8．1与三角形有关的边和角 同步练习2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

8.1 与三角形有关的边和角 第1课时 认识三角形 1.由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做_ _. 2.按角分类: 三角形. 按边分类: 3.三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段,列表如下: 线段 名称 三角形的高 三角形的 中线 三角形的 角平分线 文字 语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作_ _,顶点和垂足之间的线段 三角形中,连结一个顶点和它对边_ _的线段 三角形一个内角的_ _与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段 图形 语言 作图 语言 过点A作AD⊥BC于点D 取BC边的中点D,连结AD 作∠BAC的平分线AD,交BC于点D 标示 图形 考点1 三角形的有关概念 【典例1】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形,其中是三角形的是( ) A B C D 三角形的表示:三角形用符号“ ”表示,顶点为A、B、C的三角形记作“ ABC”,读作“三角形ABC”,注意单独的 没有意义; ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示,也可以用小写字母a、b、c来表示,边BC用a表示,边AC、AB分别用b、c表示. 【变式训练】 1.如图,用数字标注了3个三角形,其中 ABD表示的是( ) A.① B.② C.③ D.都不对 考点2 三角形的分类 【典例2】如图均表示三角形的分类,下列判断正确的是( ) A.①对,②不对 B.①不对,②对 C.①、②都不对 D.①、②都对 ①不等边三角形:三边都不相等的三角形;②等腰三角形:有两条边相等的三角形;③等边三角形:三边都相等的三角形. 【变式训练】 2.三角形按边长关系,可分为( ) A.等腰三角形、等边三角形 B.直角三角形、不等边三角形 C.等腰三角形、不等边三角形 D.直角三角形、等腰三角形 考点3 三角形中的重要线段 【典例3】如图,在 ABC中,∠C=90 ,D、E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是( ) A.BE是 ABD的中线 B.BD是 BCE的角平分线 C.∠1=∠2=∠3 D.BC是 BDE的高 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段,它们提供了重要的线段或角的关系,为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用,因此,我们需要从不同的角度弄清这三条线段,列表如下: 线段 名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的 角平分线 用途 举例 1.线段垂直 2.角度相等 1.线段相等 2.面积相等 角度相等 注意 事项 1.与边的垂线不同 2.不一定在三角形内 — 与角的平分线不同 重要 特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点 一个三角形有三条中线,它们交于三角形内一点 一个三角形有三条角平分线,它们交于三角形内一点 【变式训练】 3.(重庆模拟)如图,在 ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线,则下列说法中错误的是( ) A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90 C.∠BAF=∠CAF D.S ABC=2S ABF 知识点1 三角形的有关概念 1.(海南屯昌县期末)下列图形中,是三角形的是( ) 2.如图,点D、E分别是 ABC的边BC、AB上的点,分别连结AD、DE,则图中的三角形一共有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3.如图,点B、C、D、E共线,试问图中A、B、C、D、E五点可确定多少个三角形?说明理由. 知识点2 三角形的分类 4.图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 5.有下列说法: ①等边三角形是等腰三角形; ②等腰三角形也可能是直角三角形; ③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形; ④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点3 三角形中的三种重要线段 6.(海南三亚崖州区期中)下列各图中,正确画出AC边上的高的是( ) 7.(海南三亚崖州区期中)三角形一边上的中线把原三角形分成两个( ) A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 8.任作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,分别作出它们的三条高. 易错易混点 三角形与中线面积应用不熟练致错 9.如图,在 ABC中已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,且S ABC=M cm2,则S阴影的值为( ) A.M cm2 B.M cm2 C.M cm2 D.M cm2 10.如图,AD、AE、AF分别是 ABC的中线、角平分线、高,下列各式中错误的是( ) A.BC=2CD B.∠BAE=∠BAC C.∠AFB=90 D.AE=CE 11.如图,在 ABC中,如果过点B作PB⊥BC交边AC于点P,过点C作CQ⊥AB交AB的延长线于点Q,那么图中线段_ _是 ABC的一条高. 12.(海南海口秀英区月考)如图,在 ABC中,G是边BC上任意一点,D、E、F分别是AG、BD、CE的中点,S ABC=48,则S DEF的值为_ _. 13.如图, ABC的周长为9,AD为中线, ABD的周长为8, ACD的周长为7,求AD的长. 14.(1)如图,AD是 ABC的中线, ACD与 ABD的面积有怎样的数量关系?为什么? (2)你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗?试画出相应的图形. 15.(创新意识)如图,在 ABC中,∠C=90 ,AC=8 cm,BC=6 cm,AB=10 cm.若动点P从点C开始,按C A B C的路径运动,且速度为每秒2 cm,设运动的时间为t秒. (1)S ABC=_ _ _; (2)当t=_ _秒时,CP把 ABC的周长分成相等的两部分; (3)当t=_ _秒时,CP把 ABC的面积分成相等的两部分; (4)当t为何值时, BCP的面积为12 cm2? 第2课时 三角形的内角和与外角和 1.三角形内角和定理:三角形的内角和等于_ _. 2.直角三角形的两个锐角_ _. 3.三角形外角的性质:(1)三角形的一个外角_ _与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角_ _任何一个与它不相邻的内角. 