25届高考数学二轮复习重点专题突破·统计及回归分析（全国通用）

高考二轮复习专题 统计及回归分析 目 录 1 2 3 知识梳理·温故知新 典例分析·能力提升 CONTENTS 真题演练·高分突破 知识梳理·温故知新 1 4 5 6 7 8 9 典例分析·能力提升 2 典例一　 统计 √ √ 11 12 √ 13 2 14 √ 15 典例二　 回归分析 √ √ √ 16 17 7.4 18 √ 19 典例三　 独立性检验 20 √ 21 22 √ 23 √ 24 25 26 √ 27 28 29 真题演练·高分突破 3 √ 31 32 √ √ 33 34 √ √ √ 35 36 √ 37 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★二轮复习专题突破★ 1．提取频率分布直方图中的数据 (1)组距、频率：频率分布直方图中每个矩形的宽表示组距，高表示eq \f(频率,组距)，面积表示该组数据的频率，各个矩形的面积之和为1. (2)众数：最高小长方形底边中点的横坐标． (3)中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． (4)平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标，再求和． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 (1)按从小到大排列原始数据． (2)计算i＝n×p%. (3)若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3．经验回归方程 eq \o(y,\s\up12(^))＝eq \o(b,\s\up12(^))x＋eq \o(a,\s\up12(^))，其中eq \o(b,\s\up12(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1)) （xi－x）（yi－y）,\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1)) （xi－x）2)，eq \o(a,\s\up12(^))＝y－eq \o(b,\s\up12(^))x，(x，y)称为样本点的中心． 4．样本相关系数 r＝eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1)) （xi－x）（yi－y）,\r(\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1)) （xi－x）2\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1)) （yi－y）2))，主要用于衡量成对样本数据之间的线性相关程度．当r>0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关．|r|越接近1，表明成对样本数据的线性相关程度越强；|r|越接近0，表明成对样本数据的线性相关程度越弱． 5．决定系数 R2＝1－eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1)) （yi－\o(y,\s\up12(^))i）2,\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1)) （yi－y）2)，R2越大，说明残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，说明残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于响应变量变化的贡献率．R2越接近1，表示拟合的效果越好． 6．残差 残差＝观测值－预测值．如果残差图中的残差比较均匀地分布在横轴附近的水平带状区域内，说明模型拟合精度高(带状区域越窄，拟合精度越高)． 7．列联表 列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其抽样数据列联表(称为2×2列联表)为 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 可构造一个随机变量χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量． 8．独立性检验的方法 (1)提出零假设为H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较． (3)根据检验规则得出推断结论． (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． (1)【多选题】(2024·沧衡名校期末联考)在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则(　　) A．该班数学成绩的极差大于40 B．该班数学成绩不低于115分的频率为0.15 C．该班数学成绩在[95，105)内的学生比在[95，105)外的学生少 D．估计该班数学成绩的20%分位数为97.5 【解析】　该班数学成绩的极差不超过130－90＝40，故A错误； 该班数学成绩不低于115分的频率为1－5×(0.01＋0.06＋0.05＋0.03＋0.02)＝0.15，故B正确； 该班数学成绩在[95，105)内的频率为(0.06＋0.05)×5＝0.55>0.5，故C错误； 设该班数学成绩的20%分位数为x，易知x∈[95，100)，则5×0.01＋0.06×(x－95)＝0.2，所以x＝97.5，故D正确． (2)(2024·湖南模拟)2023年袁隆平“超级稻”突破亩产1 200 kg，再次刷新了杂交水稻单季亩产世界纪录．已知甲、乙两种杂交水稻在面积相等的两块试验田中连续6年的产量如图所示，则(　　) A．甲的平均产量高于乙的平均产量 B．甲的最高产量高于乙的最高产量 C．甲的产量更稳定 D．乙的产量更稳定 【解析】　甲的平均产量为eq \f(1 020＋958＋980＋1 150＋910＋1 200,6)＝eq \f(6 218,6)≈1 036(kg)，乙的平均产量为eq \f(1 116＋1 090＋1 120＋1 058＋1 132＋1 251,6)＝eq \f(6 767,6)≈1 128(kg)>1 036 kg，A错误；甲的最高产量为1 200 kg，乙的最高产量为1 251 kg，B错误；由折线图可知甲的波动更大，所以乙的产量更稳定，C错误，D正确．故选D. (3)(2024·湖北二联)由6个实数组成的一组数据的方差为s12，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为s22，则s22－s12＝________. 【解析】　因为将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，所以平均数不变， 设为x，设没有变化的4个数与平均数差的平方和为S，所以s22－s12＝eq \f([S＋（2－x）2＋（7－x）2]－[S＋（5－x）2＋（4－x）2],6)＝2. (4)(2024·浙江湖州期末)如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是(　　) A．众数<中位数<平均数 B．众数<平均数<中位数 C．中位数<平均数<众数 D．中位数<众数<平均数 【解析】　由频率分布直方图知，众数为左起第2个小矩形底边中点的横坐标，显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，所以众数<中位数<平均数．故选A. (1)【多选题】(2024·全国模拟)下表是某地从2019年至2023年能源消费总量近似值y(单位：千万吨标准煤)的数据表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号x 1 2 3 4 5 能源消费总量近似值y (单位：千万吨标准煤) 44.2 44.6 46.2 47.8 50.8 以x为解释变量，y为响应变量，若以eq \o(y1,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝eq \o(b1,\s\up12(∧),\s\do8(　))x＋eq \o(a1,\s\up12(∧),\s\do8(　))为经验回归方程，则决定系数R12≈0.929 8，若以eq \o(y2,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝eq \o(b2,\s\up12(∧),\s\do8(　))x2＋eq \o(a2,\s\up12(∧),\s\do8(　))x＋eq \o(c2,\s\up12(∧),\s\do8(　))为经验回归方程，则决定系数R22≈0.996 5，则下面结论中正确的有(　　) A．变量x和变量y的样本相关系数为正数 B． eq \o(y2,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝eq \o(b2,\s\up12(∧),\s\do8(　))x2＋eq \o(a2,\s\up12(∧),\s\do8(　))x＋eq \o(c2,\s\up12(∧),\s\do8(　))比eq \o(y1,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝eq \o(b1,\s\up12(∧),\s\do8(　))x＋eq \o(a1,\s\up12(∧),\s\do8(　))的拟合效果好 C．由经验回归方程可准确预测2024年的能源消费总量近似值 D．y＝3eq \o(b1,\s\up12(∧),\s\do8(　))＋eq \o(a1,\s\up12(∧),\s\do8(　)) 【解析】　由表格知变量x和变量y正相关，故A正确；决定系数越大，拟合效果越好，故B正确；x只能解释部分y的变化，故C错误；经验回归直线过样本点的中心(x，y)，且x＝eq \f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，故D正确．故选ABD. (2)(2024·苏锡常镇一模)已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为eq \o(y,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝0.8x＋eq \o(a,\s\up12(∧),\s\do8(　))，据此模型预测当x＝10时y的值为________． x 5 6 7 8 9 y 3.5 4 5 6 6.5 【解析】　x＝7，y＝5，∴5＝0.8×7＋eq \o(a,\s\up12(∧),\s\do8(　))，∴eq \o(a,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝－0.6，则eq \o(y,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝0.8x－0.6，当x＝10时，eq \o(y,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝7.4. (3)(2024·福建泉州二模)已知经验回归方程eq \o(y,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝eq \o(b,\s\up12(∧),\s\do8(　))x＋0.6相应于点(2，5.5)的残差为－0.1，则eq \o(b,\s\up12(∧),\s\do8(　))的值为(　　) A．－2.4　　　　　　　 B．－2.5 C．2.4 D．2.5 【解析】　因为相应于点(2，5.5)的残差为－0.1，所以5.5－eq \o(y,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝－0.1， 所以5.5＋0.1＝2eq \o(b,\s\up12(∧),\s\do8(　))＋0.6，解得eq \o(b,\s\up12(∧),\s\do8(　))＝2.5.故选D. (1)(2024·全国模拟预测)古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下2×2列联表： 有朝霞 无朝霞 合计 当天有雨 8 8 16 当天无雨 2 12 14 合计 10 20 30 参考公式：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d. 临界值参照表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则下列说法正确的是(　　) A．如果有朝霞，当天下雨的概率超过95% B．能在犯错概率不超过5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关 C．能在犯错概率不超过0.5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关 D．连续三天中必有一天出现朝霞 【解析】　由题中2×2列联表知，如果有朝霞，则当天下雨的概率约为80%，故A错误；零假设为H0：有朝霞与当天下雨无关，由题得χ2＝eq \f(30×（8×12－8×2）2,16×14×10×20)＝eq \f(30,7)≈4.286>3.841＝x0.05，故根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为有朝霞与当天下雨有关，此推断犯错误的概率不超过0.05，故B正确；χ2≈4.286<7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为有朝霞与当天下雨无关，故C错误；有朝霞的天数占总天数的eq \f(1,3)，但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞，故D错误．故选B. (2)(2024·福建龙岩阶段训练)假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为： y1 y2 x1 10 18 x2 m 26 则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱(　　) A．8 B．9 C．14 D．19 【解析】　在两个分类变量的列联表中，|ad－bc|的值越小，认为两个分类变量有关的可能性就越小． 令|ad－bc|＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，结合选项，当m＝14时，X与Y的关系最弱．故选C. (3)(2024·湖北武汉阶段训练)某校团委对“学生性别和喜欢某视频APP是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频APP的人数占男生人数的eq \f(1,6)，女生喜欢该视频APP的人数占女生人数的eq \f(2,3)，若依据小概率值α＝0.050的独立性检验，认为喜欢该视频APP和性别有关，则男生至少有(　　) 附： α 0.050 0.010 xα 3.841 6.635 　　χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d. A．12人 B．6人 C．10人 D．18人 【解析】　设被调查的男生人数为x，则被调查的女生人数为eq \f(x,2)，则2×2列联表为： 性别 对某视频APP的态度 喜欢 不喜欢 合计 男生 eq \f(x,6) eq \f(5x,6) x 女生 eq \f(x,3) eq \f(x,6) eq \f(x,2) 合计 eq \f(x,2) x eq \f(3x,2) 　若根据小概率值α＝0.050的独立性检验，认为喜欢该视频APP和性别有关，则χ2≥3.841， 即χ2＝eq \f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,6)·\f(x,6)－\f(5x,6)·\f(x,3)))\s\up12(2),x·\f(x,2)·\f(x,2)·x)＝eq \f(3x,8)≥3.841，则x≥eq \f(3.841×8,3)，又eq \f(3.841×8,3)≈10.243，eq \f(x,2)，eq \f(x,3)，eq \f(x,6)均为整数，所以男生至少有12人．