高一数学期中仿真模拟试卷02（全国通用，测试范围：人教A版2019必修第二册第6～8章点、直线、平面之间的位置关系）-2024-2025学年高一数学下学期

2024-2025学年高一数学下学期期中仿真模拟试卷02 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 2.已知水平放置四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面； B. 与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线； C. 空间三点确定一个平面； D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 6. 苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ） A. 350米 B. 400米 C. 450米 D. 500米 7. 在中，，的角平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知球的半径，球面上有三点A，B，C，满足，点在球面上运动，则当四面体的体积取得最大值时，（ ） A. B. C. 13 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为2 D. 若是关于x的方程的根，则 10.对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11.已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一个圆锥截成圆台，已知圆台的上､下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为，则圆台的母线长为___________. 13. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则______． 14. 已知中，点、分别是重心和外心，点为边中点，且，，则边的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 16.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） （1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？ （2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 17. 已知，，且，，与的夹角为45°．，． （1）求的值； （2）若向量，的夹角为锐角，求实数的取值范围； （3）若四边形为梯形，求的值． 18.如图，在凸四边形中，已知． （1）若，，求的值； （2）若，四边形的面积为4，求的值． 19. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中仿真模拟试卷02 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】复数，故复数的实部为. 故选：A 2.已知水平放置四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图， 因为斜二测直观图为矩形，，， 则， 可得原图中（右图），，， 所以四边形的面积为. 故选：B. 3. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】 【解析】，故. 故选：B 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为向量，， 因为， 所以，即， 由余弦定理可得. 因为，所以， 故选：B. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面； B. 与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线； C. 空间三点确定一个平面； D. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】B 【解析】对A，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误； 对B，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B正确； 对C，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C错误； 对D，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误； 故选：B. 6. 苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ） A. 350米 B. 400米 C. 450米 D. 500米 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理得：， 即， 又，所以， 所以金融中心的高度为 . 故选：C 7. 在中，，的角平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，的角平分线AD交BC边于点D，故， 故， 由正弦定理可得，故，故， 故，故， 故选：C. 8. 已知球的半径，球面上有三点A，B，C，满足，点在球面上运动，则当四面体的体积取得最大值时，（ ） A. B. C. 13 D. 【答案】A 【解析】因为， 所以，因此外接圆半径为， 因为球的半径，所以球心到平面ABC的距离为5，． 要使得四面体的体积最大，只要点到平面ABC的距离最大，并且最大距离为， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为2 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】AD 【解析】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C错误； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：AD 10.对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ACD 【解析】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以， 为钝角三角形，A正确； 选项B：如图所示， 若有两解，则，解得，B错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C正确； 选项D：若，， 由余弦定理，， 所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确. 故选：ACD 11.已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABC 【解析】对A，由可得， 即，可得， 因此，在正六边形的对角线上运动， 所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对B，因为正六边形关于对角线对称，故，故B正确； 对C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值， 当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确； 对D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离， 又当时，有最小值，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一个圆锥截成圆台，已知圆台的上､下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为，则圆台的母线长为___________. 【答案】9 【解析】解析如图所示，设圆台的母线长为， 截得的圆台的上､下底面半径分别为，， 则根据三角形相似的性质，得，解得. 故答案为： 13. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则______． 【答案】 【解析】的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故答案为： 14. 已知中，点、分别是重心和外心，点为边中点，且，，则边的长为______． 【答案】 【解析】如图，连接，作于，则是的中点，， ， 同理， ， ， 所以， 又， 即，， 所以，即， 由余弦定理得， 所以. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设，，， 由题意得，解得或，又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以. （2），，， 所以对应的点，，， 从而，，. 16.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） （1）试问该箱中有多少个这样的陀螺？ （2）如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 【答案】（1）个； （2）. 【解析】（1）因为，所以， 圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为， 所以一个陀螺的体积为，质量为， 所以该箱中共有陀螺个. （2）易知， 则圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为， 底面面积为， 所以一个陀螺的表面积为， 所以， 所以，给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少的颜料. 17. 已知，，且，，与的夹角为45°．，． （1）求的值； （2）若向量，的夹角为锐角，求实数的取值范围； （3）若四边形为梯形，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】（1）， ； （2）因为向量，的夹角为锐角， 所以且向量，不共线， 由，得， 即，解得， 若向量，共线，则存在唯一实数，使得， 即，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （3）， ， 若，则存在唯一实数，使得， 即， 所以，解得， 若，则存在唯一实数，使得， 即， 所以，解得， 综上所述，，不同时成立， 所以四边形为梯形，的值为或. 18.如图，在凸四边形中，已知． （1）若，，求的值； （2）若，四边形的面积为4，求的值． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】（1）在△中，∵， ∴． 在△中，由正弦定理得，， ∴． ∵，∴， ∴． （2）在△、△中，由余弦定理得， ， ， 从而①， 由得， ②， 得，， ∴． 19. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； （2）由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； （3）由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$