4.三角形的外角和等于_ _. 考点1 三角形的内角和 【典例1】在 ABC中,∠A=∠B=∠C,则 ABC为( )三角形. A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等腰 考查三角形的内角和定理,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型. 【变式训练】 1.已知在 ABC中,∠A、∠B、∠C的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 考点2 三角形外角的性质 【典例2】如图,点D是 ABC边BC延长线上的一点,∠A=75 ,∠ACD=105 ,则∠B=( ) A.30 B.35 C.40 D.45 考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质是解题的关键. 【变式训练】 2.如图,在 ABC中,点D、E在射线BA上,则∠1、∠2、∠B之间的大小关系为( ) A.∠1<∠2<∠B B.∠B<∠2<∠1 C.∠1<∠B<∠2 D.∠B<∠1<∠2 知识点1 三角形的内角和 1.在 ABC中,∠A=45 ,∠B=60 ,∠C=( ) A.75 B.105 C.55 D.65 2.如图,在 ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠B=42 ,∠DAE=18 , 求∠C的度数. 知识点2 三角形外角的性质 3.(海南海口期末)如图,∠A=65 ,∠B=45 ,则∠ACD=( ) A.65 B.60 C.45 D.110 4.如图,直线AB∥CD,连结BC,点E是BC上一点,∠A=15 ,∠C=27 ,则∠AEC的度数为( ) A.27 B.42 C.45 D.70 5.如图 ABC,延长CB到D,延长BC到E,∠A=80 ,∠ACE=140 ,求∠1的度数. 知识点3 三角形的外角和 6.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4,则它的最大内角的度数为( ) A.90 B.110 C.100 D.120 易错易混点 对三角形外角整合能力不足致错 7.如图,点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是( ) A.180 B.360 C.540 D.720 8.(海南海口期末)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起,则图中∠ 的度数是( ) A.65 B.75 C.95 D.105 9.小明把一副含45 、30 的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90 ,∠A=45 ,∠D=30 ,则∠ +∠ 等于( ) A.180 B.210 C.360 D.270 10.如图,AD是 ABC的角平分线,CE是 ABC的高,∠BAC=60 ,∠ACB=78 ,点F为边AB上一点,当 BDF为直角三角形时,则∠ADF的度数为_ _. 11.(海南澄迈县期中)如图,∠1=∠2=25 ,∠3=∠4,∠A=80 ,则x和y的度数分别是 _ _与 _ _. 12.如图,E为 ABC内一点,BE的延长线交AC于点D,∠1=(4m-1) ,∠2=(3m+2) ,∠A=(4m-5) ,求m的取值范围. 13.如图,一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东60 的方向上,同时一艘客船在B处看见巡逻艇M在其北偏东20 的方向上,试求此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠AMB的度数. 14.(海南琼中县月考)如图, ABC的内角∠ABC平分线与它的外角∠ACD平分线交于点P. (1)若∠A=60 ,∠ABC=48 ,求∠P的度数; (2)猜想∠P与∠A的数量关系,并予以证明. 15.(推理能力)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系. (1)如图1,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠B=∠BOD,又因为∠BOD是 POD的外角,所以∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B-∠D.将点P移到AB、CD内部,如图2,以上结论是否成立?若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?请证明你的结论. (2)在图2中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图3,则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系?(不需证明) 第3课时 三角形的三边关系 1.三角形的三边关系:定理:三角形任意两边之和_ _第三边.推论:三角形任意两边之差_ _第三边. 2.三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了,这个性质叫做三角形的_ _. 考点1 三角形的三边关系 【典例1】下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A.3、4、5 B.2、5、8 C.5、5、10 D.1、6、7 判断三条线段能否组成三角形:若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围. 【变式训练】 1.把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开,剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是( ) A BC D 考点2 三角形的稳定性 【典例2】生活中处处有数学,用数学的眼光观察世界,在生活实践中发现数学的奥秘.下列图形中,不是运用三角形的稳定性的是( ) 考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用,关键是分析能否在同一平面内组成三角形. 【变式训练】 2.如图,墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆,与水平和竖直方向的支架构成三角形,这是利用三角形的( ) A.全等性 B.稳定性 C.不稳定性 D.美观性 知识点1 三角形的三边关系 1.(海南万宁月考)以下列数值为长度的各组线段中,能组成三角形的是( ) A.2、4、7 B.3、3、6 C.5、8、2 D.4、5、6 2.(海南儋州月考)如果线段2、7、m能组成一个三角形,则m的值可能是( ) A.4 B.5 C.8 D.12 3.若三角形的三边长分别为3、4、x-1,则x的取值范围是_ _. 4.在 ABC中,AB=9,AC=2,并且BC的长为偶数,求 ABC的周长. 知识点2 三角形的稳定性 5.如图,王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,要使这个木架不变形,他至少要再钉上木条的根数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图,自行车的三角形支架,这是利用三角形具有_ _性. 