故选A. (4)(2024·山西临汾二模)人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈．腹有诗书气自华，读书有益于开拓眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．某机构对某校高中学生的读书情况进行了调查，结果如下： 喜欢读书 不喜欢读书 合计 男生 260 60 320 女生 200 m m＋200 合计 460 m＋60 m＋520 附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋c）（b＋d）（c＋d）（a＋b）)，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则m的值可以为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 【解析】　根据列联表可知a＝260，b＝60，c＝200，d＝m，n＝520＋m， 则χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋c）（b＋d）（c＋d）（a＋b）) ＝eq \f(（520＋m）（260m－60×200）2,460×（m＋60）×（m＋200）×320) ＝eq \f(（520＋m）（13m－600）2,368（m＋60）（m＋200）)， 又根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关， 则χ2≥10.828即可， 即eq \f(（520＋m）（13m－600）2,368（m＋60）（m＋200）)≥10.828即可． 当m＝10时，eq \f(（520＋10）（13×10－600）2,368（10＋60）（10＋200）)≈21.642>10.828，满足题意，故m可取10； 当m＝20时，eq \f(（520＋20）（13×20－600）2,368（20＋60）（20＋200）)≈9.638<10.828，不满足题意； 当m＝30时，eq \f(（520＋30）（13×30－600）2,368（30＋60）（30＋200）)≈3.184<10.828，不满足题意； 当m＝40时，eq \f(（520＋40）（13×40－600）2,368（40＋60）（40＋200）)≈0.406<10.828，不满足题意．故选A. 1．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 解析　对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050，1 100)，故A不正确； 对于B，100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为eq \f(6＋12＋18＋30,100)×100%＝66%，故B不正确； 对于C，因为1 200－900＝300，1 150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确； 对于D，100块稻田亩产量的平均值为eq \f(1,100)×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg)，故D不正确(另解：由表知，小于1 000的数据远少于大于1 000的数据，所以100块稻田亩产量的平均值大于1 000 kg，所以D不正确)．综上所述，故选C. 2．【多选题】(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 解析　无法判断x2，x3，x4，x5的平均数与x1，x2，…，x6的平均数是否相同，A错误． x2，x3，x4，x5的中位数一定等于x1，x2，…，x6的中位数，B正确． 对于C，方法一：令xi＝i(i＝1，2，…，6)，则x2，x3，x4，x5的方差s12＝eq \f(1,4)[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(7,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(7,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(7,2))) eq \s\up12(2)]＝eq \f(5,4)， x1，x2，…，x6的方差s22＝eq \f(1,6)[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(7,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(7,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(7,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(7,2))) eq \s\up12(2)]＝eq \f(35,12)， s12<s22，C错误． 方法二：例如：x1＝1，x6＝6，x2，x3，x4，x5＝2，∴x2，x3，x4，x5的标准差为0，而x1，x2，…，x6的标准差>0，C错误． 对于D，x1，x6分别是xi(i＝1，2，…，6)中的最小值与最大值，x2，x3，x4，x5的极差一定不大于x6－x1，D正确． 3．【多选题】(2023·新高考Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)(　　) A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 解析　对于A，采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A正确． 对于B，采用三次传输方案发送1，依次收到1，0，1的概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，B正确． 对于C，采用三次传输方案发送1，则译码为1的情况为收到2个1或3个1，收到2个1的概率为C32β(1－β)2，收到3个1的概率为(1－β)3，则译码为1的概率P＝C32β(1－β)2＋(1－β)3，C错误． 对于D，采用三次传输方案发送0，译码为0的概率P1＝C32α(1－α)2＋(1－α)3，采用单次传输方案发送0，译码为0的概率P2＝1－α，P2－P1＝(1－α)－C32α(1－α)2－(1－α)3＝(1－α)[1－C32α(1－α)－(1－α)2]＝(1－α)(2α2－α)＝(1－α)α(2α－1)，当0<α<0.5时，P2－P1<0，∴P2<P1，D正确．选ABD. 4．(2023·天津)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r＝0.824 5，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.824 5 解析　根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A错误；散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B错误，C正确；由于r＝0.824 5是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，也可能不变，即取出的数据的相关系数不一定是0.824 5，D错误．故选C. $$