专题01 相交线与平行线（精讲）2024-2025学年人教版数学七年级下册

专题01 相交线与平行线 1．相交线 （1）邻补角 ①邻补角的定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做邻补角． ②邻补角的性质：邻补角互补． （2）对顶角 ①对顶角的概念：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． ②对顶角的性质：对顶角相等． （3）两条直线垂直 ①垂线的定义：一般地，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． ②关于垂线的基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③互相垂直的两条直线的另一个性质： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． ④点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离． （4）两条直线被第三条直线所截：同位角，内错角，同旁内角． 2．平行线 （1）平行线的定义： 在同一平面内，当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行(parallel)，记作“a//b”． 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行． （2）平行线的基本事实： ①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． ②推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （3）平行线的判定 ①同位角相等，两直线平行 ②内错角相等，两直线平行 ③同旁内角互补，两直线平行 （4）平行线的性质 ①两直线平行，同位角相等 ②两直线平行，内错角相等 ③两直线平行，同旁内角互补 3．定义、命题、定理 （1）定义 我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义． （2）真命题、假命题 ①定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题（proposition）．被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题． ②组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． ③表达形式：命题通常写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． （3）定理：经过推理证实得到的真命题叫作定理．定理也可以作为继定理一定是真命题，但真命题不一定是定理续推理的依据． （4）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明． （5）证明的一般步骤： ①分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； ②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程． 4．平移 （1）平移的定义 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移（translation）． （2）平移的性质 平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同，即平移前后的两个图形的对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等；连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 考点01 对顶角、邻补角 1．对顶角 （1）对顶角是相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它是在两直线相交的前提下形成的． （2）互为对顶角的两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线． （3）对顶角相等；但相等的角不一定是对顶角． 2．邻补角 （1）互为邻补角的两个角只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线． （2）互为邻补角的两个角互补，但互补的两个角不一定是邻补角． （3）求一个角的度数时，常常用到角平分线、平角、垂直、对顶角、邻补角等知识． 【典例1】　（2025春•西安月考）下列图中，和是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据对顶角的定义判断即可． 【解答】解：、和不是对顶角，故此选项不符合题意； 、和不是对顶角，故此选项不符合题意； 、和不是对顶角，故此选项不符合题意； 、和是对顶角，故此选项符合题意； 故选：． 【典例2】　（2024秋•宜州区期末）如图，直线，相交于点，平分，若，则 　　． 【答案】． 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义，即可得出答案． 【解答】解：， ， 平分， ． 故答案为：． 【典例3】　（2024秋•宛城区期末）如图，直线、相交于点，若，，则　　． 【答案】． 【分析】根据对顶角相等得到，再根据角的差即可解答． 【解答】解：直线、相交于点， ， 根据对顶角相等可得：， ， 根据角的差可得： ． 故答案为：． 考点02 垂线（段） 用数学原理解释生活中的现象时，要抓住现象的本质特征，灵活运用所学知识． 【典例4】　（2025•海淀区校级模拟）如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先由，利用平角的定义可求出，再根据角平分线的定义得，进而再根据平角的定义可求出的度数，最后再根据垂直的定义可求出的度数． 【解答】解：， ， ， 又， ， 平分， ， ， ， ． 故选：． 【典例5】　（2024秋•南湖区校级期末）如图，的顶点在直线上，射线在内，且，那么下列式子中错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据角之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【解答】解：根据角之间的和差关系逐项分析判断如下： ，的顶点在直线上， ，故选项正确； ，故选项正确； ，故选项正确； 无法得到，故选项错误； 故选：． 【典例6】　（2024•西安一模）如图，在点处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边，沿的路径走才能使所走的路程最少，其依据是　　 A．经过一点有无数条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】 【分析】根据垂线段最短判断． 【解答】解：在河边的处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿的路径走才能走最少的路，其依据是垂线段最短． 故选：． 考点03 点到直线的距离 1．垂线性质的前提条件“在同一平面内”不能省略． 2．点到直线的距离必须具备两点：一是垂线段；二是长度． 【典例7】　（2024秋•衡阳县期末）如图在△中，，为垂足，则下列说法中，错误的是　　 A．点到的距离是线段的长 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．点到的距离是线段的长 【答案】 【分析】根据点到直线的距离即可得出结论． 【解答】解：，，为垂足， 点到的距离是线段的长，线段是边上的高，线段是边上的高，点到的距离是线段的长， 故选项、、不符合题意，选项符合题意， 故选：． 【典例8】　（2024秋•徐汇区校级期末）如图，，，垂足为，线段 　　的长表示点到直线的距离． 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 【解答】解：，垂足为， 线段的长表示点到直线的距离． 故答案为：． 【典例9】　（2024春•修水县期末）如图，点处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点到直线的距离可能为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 【解答】解：垂线段最短， 点到直线的距离小于， 点到直线的距离可能为， 故选：． 