易错易混点 模型观念不强致错 7.平面内,将长分别为1、1、3、x的线段,首尾顺次相接组成凸四边形(如图),x可能是( ) A.1 B.3 C.5 D.7 8.有长度分别是4 cm、5 cm、8 cm和9 cm的小棒各一根,任选其中三根首尾相接围成三角形,可以围成不同形状的三角形的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 9.如图,用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8,且相邻两根木条的夹角均可以调整,若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两颗螺丝的距离的最大值是( ) A.7 B.10 C.11 D.14 10.(海南保亭县期中)已知a、b、c是 ABC的三边长,满足|a-7|+(b-2)2=0,c为奇数,则 ABC的周长为 _ _. 11.一个三角形有两条边相等,周长为20 cm,三角形的一边长6 cm,求其他两边长. 12.小辉用7根木条钉成一个七边形的木架,他为了使该木架稳固,想在其中加上四根木条,请你在图1、2、3中画出你的三种想法,并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学原理. 13.如图,O是 ABC内任意一点,连结OB、OC. (1)求证:∠BOC>∠A; (2)比较AB+AC与OB+OC的大小,并说明理由. 14.已知三角形的周长为60,求最长边c的取值范围. 15.(几何直观)在平面内,分别用3根、5根、6根同样的火柴棒首尾顺次连结,能搭成什么形状的三角形呢? 通过尝试,列表如下所示,问: (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?并画出它们的示意图. 火柴数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 第4课时 三角形习题课 一、选择题 1.三角形是( ) A.连结任意三点组成的图形 B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形 C.由三条线段组成的图形 D.以上说法均不对 2.(海南琼海期末)若一个三角形两个外角之和为280 ,那么这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.已知某三角形的两边长分别为2和4,且第三边为偶数,则该三角形周长为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 4.(海南琼中县期中)如图,点E、D分别在AB、AC上,若∠B=30 ,∠C=55 ,则∠1+∠2的度数为( ) A.85 B.80 C.75 D.70 5.如图,直线AB∥CD,∠A=70 ,∠C=40 ,则∠E等于( ) A.30 B.40 C.60 D.70 6.如图,AD,BE都是 ABC的高,则与∠CBE一定相等的角是( ) A.∠ABE B.∠BAD C.∠DAC D.∠C 7.如图,在 ABC中,AD是BC边上的高,且∠ACB=∠BAD,AE平分∠CAD,交BC于点E,过点E作EF∥AC,分别交AB,AD于点F、G.则下列结论正确的是( ) ①∠BAC=90 ;②∠AEF=∠EAD;③∠BAE=∠BEA;④∠DAB+2∠AEF=90 . A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 二、填空题 8.如图,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有_ _个. 9.已知三角形的三边长分别是3、x、9,则化简|x-5|+|x-13|=_ _. 10.(海南琼中县月考)如图,AD与CE交于点B,若∠C=90 ,∠A=36 ,则∠D=∠E,则∠D=_ _度. 11.(海南临高县期中)在 ABC中,AD是中线,若 ABC的面积是20,则 ABD的面积为 _ _. 12.如图,在 ABC中,∠ABC=∠ACB,∠A=40 ,P是 ABC内一点,且∠ACP=∠PBC,则∠BPC=_ _. 13.生活中到处都存在着数学知识,只要同学们学会用数学的眼光观察生活,就会有许多意想不到的收获,如下两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的. (1)图1中∠ABC的度数为_ _. (2)图2中已知AE∥BC,则∠AFD的度数为_ _. 三、解答题 14.(海南三亚期中)如图,在 ABC中,CD平分∠ACB,∠A=68 ,∠BCD=31 .求∠B,∠ADC的度数. 15.如图,在 ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63 ,求∠DAC的度数. 16.如图,在 ABC中,∠B=25 ,∠BAC=31 ,过点A作BC边上的高,交BC的延长线于点D,CE平分∠ACD,交AD于点E.求: (1)∠ACD的度数; (2)∠AEC的度数. 17.(海南澄迈县月考)(1)如图,已知A、B、C三点,画射线BA、线段AC、直线BC; (2)已知 ABC的面积为6,AB=3,求C点到射线AB的距离. 18.如图,在 ABC中,AD是BC边上的中线, ADC的周长比 ABD的周长多5 cm,AB与AC的和为11 cm,求AC的长. 19.如图,在 ABC中,已知∠ABC=60 ,∠ACB=50 ,BE是AC上的高,CF是AB上的高,H是BE和CF的交点.求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 8．1　与三角形有关的边和角 第1课时　认识三角形 1．由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做__三角形__． 2．按角分类： 三角形. 按边分类： 3．三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，列表如下： 线段 名称 三角形的高 三角形的 中线 三角形的 角平分线 文字 语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作__垂线__，顶点和垂足之间的线段 三角形中，连结一个顶点和它对边__中点__的线段 三角形一个内角的__平分线__与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 图形 语言 作图 语言 过点A作AD⊥BC于点D 取BC边的中点D，连结AD 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D 标示 图形 考点1　三角形的有关概念 【典例1】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是( A ) 　 　　　　　 　　　　　 　　 解析：由题意，知有A选项中的图形是三角形，故选A. 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【变式训练】 1．如图，用数字标注了3个三角形，其中△ABD表示的是(　A　) A．① B．② C．③ D．都不对 考点2　三角形的分类 【典例2】如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是( B ) 　　　 A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对 解析：∵等腰三角形包括等边三角形， ∴①分类方法不对． ∵三角形按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，∴②分类方法对，故选B. ①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形． 【变式训练】 2．三角形按边长关系，可分为(　C　) A．等腰三角形、等边三角形 B．直角三角形、不等边三角形 C．等腰三角形、不等边三角形 D．直角三角形、等腰三角形 考点3　三角形中的重要线段 【典例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是( C ) A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 解析：A.由图，可知BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；B.由图，可知BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意；C.∵BD是△BCE的角平分线，∴∠3＝∠2，无法得知∠1与∠2，∠3的关系，说法不正确，符合题意． D．∵∠C＝90°，∴BC是△BDE的边DE上的高，正确，不符合题意；故选C. 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段 名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的 角平分线 用途 举例 1.线段垂直 2．角度相等 1.线段相等 2．面积相等 角度相等 注意 事项 1.与边的垂线不同 2．不一定在三角形内 — 与角的平分线不同 重要 特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点 【变式训练】 3．(重庆模拟)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是(　C　) A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF ∵AF是△ABC的中线， ∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意； ∵AD是高，∴∠ADC＝90°， ∴∠C＋∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意； ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，而∠BAF与∠CAF不一定相等，C说法错误，符合题意； ∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；故选C. 知识点1　三角形的有关概念 1．(海南屯昌县期末)下列图形中，是三角形的是(　C　) 　 2．如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，分别连结AD、DE，则图中的三角形一共有(　C　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，点B、C、D、E共线，试问图中A、B、C、D、E五点可确定多少个三角形？说明理由． 可以确定6个三角形．理由：经过两点可以确定一条线段，而不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形，∴图中可以确定6个三角形． 知识点2　三角形的分类 4．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(　D　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 5．有下列说法： ①等边三角形是等腰三角形； ②等腰三角形也可能是直角三角形； ③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形； ④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 其中正确的有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点3　三角形中的三种重要线段 6．(海南三亚崖州区期中)下列各图中，正确画出AC边上的高的是(　D　) 7．(海南三亚崖州区期中)三角形一边上的中线把原三角形分成两个(　B　) A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 8．任作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的三条高． 如图，锐角△ABC的三条高分别是AD、BE、CF，直角△ABC的三条高分别是AD、BA、CA，钝角△ABC的三条高分别是AD、BE、CF. 易错易混点　三角形与中线面积应用不熟练致错 9．如图，在△ABC中已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝M cm2，则S阴影的值为(　C　) A．M cm2 B．M cm2 C．M cm2 D．M cm2 由D为BC的中点，得S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝. ∵E为AD的中点， ∴S△AEB＝S△ABD＝＝S△AEC，∴S△BEC＝. ∵F为CE的中点，∴S阴影＝S△BEC＝，故选C. 10．如图，AD、AE、AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，下列各式中错误的是(　D　) A．BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC C．∠AFB＝90° D．AE＝CE ∵AD、AE、AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，∴BC＝2BD＝2DC，∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠AFB＝∠AFC＝90°，故选项A、B、C正确，选项D错误． 11．如图，在△ABC中，如果过点B作PB⊥BC交边AC于点P，过点C作CQ⊥AB交AB的延长线于点Q，那么图中线段__CQ__是△ABC的一条高． 12．(海南海口秀英区月考)如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为__6__． 连结CD，如图所示． ∵点D是AG的中点， ∴S△ABD＝S△ABG，S△ACD＝S△AGC， ∴S△ABD＋S△ACD＝S△ABC＝24， ∴S△BCD＝S△ABC＝24. ∵点E是BD的中点， ∴S△CDE＝S△BCD＝12. ∵点F是CE的中点， ∴S△DEF＝S△CDE＝6. 13．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长． ∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2BD＝2CD， ∵△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7， ∴AB＋BC＋AC＝9，AB＋BD＋AD＝8，AC＋CD＋AD＝7， ∴(AB＋BD＋AD)＋(AC＋CD＋AD)－(AB＋BC＋AC)＝8＋7－9＝6， ∴2AD＝6， ∴AD＝3. 14．(1)如图，AD是△ABC的中线，△ACD与△ABD的面积有怎样的数量关系？为什么？ (2)你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形． (1)∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ACD与△ABD等底等高， ∴△ACD与△ABD的面积相等． (2)如图： 15．(创新意识)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2 cm，设运动的时间为t秒． (1)S△ABC＝__24_cm2__； (2)当t＝__6__秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分； (3)当t＝__6.5__秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分； (4)当t为何值时，△BCP的面积为12 cm2? (1)∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm， ∴S△ABC＝AC×BC＝×8×6＝24(cm2). 故答案为24 cm2. (2)在△ABC中， ∵AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm， ∴△ABC的周长＝8＋6＋10＝24(cm)， ∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA＋AP＝BP＋BC＝12(cm)， ∴2t＝12，解得t＝6. 故答案为6. (3)当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA＋AP＝8＋5＝13(cm)， ∴2t＝13，解得t＝6.5. 故答案为6.5. (4)分两种情况： ①当点P在AC上时， ∵△BCP的面积＝12 cm2， ∴×6×CP＝12， ∴CP＝4， ∴2t＝4，t＝2； ②当点P在AB上时， ∵△BCP的面积＝12＝△ABC面积的一半， ∴点P为AB的中点， ∴2t＝13，t＝6.5. 故当t为2或6.5时，△BCP的面积为12 cm2. 第2课时　三角形的内角和与外角和 1．三角形内角和定理：三角形的内角和等于__180°__. 2．直角三角形的两个锐角__互余__． 3．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角的和．(2)三角形的一个外角__大于__任何一个与它不相邻的内角． 4．三角形的外角和等于__360°__． 考点1　三角形的内角和 【典例1】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为( C )三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．等腰 解析：∵∠A＝∠B＝∠C， ∴可以假设∠A＝x°，∠B＝(2x)°，∠C＝(3x)°. 由题意，得x＋2x＋3x＝180， ∴x＝30， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故选C. 考查三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练】 1．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是(　A　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 考点2　三角形外角的性质 【典例2】如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝( A ) A．30° B．35° C．40° D．45° 解析：∵∠A＝75°，∠ACD＝105°， ∴∠B＝∠ACD－∠A＝105°－75°＝30°. 故选A. 考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 【变式训练】 2．如图，在△ABC中，点D、E在射线BA上，则∠1、∠2、∠B之间的大小关系为(　D　) A．∠1＜∠2＜∠B B．∠B＜∠2＜∠1 C．∠1＜∠B＜∠2 D．∠B＜∠1＜∠2 ∵∠2是△ADC的外角， ∴∠2＝∠1＋∠ACD， ∴∠2＞∠1.∵∠1是△BCD的外角， ∴∠1＝∠B＋∠BCD，∴∠1＞∠B， ∴∠B＜∠1＜∠2.故选D. 知识点1　三角形的内角和 1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝(　A　) A．75° B．105° C．55° D．65° 2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝18°， 求∠C的度数． ∵AD是BC边上的高，∠B＝42°， ∴∠BAD＝48°， ∵∠DAE＝18°，∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝30°， ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝60°，∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝78°. 知识点2　三角形外角的性质 3．(海南海口期末)如图，∠A＝65°，∠B＝45°，则∠ACD＝(　D　) A．65° B．60° C．45° D．110° 4．如图，直线AB∥CD，连结BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的度数为(　B　) A．27° B．42° C．45° D．70° 5．如图△ABC，延长CB到D，延长BC到E，∠A＝80°，∠ACE＝140°，求∠1的度数． ∵∠ACE＝140°， ∴∠ACB＝40°， ∵∠A＝80°， ∴∠1＝40°＋80°＝120°. 知识点3　三角形的外角和 6．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为(　C　) A．90° B．110° C．100° D．120° 设三个外角的度数分别为2k、3k、4k，根据三角形外角和定理，可知2k＋3k＋4k＝360°，得k＝40°，∴最小的外角为2k＝80°，故最大的内角为180°－80°＝100°. 易错易混点　对三角形外角整合能力不足致错 7．如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是(　B　) A.180° B．360° C．540° D．