期中测试卷-2024-2025学年苏科版数学九年级下册

期中测试卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在 中， ， ， ，则 的长为（    ） A． B．3 C．2 D． 3．如图，是的中位线， 点F在上，， 连接并延长， 与的延长线相交于点 M．若，则线段的长为（    ） A．13 B．14 C．12 D．10 4．若将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 5．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，以A为圆心，的长为半径作圆弧交于点E，连接，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 10．若点，在抛物线上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 11．如图，在中，，，上的高．则外接圆的半径长为 ． 12．某人沿一斜坡行走，发现每走3米，则在铅锤方向上上升了1米，那么这个斜坡的坡度为 ． 13．如图，在矩形中，连接，过点C作，分别交，于点E，F．若，，则的值为 ． 14．如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为 ． 三、解答题 15．计算: ． 16．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)抛物线的解析式为______________； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 17．如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 18．如图，是的边上一点，点在外部，且，，交于点． (1)求证：； (2)如果，求证： ①； ②． 19．如图，已知抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点Q在直线下方的抛物线上，过点Q作轴于点D，交直线于点E，作于点F，当时，求点Q的坐标． 20．某服装店销售一款卫衣，这款卫衣的每件进价为80元，现在的每件售价为100元，每星期可卖出40件．经市场调查发现如下信息： 信息一：这款卫衣的每件售价每降1元，每星期可多卖出10件； 信息二：由于货源紧缺，这款卫衣每星期最多能卖100件． 设这款卫衣的每件售价降了元，每星期的销量为件． (1)写出与的函数表达式； (2)当等于多少时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是多少元？ 21．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)外接圆的圆心坐标为 ，外接圆的半径是 ． (2)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴左侧画出； (3)点为内的一点，则点在内部的对应点的坐标为 ． 22．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 23．如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上． 【计算】（1）如图1，当时，求所在圆的半径； 【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与CN相切，如图2． 【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度； （3）求点M经过的路径的长．（参考数据：） 24．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期中测试卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B D D B A 1．D 【分析】根据合并同类项，算术平方根的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了合并同类项，算术平方根的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 2．D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于点D，设，则，根据 ， ，得到，求出，进而得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点C作于点D， 设，则， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键； 根据三角形中位线定理证得，得到，进而证得，根据相似三角形的性质得到，然后设，则，最后由线段和差建立方程求解，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， 设，则， ∵， ∴， 解得： ∴， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得抛物线的表达式为， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、添加， ∴，原选项不符合题意； 、添加， ∴，原选项不符合题意； 、添加， ∴，原选项不符合题意； 、添加， ∴不能判定，原选项符合题意； 故选：． 6．D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，分别计算，，时的函数值，再比较大小即可. 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 故选：D． 7．B 【分析】根据等边对等角得到，由矩形的性质得到，，，进一步得到，，根据正切的定义即可得到的值． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了矩形的性质、求角的正切值、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．连接，，则，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，根据可得，由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：由正方形的性质可知点，关于直线对称，连接，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 点， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．2 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得：． 故答案为：2． 10． 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 分别求出与的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 11．/ 【分析】此题考查三角形与外接圆，解三角形的运用，解题关键在于能够熟练运用三角函数求解一些简单的直角三角形的计算问题．作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，先求出，再由，即可求出直径，由此即可解题． 【详解】解：作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，如图所示： 则，， 是的高， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， 即外接圆的半径长为 故答案为：． 12． 【分析】本题考查勾股定理的应用以及坡度的定义，理解并掌握坡度的定义和计算方法是解题关键．先求出这个人走的水平距离，再根据坡度的定义即可求解．坡度通常写成的形式． 【详解】解：如图，由题意可得：，，， ∴， ∴这个斜坡的坡度为； 故答案为： 13． 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形相似，解题的关键是熟悉矩形的性质和三角形相似的性质和判定． 根据矩形的性质可得，根据可得，再证明，根据相似比即可解得． 【详解】∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ，，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， 即 ， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 14． 【分析】本题考查了点坐标与位似图形、点坐标的中点公式，熟练掌握点坐标与位似图形是解题关键．取的中点为点，则，再根据位似图形的性质可得，从而可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，利用点坐标的中点公式求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点为点， ∴， ∵以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作， ∴， ∴， 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，，，即点是的中点， ∴，解得， ∴， 又∵点为的中点， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零指数幂，负整数幂，代入特殊角的三角函数值，计算乘法，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 16．(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定点C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）先确定点，则，然后用t表示出矩形的周长，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线所对应的函数表达是为： 当时，，则， 将O、C、E三点坐标代入函数表达式得： ， 解得：， 故抛物线所对应的函数表达式为：； （2）解：由（1）得：抛物线表达式为：， 则，，， ∵， ∴， 设矩形的周长为C， ∴， 化简得：， ∴， ∵． ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值是． 17．(1) (2) 【分析】本题考查三角函数求值，等腰三角形性质，勾股定理． （1）过点A作的垂线，垂足为，利用等腰三角形性质得到，然后根据勾股定理求出，然后利用正弦的概念求解即可； （2）根据题意利用即可求出本题答案． 【详解】（1）解：过点A作的垂线，垂足为， ，， ． 在中，， ∴． （2）解：在中，，即， ， ． 18．(1)详见解析 (2)①详见解析；②详见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）①由，可证，进而可证，然后根据可证； ②由，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：①， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②∵， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段问题等知识． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）先求出，再得出，结合已知条件分别得出为等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，进而由等腰直角三角形的性质可得出，，根据得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案，并选择点Q在直线下方的抛物线上的点即可． 【详解】（1）解：由已知可设：， 则，得： 进而有 所以抛物线的解析式为： （2）解：由（1）知：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得： ∴的解析式为：， 设点，则点， 则， 而， ∵， 即， 解得：（舍去）或， 即点； 20．(1) (2)当时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是1400元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，找到数量关系是解答关键． （1）根据销售量原价的销售量降价后的销售量来求解； （2）设该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润为元，根据销售利润销售数量单件销售利润来求解． 【详解】（1）解：与的函数表达式为； （2）解：设该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润为元． 每星期最多能卖100件， ， ，二次函数图象开口向下， 当时，随的增大而增大． 当时，有最大值，最大值为1400， 答：当时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是1400元． 21．(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的外接圆，坐标与图形，坐标两点的距离公式，位似图形的性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）先根据网格的特点作和的垂直平分线，确定的外接圆，再求出圆心坐标和半径即可； （2）根据位似图形的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质求解即可； 【详解】（1）解：如图，即为外接圆， 则外接圆的圆心坐标为，外接圆的半径， 故答案为：，； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：点为内的一点，则点在内部的对应点的坐标为． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由AD是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，，得，则，由勾股定理求得，再证明，得，则，且，于是得，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得：， 的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 23．（1）（2）（3） 【分析】（1）利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可； （2）找出圆心O的位置，过点作于点，利用三角函数即可求解； （3）在（2）中利用三角函数求出的度数，再求，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）设所在圆的圆心为点O，如图，连接，， ∵点P是的中点， ∴，， ∵， ∴、、共线， 设所在圆的半径为， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴所在圆的半径为． （2）如图，点O即为所在圆的圆心O的位置， 过点作于点， ∵， ∴ 又 ∴， 即点P上升的高度为cm； （3）∵， ∴，， ∴， ∴点M经过的路径的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线性质、三角函数的相关计算、扇形的弧长公式，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）3；（3）4或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解． 【详解】（1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴；            （2）解：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得： ； （3）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，， 则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$