正半轴，且，所以焦点坐标为， 斜率为过抛物线焦点的直线方程为，与抛物线交于两点， 则， 所以，且， 设，， 则，， 所以， 因为，， 则， 故答案为：. 24. 在中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理即可得解. 【详解】在中，， 根据正弦定理可知，， 故答案为：. 25. 如图所示，正四棱锥的三视图中正视图和左视图都是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的体积是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由三视图求出正四棱柱底面面积及高，代入体积公式即可得解. 【详解】正四棱锥的三视图中正视图和左视图都是边长为2的等边三角形， 所以正四棱锥的底面面积为， 正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 故答案为：. 三、解答题（本大题5小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26. 已知函数是奇函数． （1）求实数a的值； （2）求证：函数在上是减函数． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可求解； （2）设，且，，通过作差比较与的大小，依据减函数定义可证． 【小问1详解】 因为函数是奇函数，定义域为， 所以对定义域内任意的恒成立， 即， 化简可得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 设，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上是减函数. 27. 在等差数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前n项和的最小值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据等差数列的性质求出公差与首项即可得解. （）求出，结合求和公式的定义得出前项和最小，代入等差数列的求和公式即可得解. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，且， 则，解得， 所以， 所以， 综上所述，数列的通项公式为. 【小问2详解】 ，， ，所以数列为等差数列， 令即，解得， 因为，所以，， 所以数列前项和最小，， 所以数列前n项和的最小值为. 28. 已知函数的最大值为2，其图像与x轴的所有交点中，相邻两个交点的距离是．求： （1）实数的值； （2）函数的单调递减区间． 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（）根据辅助角公式将函数进行化简，利用最大值求出值，根据题意求出周期，代入最小正周期公式即可求出值. （）根据正弦型函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 函数， 利用辅助角公式进行化简得，， 因为函数的最大值为，所以，解得或（舍）， 又因为其图像与x轴的所有交点中，相邻两个交点的距离是，所以，解得， 所以，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（）可知，， 当，时，即，， 所以单调减区间为. 29. 如图所示，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，分别为的中点，且．求证： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）证明见解析. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（）根据线面平行的判定定理即可得解. （）根据面面垂直的性质及判定定理即可得解. 【小问1详解】 因为分别为的中点，所以为的中位线， 则，因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为分别为的中点，，所以， 平面平面，平面平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 30. 如图所示，椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的长轴长为，圆O的直径是椭圆短轴的长，且圆O过椭圆的焦点． （1）求椭圆的离心率； （2）已知圆O的切线l与椭圆交于两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1）. （2），，，. 【解析】 【分析】（）根据题意得出，，结合求出，代入离心率公式即可得解. （）求出椭圆方程与圆的方程，根据切线的性质得出，分类讨论直线斜率存在，不存在的情况，结合弦长公式即可得解. 【小问1详解】 椭圆的长轴长为，则， 因为圆O的直径是椭圆短轴的长，且圆O过椭圆的焦点，则， 所以，解得， 则离心率为， 所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 因为，， 所以椭圆方程为，圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程得，，此时，不符合题意，故舍去； 当直线斜率为零时，不符合题意，故舍去； 当直线斜率存在时，设直线方程为，化为一般式， 因为直线与圆相切，即， 联立方程组得， ， 设，， 则，， ， 将代入上式中可得， 两边同时平方得， 令，则，整理得， 解得（舍）或， 所以，解得，，所以， 所以直线方程为或， 所以直线方程为，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省枣庄市中职学校第二次调研模拟测试 数学试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟，考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 卷一（选择题，共60分） 一、选择题（本大题20小题，每题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并涂在答题卡上） 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 复数为纯虚数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为实数，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，则 4. 如图所示，四边形都是正方形，设，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如果，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在同一坐标系中，分别给出甲、乙两人参加1500米赛跑，他们所跑路程y与所跑时间x之间的函数图像，则下列说法正确的是（ ） A. 甲跑的比乙快 B. 甲跑的比乙慢 C. 甲跑的路程比乙长 D. 甲跑的路程比乙短 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在等比数列中，已知，则等于（ ） A. 9 B. C. D. 9. 已知向量，若，则实数x的值是（ ） A. B. C. D. 1 10. 若是奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 11. 现有2名教师和3名学生站成一排，若教师都不能站在两端，且2名教师之间恰有1名学生，则所有不同的站法种数是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 12. 已知的解集是或，则实数的值分别是（ ） A. B. C. D. 13. 已知且，则所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 在的二项展开式中，常数项是（ ） A. －15 B. 15 C. －20 D. 20 15. 若直线与直线平行，则实数m的值等于（ ） A. 2 B. C. 3 D. 16. 已知5件产品中有且只有1件是次品，现从这5件产品中任取2件，则恰有1件次品的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 17. 已知表示直线，表示平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 18. 某企业共有职工30000人，老年、中年、青年职工的比例为，现用分层抽样的方法从所有职工中抽出一个样本容量为500的样本，则青年职工应抽取的人数是（ ） A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 19. 已知，给出法则，则等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 20. 已知双曲线的两个顶点把焦距三等分，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知函数，则_______． 22. 抛掷3枚质地均匀的硬币，记正面向上的硬币枚数为随机变量，则随机变量的数学期望是_______． 23. 过抛物线的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于两点，则_______． 24. 在中，若，则_______． 25. 如图所示，正四棱锥的三视图中正视图和左视图都是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的体积是_______． 三、解答题（本大题5小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26. 已知函数是奇函数． （1）求实数a的值； （2）求证：函数在上是减函数． 27. 在等差数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前n项和的最小值． 28. 已知函数的最大值为2，其图像与x轴的所有交点中，相邻两个交点的距离是．求： （1）实数的值； （2）函数的单调递减区间． 29. 如图所示，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，分别为的中点，且．求证： （1）平面； （2）平面平面． 30. 如图所示，椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的长轴长为，圆O的直径是椭圆短轴的长，且圆O过椭圆的焦点． （1）求椭圆的离心率； （2）已知圆O的切线l与椭圆交于两点，若，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $