高一数学期中仿真模拟试卷01（全国通用，测试范围：人教A版2019必修第二册第6～8章点、直线、平面之间的位置关系）-2024-2025学年高一数学下学期

2024-2025学年高一数学下学期期中仿真模拟试卷01 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2.已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 在长方体中，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. 64m B. 74m C. 52m D. 91m 7.如图，在边长为3的正三角形中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. O为点A，B，C所在直线外一点，且，则 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为 D. 若点G为中线的交点，则 10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，，，则三角形有两解 D. 若，，则的外接圆半径为 11.如图，在长方体中，，，分别为棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与为相交直线 B. 异面直线与所成角为 C. 若是棱上一点，且，则四点共面 D. 平面截该长方体所得截面可能为六边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则圆台的体积为______． 13. 已知平面向量，满足，，，则__________． 14. 中，角，，对边分别为，，，点是所在平面内的动点，满足．射线与边交于点．若，，则角的值为 _____，面积的最小值为 _______． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（其中是虚数单位，）． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）求的取值范围． 16. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示； （2）若，与的夹角为，求 17. 在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答.（注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分） ①；②；③向量，，. 在中，内角，，的对边分别为，，，且___________. （1）求； （2）若，求周长的最大值. 18.如图1，设半圆的半径为2，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： （1）求在圆锥中的线段的长； （2）求四面体的体积； （3）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）若，求的值； （2）过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中仿真模拟试卷01 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】因为单位向量的夹角为， 所以 ， 故选：A 2.已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】因为， 所以在复平面内对应点位于第三象限， 故选：C. 3. 如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】因为、均在坐标轴上，设， 所以由图和分别在以为原点的平面直角坐标的x和y轴上， 且、， 所以， 所以. 故选：B 4. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B 5. 在长方体中，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，连接，． 在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角； 在三角形中，， 由余弦定理得． 故选：． 6. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. 64m B. 74m C. 52m D. 91m 【答案】B 【解析】因为中，，，， 所以， 因为中，，， 所以， 由题意，，， 则， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故. 故选：B 7.如图，在边长为3的正三角形中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】由题意知，， 则 ， 所以 . 故选：C. 8. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 则， 所以，解得，则， 所以 ， 所以的取值范围是． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. O为点A，B，C所在直线外一点，且，则 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为 D. 若点G为中线的交点，则 【答案】ACD 【解析】对于选项A：由A，B，C三点共线，O为点A，B，C所在直线外一点， 有，其中，即，所以，故A正确； 对于选项B：，若与的夹角为锐角， 则，解得， 当与共线时，，解得， 此时，与夹角为0，不符合题意， 所以实数的取值范围是，故B不正确； 对于选项C：因为， ， 所以在上的投影向量的坐标为，故C正确； 对于选项D：若点G为中线的交点，延长与交于， 则为的中点，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，，，则三角形有两解 D. 若，，则的外接圆半径为 【答案】ABD 【解析】由，可得，即为的外接圆的半径），即有，故A正确； 由正弦定理可得，故B正确； 若，，，则，而，即，则为锐角，三角形有且只有一解，故C错误； 若，，可得，内角，即有，即，故D正确． 故选：ABD． 11.如图，在长方体中，，，分别为棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与为相交直线 B. 异面直线与所成角为 C. 若是棱上一点，且，则四点共面 D. 平面截该长方体所得截面可能为六边形 【答案】AC 【解析】因为且，可得四边形为梯形， 所以与必相交，所以A正确； 由题意，在正方体中，因为平面， 平面，所以， 假设异面直线与所成角是，即， 平面，， 可得平面，而平面， 则， 在长方形中，因为， 取中点，可知正方形中， 可得与不垂直，矛盾， 所以异面直线与所成角不是，所以B错误； 点是棱上一点，且，取的中点，连接， 因为分别是和的中点，所以， 由四边形为平行四边形，所以，所以四点共面，所以C正确； 由选项C可知，为截面的边，截面又与平面及相交， 可得截面的两条边，所以截面共有五边形，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则圆台的体积为______． 【答案】 【解析】设圆台上底面半径为，轴截面如下图所示：过作，垂足为， 则有，，，，因为， 所以有或（舍去）， 所以圆台的体积为：， 故答案为： 13. 已知平面向量，满足，，，则__________． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以两边同时平方得：， 即，解得， 所以． 故答案为：． 14. 中，角，，对边分别为，，，点是所在平面内的动点，满足．射线与边交于点．若，，则角的值为 _____，面积的最小值为 _______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 根据向量加法的几何意义可知在三角形的角平分线上， 即是三角形角平分线， 由可得，， 得， 则为锐角，所以， 依题意， 根据三角形面积公式有， 整理得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以三角形面积的最小值为． 故答案为：①；①． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（其中是虚数单位，）． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 若复数是纯虚数，则，所以. （2）由（1）得，， 因为是开口向上的抛物线，有最小值, 所以. 16. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示； （2）若，与的夹角为，求 【答案】（1）, （2） 【解析】（1）因， 所以. 所以. 因为E是AD的中点， 所以. （2）由（1）知，， 所以 ， 所以 17. 在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答.（注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分） ①；②；③向量，，. 在中，内角，，的对边分别为，，，且___________. （1）求； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）若选①：， 由正弦定理得，又， 所以，又，所以，即， 又，所以； 若选②：因为，所以， 所以，所以，因为， 所以，所以，所以； 若选③：因为向量，，， 所以，化简得， 所以，又，所以； （2）由余弦定理得， 所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即周长的最大值为. 18.如图1，设半圆的半径为2，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： （1）求在圆锥中的线段的长； （2）求四面体的体积； （3）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为， 则，解得， 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形， 所以，所以， 又因为点、分别是、的中点， 所以； （2），圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为； （3）连接交于点，连接并延长交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥， 因为点、分别是、的中点， 所以为的中点，且， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为． 19. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）若，求的值； （2）过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】（1）由正弦定理，∴，， 代入，整理得∴； （2）①在中，由正弦定理，得， ∴，∴或（舍），∴， ∵，且，所以三点共线， ∴，故， ∴，∴． ②设，，，则，， 在中，，则， 在中，， 则 ， 因为，故，， 则，即的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$