第07讲 三角形的性质与判定（讲练）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

模块一 三角形 第07讲 三角形的性质与判定 （思维导图+2考点+8种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 考点要求 命题预测 三角形 三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，所以在中考中考察的几率比较大.在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等.特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大.直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸. 考点一 三角形的基础 题型01 三角形的三边关系 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 【解题技巧】 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 1．是某三角形三边的长，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 2．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 题型02 与三角形有关线段的综合问题 三角形有关的线段的性质： 高（AD） 中线（AD） 角平分线（AD） 中位线（DE） ∠ADB=∠ADC=90° BD=CD S△ABD=S△ADC ∠BAD=∠DAC=∠BAC AD=DB AE=EC DE=BC DE∥BC 1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系． 2. 常见三角形的高： 3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系. 1．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    2．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ． 题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题 1．（2024·广东）如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 1．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 2．如图，，平分，则（    ）    A． B． C． D． 考点二 特殊三角形的性质与判定 题型01 线段垂直平分线的性质与判定 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． 1．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 题型02 角平分线的性质与判定 1.（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 　　 ． 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 1.如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（    ） A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50° 2．如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ． 题型03 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a . 6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= 7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 1．如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 题型04 等边三角形的性质与判定 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 1．如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（    ） A．5 B． C． D． 2．和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 题型05 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题 1．（2023·广东）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：    (1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 1）因为正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1,然后应用勾股定理来进行计算. 2）网格中，求顶点在格点上的四边形或五边形等几何图形的面积，可利用外部补法，转化成用长方形(或正方形)的面积减去直角三角形面积. 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$模块一 三角形 第07讲 三角形的性质与判定 （思维导图+2考点+8种题型） 试卷第1页，共3页 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 考点要求 命题预测 三角形 三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，所以在中考中考察的几率比较大.在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等.特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大.直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸. 考点一 三角形的基础 题型01 三角形的三边关系 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 【解题技巧】 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 1．是某三角形三边的长，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 【答案】D 【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论． 【详解】解：是三角形的三边， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 2．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 【答案】13 【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求． 【详解】解：∵x2-8x+12=0， ∴， ∴x1=2，x2=6， ∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意， ∴三角形的第三边长是6， ∴该三角形的周长为：2+5+6=13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 题型02 与三角形有关线段的综合问题 三角形有关的线段的性质： 高（AD） 中线（AD） 角平分线（AD） 中位线（DE） ∠ADB=∠ADC=90° BD=CD S△ABD=S△ADC ∠BAD=∠DAC=∠BAC AD=DB AE=EC DE=BC DE∥BC 1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系． 2. 常见三角形的高： 3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系. 1．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    【答案】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 2．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ． 【答案】 【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可． 【详解】解：连接ED 是的中线， ， 设， 与是等高三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题 1．（2024·广东）如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【分析】根据∠ACD＝∠ABC+∠A及∠ECD的度数即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∠ACD＝∠ABC+∠A＝90°， 又∵∠ECD＝30°， ∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°． 故选：C． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 1．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且 ∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E， ∴∠B=∠BDC， ∴， ∴， ∴， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 2．如图，，平分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 考点二 特殊三角形的性质与判定 题型01 线段垂直平分线的性质与判定 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． 1．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点 平分，， 是的垂直平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 题型02 角平分线的性质与判定 （2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 　　 ． 【分析】过E作EH⊥AD于H，由角平分线的性质得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD13，由三角形面积公式得到13EH＝12×5，因此EH，即可得到点E到直线AD的距离． 【解答】解：过E作EH⊥AD于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF＝5， ∵AE＝12， ∴AD13， ∵△ADE的面积AD•EHAE•DE， ∴13EH＝12×5， ∴EH， 点E到直线AD的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由三角形的面积得到AD•EH＝AE•DE． 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 1.如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（    ） A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50° 【答案】C 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠EAD， ∴∠EAD=∠ODA， ∴OD∥AE， ∴AE⊥DE．故选项A、B都正确； ∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°， ∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确； ∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB， ∴DE=DF<OD，故选项C不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 2．如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ． 【答案】 【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到． 【详解】解： 的垂直平分线交于点F， （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∴ ∵，是角平分线 ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键． 题型03 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a . 6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= 7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 1．如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确． 【详解】∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，②正确； 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，③错误； 当时，， ∵， ∴, ∴，④正确 ∴正确的有①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质． 2．在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； （2）； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 题型04 等边三角形的性质与判定 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 1．如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同圆半径相等可得为等腰三角形，又因为，可得为等边三角形，即可求得BE的长． 【详解】连接OE，如图所示： ∵，点为线段的中点， ∴， ∵以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点， ∴， ∴, ∴为等边三角形， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了同圆半径相等，一个角为的等腰三角形，解题的关键是判断出为等边三角形． 2．和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论： 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论； （2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论； （3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵点P与点A重合， ∴PB=AB，PC=AC，PA=0， ∴或； （2）解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AC=AB，CP=BF，   ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：图③结论：， 理由：在CP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AB=AC，BP=CF， ∴（SAS），   ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型05 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题 1．（2023·广东）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：    (1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）和均是等腰直角三角形，； （2）证明是等腰直角三角形即可. 【详解】（1）解： （2）证明：连接，    设小正方形边长为1，则，， ， 为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， 故 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键． 1）因为正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1,然后应用勾股定理来进行计算. 2）网格中，求顶点在格点上的四边形或五边形等几何图形的面积，可利用外部补法，转化成用长方形(或正方形)的面积减去直角三角形面积. 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】见解析 【分析】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解． 【详解】解：如图所示，    如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形， 如图②，，，则，则是等腰直角三角形， 如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形， $$