八年级下册期中数学测试卷（测试范围16章～18章18.1）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

人教版八年级下册期中数学测试卷（测试范围16章——18章（18.1）） 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．1，3，10 C．5，10，12 D．3，4，5 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列计算错误的是：（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）小宇利用尺规在内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为（　　） A． B． C． D． ★7．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（　　） A． B． C． D． ★8．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知直线，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足且的长度和最短，则此时（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 ★9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． ★10．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，为等腰，，，，在一条直线上，且四边形为矩形，若，，，分别为，的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 11．（2025·陕西西安·模拟预测）代数式有意义，则x的取值范围是 ． 12．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 13．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 14．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，四边形中，，，，点E、F、G分别是、、的中点，连接，则的长为 15．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知则代数式的值为 ． ★16．（2022·江苏盐城·一模）如图，把四边形EDFB纸片分别沿AB和DC折叠，恰好使得点E和点D、点F和点B重合，在折叠成的新四边形ABCD中，，，则的面积是 ． ★17．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点E为射线上一点，过点E作于点F，连接，点M为中点，则的最小值为 ． ★18．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等腰直角中，，点D在边（不含A，C两点）上，连，以为直角边向右侧作邻腰直角，，连接．若， ，则线段的长为 ． ★★19．（24-25八年级上·四川成都·期末）1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，共84分） 20．计算（本小题满分10分）（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）计算： （1）； （2） 21．化简求值（本小题满分10分）（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，求下列代数式的值. （1）； （2）. 22．（本小题满分10分）（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴． ∴，即． ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：______； （2）计算：； （3）若，求的值． ★23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． （1）求证：； （2）若，求BE的长． ★24．（本小题满分10分）（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． ★25．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，点F在上，连接，E为的中点，、交于点G，连接． （1）若，求的长； （2）若点F在直线上，当时，求的长． ★★26．（本小题满分12分）（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． （1）求证：； （2）将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． ★★27．（本小题满分12分）（2025·河南平顶山·一模）若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版八年级下册期中数学测试卷（测试范围16章——18章（18.1）） 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．1，3，10 C．5，10，12 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 解：A、0.6和0.8不是正整数，不满足定义，选项错误； B、，不满足定义，选项错误； C、，不满足定义，选项错误； D、，满足定义，选项正确； 故选：D． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 结合全等三角形的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故C符合题意， 但是A、B、D条件均不能证明，故不符合题意， 故选：C． 4．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列计算错误的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了本题主要考查了二次根式的运算，解决本题的关键是根据二次根式的运算法则进行计算即可． 解：A选项：，故A选项正确； B选项：，故B选项正确； C选项：，故C选项错误； D选项：，故D选项正确． 故选：C ． 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：C． 6．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）小宇利用尺规在内作出点，又在边上作出点，作图痕迹如图所示，若，则，之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．过点作于点，交的延长线于点，由作图可知，平分，平分，，由平行四边形得到，而，得到，推出，，则，即可求解． 解：过点作于点，交的延长线于点． 由作图可知，平分，平分，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ，之间的距离为． 故选：C． ★7．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，推出，利用等面积法得到，由，，推出，得到，结合，即可求解． 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， , 故选：B． ★8．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知直线，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足且的长度和最短，则此时（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质、两点间距离最短等知识点，解答本题的关键是找到点M、点N的位置． 表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接，过点B作，交射线于点E，则为所求，最后利用勾股定理可求得其值． 解：如图，过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点，使得，连接，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接，过点B作，交射线于点E， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由于要最小，且固定为4， ∴最小， 由两点之间线段最短，可知的最小值为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为8． 故答案为：B． ★9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． ★10．（22-23八年级下·湖北荆门·期中）如图，为等腰，，，，在一条直线上，且四边形为矩形，若，，，分别为，的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至，使，连接，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，推得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，推得，设，根据矩形的对边相等可得，求得，根据直角三角形两锐角互余得出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可列出方程，解方程求出的值，即可求解． 解：如图，延长至，使，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 则, 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题考查了三角形中位线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元一次方程等解题的关键是添加辅助线，构建三角形的中位线． 2、 填空题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 11．（2025·陕西西安·模拟预测）代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式和二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义，从而完成求解．根据分母不为0和被开方数为非负数列出不等式，即可得到答案． 解：根据题意：， 解得：， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，分母有理化，比较这两个式子的大小，可以比较这两个式子的倒数，利用分母有理化的方法求出这两个式子的倒数，由于这两个数都是正数，则倒数越大，其值越小，据此求解即可． 解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）如图，数轴上的点表示的数为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理是解题的关键． 由题意，利用勾股定理求出到的距离，即可确定点表示的数． 解：根据题意得：， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，四边形中，，，，点E、F、G分别是、、的中点，连接，则的长为 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理．