19.2.3一次函数与方程、不等式 课件 2024—2025学年人教版八年级数学下册

人教版·数学 八年级下 一次函数与方程、不等式 1 1. 认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系． 2. 会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义. 学习目标 3. 经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想. 2 二元一次方程 这是怎么回事？ 一次函数 y=3x+1 3x+y=1 3x+y=1这是什么？ 　　 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”. 二元一次方程 一次函数 到我这里来 到我这里来 x + y = 5 这是怎么回事？ x + y = 5 应该坐在哪里呢？ 课堂导入 我们先来看下面两个问题： （1）解方程2x+20=0. （2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？ 问题： 1. 对于2x+20=0 和y=2x+20，从形式上看，有什么相同和不同？ 2. 从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？ 知识点 ：一次函数与一元一次方程 作出函数y=2x+20的图象. 【思考】函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0? 与x轴的交点(-10,0). 即当x=-10时，函数y=2x+20的值为0，这说明方程2x+20=0的解是x=-10.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标. 20 -10 0 x y 问题(1)解方程2x+20=0， 得x=-10. 所对应的（ ）为何值？ 实质上这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10.因此，这两个问题实际上是同一个问题. 问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为（ ）时. 自变量x 0 从图象上看： 问题 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ (1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1． 从函数值看：解这 3 个方程 ⟺ 一次函数 y = 2x + 1，当 y 分别为 3，0，-1 时，求自变量 x 的值. y y y 7 从函数图象看：在直线 y = 2x + 1上，取纵坐标分别为 3，0，-1 的点，看它们的横坐标分别为多少? (1) 2x + 1= 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1． y y y 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 2x +1 = 3 的解 y = 2x + 1 2x + 1 = 0 的解 2x + 1 = -1 的解 8 你能把得到的结论推广到一般情况吗？ 一般地，一元一次方程 ax + b = c (a、 b、c为常数，a ≠ 0)的解就是当函数__________的函数值为_____时的自变量_____的值. 如：求 4x + 5 = 9 的解 ⟺ 求一次函数 y = 4x + 5 的函数值为 9 时，自变量的值. 总结 y = ax + b c x 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 我们知道任何一元一次方程都可以转化 kx + b = 0的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗? 一次函数 y = kx+b. 中，y = 0时 x 的值. 从“函数值”看 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 求直线 y = kx+b. 与 x 轴交点的横坐标 从“函数图象”看 归纳总结 以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题 序号 一元一次方程问题 一次函数问题 1 解方程3x－2=0 当x为何值时,y=3x－2的值为0. 2 解方程8x+3=0 3 当x为何值时,y= -7x+2的值为0. 4 解方程 3x-2=8x+3 当x为何值时,y=8x+3的值为0. 解方程-7x+2=0 当x为何值时, y=-5x-5的值为0. 1. 直线 y＝2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ， )，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____. -10 0 -10 2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx＋2与 x 轴交点坐标为(____，_____). 5 0 练一练 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答) 解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒。 由题意得2x+5=17 解得 x=6. 答：再过6秒它的速度为17米/秒. 考点 利用一次函数、方程及图象解答问题 解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5. 由2x+5=17, 得 2x－12=0. 由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6. O x y 6 －12 y=2x－12 解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5. 由右图可以看出当y =17时，x=6. y=2x+5 x y O 6 17 5 －2.5 根据图象请说出是哪些一元一次方程的解 方程5x =0的解是x=0 方程x+2 =0的解是x=-2 方程-2.5x+5 =0的解是x=2 方程x-3 =0的解是x=3 y=5x 0 x y y=x+2 -2 0 x y 3 y=x-3 x 0 y 2 y=-2.5x+5 0 x y 当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8. 已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是( )。 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y -2 -2 -2 -2 -2 A B C D B (1)x=-4； (2)x=-8. 解: 问题下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ 知识点：一次函数与一元一次不等式 　 (1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1． 从函数值的角度看：解这 3 个不等式 ⟺ 在一次函数 y = 3x + 2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量 x 的取值范围. 【讨论】观察下面3个不等式有什么共同点与不同点？ （1） ＞2； （2） ＜0； （3） ＜-1. 3个不等式相同的特点是：不等号左边都是 ； 不同点是：不等号及不等号右边分别是 ， ， . 2 0 -1 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 3x + 2 y = 2 y = 0 y = -1 从函数图象的角度看：解这 3 个不等式 ⟺ 在直线y = 3x + 2 上取纵坐标分别满足大于 2、小于 0、小于 -1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件. 求 kx+b＞0(或<0) (k ≠ 0)的解集 y = kx + b 的值. 