720° 如图，∵∠1是△ABG的外角， ∴∠1＝∠A＋∠B. ∵∠2是△EFH的外角， ∴∠2＝∠E＋∠F. ∵∠3是△CDI的外角， ∴∠3＝∠C＋∠D. ∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角， ∴∠1＋∠2＋∠3＝360°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°. 故选B. 8．(海南海口期末)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是(　D　) A．65° B．75° C．95° D．105° 9．小明把一副含45°、30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(　B　) A．180° B．210° C．360° D．270° ∠α＝∠1＋∠D，∠β＝∠4＋∠F，∴∠α＋∠β＝∠1＋∠D＋∠4＋∠F＝∠2＋∠D＋∠3＋∠F＝∠2＋∠3＋30°＋90°＝210°. 10．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为__60°或18°__． 如图1，当∠BFD＝90°时， ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴在Rt△ADF中，∠ADF＝60°； 图1 　　　 图2 如图2，当∠BDF＝90°时， 同理可得∠BAD＝30°， ∵∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，∴∠B＝42°， ∴∠BDA＝180°－∠B－∠BAD＝180°－42°－30°＝108°， ∴∠ADF＝∠BDA－∠BDF＝108°－90°＝18°. 综上所述，∠ADF的度数为60°或18°. 故答案为60°或18°. 11．(海南澄迈县期中)如图，∠1＝∠2＝25°，∠3＝∠4，∠A＝80°，则x和y的度数分别是 __130°__与 __105°__． ∵∠1＝∠2＝25°，∴∠ABC＝50°. ∵∠A＝80°， ∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠A＝180°－50°－80°＝50°， ∴∠3＝∠4＝25°. ∵∠BDC是△ABD的外角， ∴y＝25°＋80°＝105°. ∵∠BEC是△CED的外角， ∴x＝105°＋25°＝130°， 故答案为130°；105°. 12．如图，E为△ABC内一点，BE的延长线交AC于点D，∠1＝(4m－1)°，∠2＝(3m＋2)°，∠A＝(4m－5)°，求m的取值范围. 根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，得解得3＜m＜7. 13．如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东60°的方向上，同时一艘客船在B处看见巡逻艇M在其北偏东20°的方向上，试求此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠AMB的度数． ∵∠DAM＝60°，AD∥BE， ∴∠AFE＝∠BFM＝120°， 又∵∠FBM＝20°， ∴∠AMB＝180°－∠FBM－∠BFM＝180°－120°－20°＝40°. 14．(海南琼中县月考)如图，△ABC的内角∠ABC平分线与它的外角∠ACD平分线交于点P. (1)若∠A＝60°，∠ABC＝48°，求∠P的度数； (2)猜想∠P与∠A的数量关系，并予以证明． (1)∵∠A＝60°，∠ABC＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠ABC＝108°. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴∠CBP＝∠ABC＝24°，∠DCP＝∠ACD＝54°， ∴∠P＝∠DCP－∠CBP＝30°； (2)∠A＝2∠P， ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A＋∠ABC， ∴∠A＝∠ACD－∠ABC. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴∠CBP＝∠ABC，∠DCP＝∠ACD， ∴∠P＝∠DCP－∠CBP ＝∠ACD－∠ABC. ＝(∠ACD－∠ABC) ＝∠A，∴∠A＝2∠P. 15.(推理能力)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，所以∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论． (2)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明) (1)不成立．结论是∠BPD＝∠B＋∠D. 如图，延长BP交CD于点E， ∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED， 又∵∠BPD＝∠BED＋∠D, ∴∠BPD＝∠B＋∠D. (2)结论：∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D. 第3课时　三角形的三边关系 1．三角形的三边关系：定理：三角形任意两边之和__大于__第三边．推论：三角形任意两边之差__小于__第三边． 2．三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的__稳定性__. 考点1　三角形的三边关系 【典例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( A ) A．3、4、5 B．2、5、8 C．5、5、10 D．1、6、7 解析：A.3＋4＞5，故能构成三角形，故此选项符合题意；B.2＋5＜8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；C.5＋5＝10，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；D.1＋6＝7，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．故选A. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 【变式训练】 1．把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是(　D　) 考点2　三角形的稳定性 【典例2】生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是( C ) 解析：屋顶支撑架、自行车脚架、旧门钉木条都是利用了三角形的稳定性，伸缩门是利用了四边形的不稳定性，故选C. 考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，关键是分析能否在同一平面内组成三角形． 【变式训练】 2．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的(　B　) A．全等性 B．稳定性 C．不稳定性 D．美观性 知识点1　三角形的三边关系 1．(海南万宁月考)以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是(　D　) A．2、4、7 B．3、3、6 C．5、8、2 D．4、5、6 2．(海南儋州月考)如果线段2、7、m能组成一个三角形，则m的值可能是(　C　) A．4 B．5 C．8 D．12 3．若三角形的三边长分别为3、4、x－1，则x的取值范围是__2＜x＜8__． 4．在△ABC中，AB＝9，AC＝2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长． 根据三角形的三边关系，得9－2＜BC＜9＋2，即7＜BC＜11， ∵BC为偶数，∴BC＝8或10， ∴△ABC的周长为9＋2＋8＝19或9＋2＋10＝21. 知识点2　三角形的稳定性 5．如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是(　B　) A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有__稳定__性． 易错易混点　模型观念不强致错 7．平面内，将长分别为1、1、3、x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是(　B　) A．1 B．3 C．5 D．7 8．有长度分别是4 cm、5 cm、8 cm和9 cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为(　D　) A．0 B．1 C．2 D．3 若选取长度分别是4 cm、5 cm、8 cm的小棒，4＋5＞8，故能围成三角形；若选取长度分别是4 cm、5 cm、9 cm的小棒，4＋5＝9，故不能围成三角形；若选取长度分别是5 cm、8 cm、9 cm的小棒，5＋8＞9，故能围成三角形；若选取长度分别是4 cm、8 cm、9 cm 的小棒，4＋8＞9，故能围成三角形．综上所述，可以围成3个不同形状的三角形． 9．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是(　B　) A．7 B．10 C．11 D．14 ∵其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8， ∴任意两颗螺丝的距离的最大值是4＋6＝10. 10．(海南保亭县期中)已知a、b、c是△ABC的三边长，满足|a－7|＋(b－2)2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 __16__． ∵|a－7|＋(b－2)2＝0， ∴a－7＝0，b－2＝0， 解得a＝7，b＝2. 由三角形三边关系定理， 得7－2＜c＜7＋2， 即5＜c＜9. 又∵c为奇数，∴c＝7， ∴△ABC的周长为7＋2＋7＝16.故答案为16. 11．一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，三角形的一边长6 cm，求其他两边长． 分两种情况．(1)当6是腰时，底边＝20－6×2＝8(cm)，即其他两边是6 cm、8 cm，此时6＋6＝12>8，能构成三角形；(2)当6是底边时，腰长＝(20－6)÷2＝7(cm)，此时能构成三角形， ∴其他两边是7 cm、7 cm. 综上所述，其他两边长分别为6 cm、8 cm或 7 cm、7 cm. 12．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学原理． 　　 如图： 图1　　　　 　 　图2　　　　 　 　图3 原理是三角形的稳定性． 13．如图，O是△ABC内任意一点，连结OB、OC. (1)求证：∠BOC＞∠A； (2)比较AB＋AC与OB＋OC的大小，并说明理由. (1)延长BO交AC于点D， ∴∠BOC＞∠ODC，又∠ODC＞∠A， ∴∠BOC＞∠A； (2)AB＋AC＞OB＋OC， ∵AB＋AD＞OB＋OD，OD＋CD＞OC， ∴AB＋AD＋CD＞OB＋OC， 即AB＋AC＞OB＋OC. 14．已知三角形的周长为60，求最长边c的取值范围． 在△ABC中，不妨设a≤b≤c， ∵a＋b＞c，∴a＋b＋c＞2c， 即60＞2c，∴c＜30， ∵c≥a且c≥b，∴2c≥a＋b， ∴3c≥a＋b＋c，即3c≥60，∴c≥20. ∴最长边c的取值范围为20≤c＜30. 15.(几何直观)在平面内，分别用3根、5根、6根同样的火柴棒首尾顺次连结，能搭成什么形状的三角形呢？ 通过尝试，列表如下所示，问： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图． 火柴数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴不能搭成三角形； (2)8根火柴能搭成一种三角形(3、3、2)； 示意图(等腰三角形)： 12根火柴能搭成3种不同形状的三角形(4、4、4；5、5、2；3、4、5).示意图： 第4课时　三角形习题课 一、选择题 1．三角形是(　B　) A．连结任意三点组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形 C．由三条线段组成的图形 D．以上说法均不对 2．(海南琼海期末)若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是(　C　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ∵三角形的外角和为360°，两个外角之和为280°， ∴第三个外角的度数为360°－280°＝80°， ∴其相邻内角是180°－80°＝100°， ∴该三角形是钝角三角形．故选C. 3．已知某三角形的两边长分别为2和4，且第三边为偶数，则该三角形周长为(　A　) A．10 B．11 C．12 D．13 4．(海南琼中县期中)如图，点E、D分别在AB、AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　A　) A．85° B．80° C．75° D．70° ∵∠1＋∠2＋∠A＝180°，∠B＋∠C＋∠A＝180°， ∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C. ∵∠B＝30°，∠C＝55°， ∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C＝30°＋55°＝85°.故选A. 5．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于(　A　) A．30° B．40° C．60° D．70° 如图，∵AB∥CD，∠A＝70°， ∴∠1＝∠A＝70°， ∵∠1＝∠C＋∠E，∠C＝40°， ∴∠E＝∠1－∠C＝70°－40°＝30°. 6．如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是(　C　) A．∠ABE B．∠BAD C．∠DAC D．∠C 在△BEC和△ADC中，∠C是公共角，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝∠DAC.故选C. 7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB，AD于点F、G.则下列结论正确的是(　D　) ①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠EAD；③∠BAE＝∠BEA；④∠DAB＋2∠AEF＝90°. A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACB＋∠CAD＝90°. ∵∠ACB＝∠BAD， ∴∠BAD＋∠CAD＝90°， ∴∠BAC＝90°，故①正确， ∵AE平分∠CAD， ∴∠DAE＝∠CAE. ∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE，∠ACB＝∠BAD，∴∠BAE＝∠ACB＋∠CAE＝∠BEA，故③正确，∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE. ∵∠CAD＝2∠CAE＝2∠EAD， ∴∠CAD＝2∠AEF， ∴∠AEF＝∠EAD，故②正确； ∵∠CAD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF， ∴2∠AEF＋∠DAB＝90°，故④正确， ∴正确的有①②③④. 二、填空题 8．如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有__6__个． ∵AD⊥BC于点D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个， ∴以AD为高的三角形有6个． 9．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x－5|＋|x－13|＝__8__． 10．(海南琼中县月考)如图，AD与CE交于点B，若∠C＝90°，∠A＝36°，则∠D＝∠E，则∠D＝__63__度． 11．(海南临高县期中)在△ABC中，AD是中线，若△ABC的面积是20，则△ABD的面积为 __10__． 如图，过A作AH⊥BC于H. ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝BC. ∵△ABD的面积＝BD·AH，△ABC的面积＝BC·AH， ∴S△ABD＝S△ABC＝×20＝10.故答案为10. 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠ACP＝∠PBC，则∠BPC＝__110°__． ∵∠BAC＝40°， ∴∠ACB＋∠ABC＝180°－40°＝140°， 又∵∠ACB＝∠ABC，∠ACP＝∠CBP，∴∠PBA＝∠PCB，∴∠ACP＋∠ABP＝∠PCB＋∠PBC＝140°×＝70°， ∴∠BPC＝180°－70°＝110°. 13．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如下两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的. (1)图1中∠ABC的度数为__75°__． (2)图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为__75°__． 　 (1)∵∠F＝30°，∠EAC＝45°， ∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°， ∵∠FBC＝90°， ∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝90°－15°＝75°. (2)∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，∴∠C＝30°， ∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°， ∴∠AFD＝∠CAE＋∠E＝30°＋45°＝75°. 三、解答题 14．(海南三亚期中)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝68°，∠BCD＝31°.求∠B，∠ADC的度数． ∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°， ∴∠ACB＝2∠BCD＝62°. 又∵∠A＝68°， ∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝50°， ∴∠ADC＝∠B＋∠BCD＝50°＋31°＝81°. 综上所述，∠B，∠ADC的度数分别是50°、81°. 15．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数． 设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x. ∵∠BAC＝63°，∴∠2＋∠4＝117°，即x＋2x＝117°，∴x＝39°， ∴∠3＝∠4＝78°， ∴∠DAC＝180°－∠3－∠4＝24°. 16．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E.求： (1)∠ACD的度数； (2)∠AEC的度数． (1)∵∠ACD＝∠B＋∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°， ∴∠ACD＝25°＋31°＝56°. (2)∵AD⊥BD，∴∠D＝90°. ∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACD＝28°， ∴∠AEC＝∠ECD＋∠D＝28°＋90°＝118°. 17．(海南澄迈县月考)(1)如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段AC、直线BC； (2)已知△ABC的面积为6，AB＝3，求C点到射线AB的距离． (1)画射线BA，线段AC.直线BC，如图． (2)∵△ABC的面积为6，AB＝3，∴C点到射线AB的距离为6×2÷3＝4. 18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB与AC的和为11 cm，求AC的长. ∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点， ∴CD＝BD. ∵△ADC的周长－△ABD的周长＝5 cm， ∴AC－AB＝5(cm). 又∵AB＋AC＝11(cm)，∴AC＝8 cm，即AC的长度是8 cm. 19．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数． ∵BE是AC上的高，∴∠AEB＝90°， ∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°－60°－50°＝70°， ∴∠ABE＝180°－90°－70°＝20°. ∵CF是AB上的高，∴∠AFC＝90°， ∴∠ACF＝180°－90°－70°＝20°， ∵∠ABE＝20°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－20°＝40°. ∵∠ACF＝20°，∠ACB＝50°， ∴∠BCH＝30°， ∴∠BHC＝180°－40°－30°＝110°. 学科网（北京）股份有限公司 $$