利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得，即可求解． 解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E、G分别是、的中点， ∴， 故答案为：5． 15．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了分母有理化，代数式求值，二次根式的混合运算，先化简是解题的关键． 先化简，再将化简后的结果代入，利用二次根式的混合运算法则求解． 解：， ∴， 故答案为：0． ★16．（2022·江苏盐城·一模）如图，把四边形EDFB纸片分别沿AB和DC折叠，恰好使得点E和点D、点F和点B重合，在折叠成的新四边形ABCD中，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出BD，DC的长，过点F作FHED交ED的延长线于H，再证，得到FH=AD=3，由SBEF=S四边形BEDF-SEDF即可得到答案． 解：∵ABD是由ABE折叠而成，BDC是由FDC折叠而成， ∴BE=BD，EA=AD，BC=FC，BD=DF， ∴BAED， DCBF，BE=BD=DF，， ∵AD=3，AB=4，BC=， ∴BD=， ∴， ∴BCD=DBC=45 ∴ BDF=90， 如图，过点F作FHED交ED的延长线于H， ∵ABD+ADB=90，FDH+ADB=90， ∴ABD=FDH， ∴在ABD和HDF中， ∴， ∴FH=AD=3， ∴SBEF=S四边形BEDF-SEDF= SEBD+SDBF- SEDF =． 【点拨】此题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的面积，正确的添加辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． ★17．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点E为射线上一点，过点E作于点F，连接，点M为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，延长交于点N，连接，，易得四边形是平行四边形，进而得到C，M，N三点共线，再利用直角三角形的性质得到，当时，有最小值，即有最小值，求出，即可求出，利用勾股定理即可求出长，即可解答． 解：延长交于点N，连接，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点M为中点， ∴C，M，N三点共线， ∵， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， ∵中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ★18．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等腰直角中，，点D在边（不含A，C两点）上，连，以为直角边向右侧作邻腰直角，，连接．若， ，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 过点作，交的延长线于点，设，则，证明和全等得，则，在中，由勾股定理可求出，则，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出线段的长． 解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ， 设， ， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：． ★★19．（24-25八年级上·四川成都·期末）1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了对称、一次函数点的坐标特征、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意过作轴于点，则根据等腰直角三角形的性质易求，，再根据，直线是一三象限的角平分线，且P和Q关于l对称，即可和是关于直线l的对称，由此得到P点坐标； （2）由可知，进而求出，根据和，利用直角三角形性质求出，，进而求出长即可求出． 解：（1）过作于点， ∵Q是以的等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∴， 过作轴于点， ∵，则直线是一三象限的角平分线，且点关于直线l的对称点为点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图，设中点为点，则在直线上，设与交于点，直线与轴交于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴. 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共84分） 20．计算（本小题满分10分）（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先化简各项，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 21．化简求值（本小题满分10分）（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，求下列代数式的值. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴． ∴，即． ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：______； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 解：（1）解：由题意得， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：由题意得， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 【点拨】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． ★23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． （1）求证：； （2）若，求BE的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过点作，交于点P，交于点，得四边形是平行四边形，构造，证明，，再由勾股定理求出即可解答． 此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定，添加辅助线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 解：（1）解：∵平分，平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作，交于点P，交于点，   ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∵ ，由（1）知，， ∴， ∴，， 同理可得： ∴ ∴在中，， 即， 故， ∴． ★24．（本小题满分10分）（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）①B；②4 【分析】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由（1）可知，，进一步则可得出答案． 解：（1）证明：∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①共有四个等腰三角形．分别是：， 理由如下：由（1）知：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：B； ②∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． ∵， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴， ∴， ∵. ★25．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，点F在上，连接，E为的中点，、交于点G，连接． （1）若，求的长； （2）若点F在直线上，当时，求的长． 【答案】（1）6；（2）5或25 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的判定及其性质， 对于（1），先求出，再根据等腰三角形的性质得，然后说明是的中位线，可得答案； 对于（2），分三种情况：当F在线段上时，当F在线段CB延长线上时，当F在线段BC延长线上时，结合三角形中位线的性质得出答案. 解：（1）解：∵， ∴. ∵，平分， ∴. ∵点E是中点， ∴是的中位线， （2）解：①当F在线段上时， 由（1）得， ∴； ②当F在线段延长线上时，如图1， 由（1）得， 此情况不成立； ③当F在线段延长线上时，如图2，由（1）得， ∴. 综上所述：的长为5或25． ★★26．（本小题满分12分）（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． （1）求证：； （2）将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见分析；（2）①证明见分析；②，证明见分析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明； （2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论． 解：（1）解：∵为等边三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形四边形是平行四边形； ②，理由见分析： ∵为等边三角形； ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对折可得：， ∵四边形四边形是平行四边形； ∴， ∴， 如图，过作于，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． ★★27．（本小题满分12分）（2025·河南平顶山·一模）若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）或 （2）见分析 （3）或 【分析】（1）分两种情况讨论：情况一：点与点在同侧；情况二：点与点在异侧；计算即可解答； （2）证明得，，再结合均为等腰三角形，其中，即可得证； （3）分两种情况讨论：当点在线段上时，如解图所示，连接；当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接；综上即可解答． 解：． 解：（1）情况一：点与点在同侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 则； 情况二：点与点在异侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 由于、在异侧， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“唯美点”； （3）当点在线段上时，如解图所示，连接， 点与点关于互为“唯美点”， ， ， 又， ， 设， ，， ， ， 在中，， 即， 解得， ； 当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接， 同理，可得， 设，则， ， 在中，， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$