大于(或小于) 0. 时，x 的取值范围. 从“函数值”看 求kx+b＞0(或＜0) (k ≠ 0)的解集 确定直线y = kx + b. 在 x 轴上方(或下.. 方)的图象所对应的. x 取值范围. 从“函数图象”看 一次函数与一元一次不等式的关系 归纳总结 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0). x O B(2,0) A(0,6) y 考点 利用一次函数的图象解一元一次不等式 解：（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2； x O B(2,0) A(0,6) 3 1 (1,3) y （2）由图象可知，当x>1时，y<3. （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 如图，已知直线 y = kx + b 与 x 轴交于点(-4，0)，则当 y > 0 时，x 的取值范围是( ). A. x > -4 B. x > 0 C. x < -4 D. x < 0 C O x y －4 y = kx + b 做一做 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ）. A．x＞-2  B．x＜-2 C．x＞-1     D．x＜-1 B -2 -1 x y 0 y=kx+b 探究一 方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个. 无数个 探究二 等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是_____________. y=-x+5 知识点：一次函数与二元一次方程 探究三 画出y=-x+5 的图象. · · 5 5 x 0 y=-x+5 0 y=-x+5 探究四 以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数 y=-x+5的图象上吗？ 都在 · · y=-x+5 探究五 在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？ 都适合 探究六 以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？ 相同 在一次函数y=5-x的图象上 方程x+y=5的解 从形到数 从数到形 讨论 一次函数与二元一次方程有什么关系？ 一次函数 二元一次方程 一次函数 y =-x+5 二元一次方程 y +x =5 二元一次方程 y =-x+5 用方程观点看 用函数观点看 　　从式子（数）角度看： 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 二元一次方程与一次函数的关系 方程x-y=1有一个解为 ，则一次 函数y=x-1的图象上有一点为 . x=2 y=1 (2,1) 一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2), 则方程2x-y=4有一个解为 . 练习 x=3 y=2 问题1号探测气球从海拔 5 m 处出发，以 1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔 15 m 处出发，以 0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了 1 h． h1 h2 气球1 海拔高度：y = x + 5； 气球2 海拔高度：y = 0.5x + 15． 知识点 ：一次函数与二元一次方程组 什么时刻，1 号气球的高度赶上 2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究. 从数的角度看： 就是求自变量为何值时，两个一次函数 y = x + 5， y = 0.5x + 15 的函数值相等，并求出函数值． 解方程组 y = x + 5 y = 0.5x + 15 h1 h2 什么时刻，1 号气球的高度赶上 2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究. 气球1 海拔高度：y = x + 5 气球2 海拔高度：y = 0.5x + 15 　　二元一次方程 组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标． A(20，25) 30 25 20 15 10 5 10 20 y = x + 5 y = 0.5x + 15 15 5 O x y 　　从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？ 解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,就是找这个函数图象的交点． 数 二元一次方程 组的解 两个一次函数所在直线的交点坐标 对应 形 确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标. 方程组的解 对应两条直线交点的坐标. 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx + b (k、b 为常数，且k ≠ 0) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 总结 归纳总结 １．解方程组 答案： 做 一 做 2．上述方程移项变形转化为一次函数. 和 在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象． y x 0 4 1 2 3 5 5 4 3 2 1 -1 -2 第一支：在图象上取两点（0,5)，(5,0)． 第二支：在图象上取两点（0.5,0)，(0,-1)． 方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系? (2,3) 答案： 方程组 解的情况如何？ x 3 2 1 -1 -2 y -2 2 -1 0 1 3 探究 在同一直角坐标系内，一次函数y = x + 1 和 y = x - 2的图象有怎样的位置关系？ 没有解 知识点 ：二元一次方程组和对应平行线的关系 1.两不重合的直线 当l1平行于l2时，k1=k2；反之也成立. 2.方程组 当 。 c1≠c2时，方程组无解；反之也成立. 你发 现了 什么？ 1.直线 与x轴的交点是（  ） A．（0，-3）    B．（-3，0）     C．（0，3）    D．（0，-3） 2.方程 的解是 ，则函数 在自变量x等于 时的函数值是8. B x=2 2 基础巩固题 课堂检测 3、一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是(　　). A．x≥2 B．x≤2 C．x≥4 D．x≤4 B 4、如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式－2＜kx＋b＜1的 解集__________ ． －1＜x＜2 2 1 －2 －1 5. 直线 在坐标系中的位置如图，则方程 的解是x=___. -2 2 x y 0 -2 0 6.根据图象，你能直接说出一元一次方程 的解吗？ 解：由图象可知x+3=0的 解为x= −3． 3 x y 0 -3 从“形”上看 直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为（-3,0），这说明方程x＋3＝0的解是x=-3. 0 7.当自变量取何值时，函数 与的值相等？这个函数值是多少？ 解： 由已知可得： 2.5x+ 1 = 5x+ 17 解得：x=-6.4 y=5 ×(- 6.4 )+ 17 y=-15 8.用函数图象来解5x+6>3x+10. 解：化简，得2x-4>0.画出直线y=2x-4的图象. -4 2 y x 0 y=2x-4 可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时.y=2x-4>0. 所以不等式的解集是x>2. 一次函数与方程、不等式 解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 . 课堂小结 谢 谢 再 见 下课了! 49 $$