考点04 三线八角 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手．同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形． 【典例10】　（2024春•铁东区期中）如图，与的关系是　　 A．对顶角 B．同位角 C．邻补角 D．同旁内角 【答案】 【分析】根据同旁内角的定义判断作答即可． 【解答】解：由题意知，与的关系是同旁内角， 故选：． 【典例11】　（2024春•兴平市期中）如图，下列说法不正确的是　　 A．与是同位角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】 【分析】根据同位角，对顶角，内错角，同旁内角的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：、与是同位角，不符合题意； 、与是对顶角，不符合题意； 、与不是内错角，不正确，符合题意 、与是同旁内角，不符合题意， 故选：． 【典例12】　（2024春•建始县期中）如图，的内错角是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截，若两个角都在两被截直线之间，并且在截线的两旁，则这样的一对角叫做内错角． 【解答】解：的内错角为：． 故选：． 考点05 平行线的判定 1．要证明两直线平行，关键是准确找到同位角、内错角和同旁内角． 2．应注意几何证明的每一步都要有理有据． 3．平行线的判定和性质互为逆命题，写理由时要看先有什么，再有什么，然后选择正确的依据填空． 【典例13】　（2024秋•崆峒区期末）如图，已知，，求证：． 【答案】见详解． 【分析】由可判定△△，由全等三角形的性质得，即可得证． 【解答】证明：由可判定△△，由全等三角形的性质得，证明如下： 在△和△中， ， △△， ， （内错角相等，两直线平行）． 【典例14】　（2024春•兴平市期中）如图，已知，，，试说明与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析． 【分析】首先证明出，然后得到，结合得到，即可证明出． 【解答】解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ． 【典例15】　（2024秋•雁塔区校级期末）已知：如图，点，分别在和上，平分，，， 求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可得到答案． 【解答】证明：平分， ， ， ， ． 考点06 平行线的性质 1．平行线的性质常常与判定综合起来运用，写证明过程时，要将性质与判定正确区分． 2．要得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，一定是在两直线平行的前提下，所以写证明过程时，一定不能单独写同位角相等或内错角相等、同旁内角互补． 【典例16】　（2025•海南一模）如图，，为的角平分线，，则为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出，进而利用角平分线的定义解答即可． 【解答】解：， ， 为的角平分线， ， ， 故选：． 【典例17】　（2024秋•丹巴县期末）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为　　． 【答案】． 【分析】依据题意，过作，结合图形，可得，又，，从而，故可得，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，如图，过作， ． ，， ． ． 故选：． 【典例18】　（2024秋•东海县期末）已知：如图，，，，求的度数． 【答案】． 【分析】由，可求得的度数，又由（对顶角相等），求得的度数，再利用三角形的内角和等于，即可求得答案． 【解答】解：如图， ，，， ，， ． 考点07 定义、命题、定理、证明 写规范的证明过程是几何学习的重要过程． 【典例19】　（2024秋•镇海区校级期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为　　 A． B． C．0 D． 【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答． 【解答】解：， ， 当时，“如果，那么”是假命题， 故选：． 【典例20】　（2024秋•鄄城县期末）下列命题中，是真命题的是　　 A．相等的两个角是对顶角 B．同位角相等 C．若，则 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】 【分析】根据平行线，相交线，绝对值等知识逐项判断即可． 【解答】解：等的两个角不一定是对顶角，故是假命题，不符合题意； 同位角不一定相等，故是假命题，不符合题意； 若，则或，故是假命题，不符合题意； 平行于同一条直线的两条直线平行，故是真命题，符合题意； 故选：． 【典例21】　（2024秋•侯马市期末）把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整． 如图，，，． （1）试说明； （2）推导证明与的位置关系． 解：（1）（已知）， 　　　　， 又（已知）， 　　　　， 　　． （2）（已知）， 　　　　， 又（已知）， 　　　　（等量代换）， 　　． 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）；两直线平行，内错角相等；；3；． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质解答即可； （2）根据平行线的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；3；． 考点08 平移 已知图形平移前后的位置，要确定图形的平移方式，可先选择平移前图形的一个关键点，并找到其在平移后图形中的对应点，分析这个关键点平移的方式这个图形的平移方式与这个关键点的平移方式相同． 【典例22】　（2024秋•鼓楼区校级期末）小明打算从福州长乐机场坐飞机去北京，登机时他想为飞机的舷梯铺上地毯．已知舷梯宽1.5米，舷梯侧面及相关数据如图所示，则至少需要购买 　　平方米的地毯． 【答案】9． 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积即可． 【解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长宽分别为3.3米，2.7米， （米， （平方米）． 至少需要购买9平方米的地毯． 故答案为：9． 【典例23】　（2024春•庆云县期末）如图，平移到的位置，则下列说法：①，；②；③平移的方向是点到点的方向；④平移距离为线段的长．其中说法正确的有　　 A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】 【分析】根据平移的性质逐项进行判断即可． 【解答】解：由平移的性质可知， ①，，因此正确； ②由平移的性质可知，，因此②不正确； ③平移的方向是点到点的方向或点到点的方向或点到点的方向，因此正确； ④平移距离为线段或线段或线段的长，因此④不正确； 综上所述，正确的结论有：①③， 故选：． 【典例24】　（2024秋•香坊区期末）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）平移三角形，使点平移到点（点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； （2）连接，，请直接写出三角形的面积是 　　． 【答案】（1）见解答． （2）． 【分析】（1）由题意得，三角形向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到三角形，结合平移的性质作图即可． （2）利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）由题意得，三角形向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到三角形． 如图，三角形即为所求． （2）三角形的面积是． 故答案为：． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $$