第十章 二元一次方程组（单元重点综合测试,人教版2024）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湖南专用）

第十章 二元一次方程组（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若，是二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）二元一次方程的正整数解共有（   ）组． A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题3分）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 5．（本题3分）如果关于的二元一次方程组的解与二元一次方程组的解相同，那么a、b的值是（  ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知关于的方程组下列结论正确的有（　　） ①当时，该方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．（本题3分）如图，用12块相同的长方形地板砖拼成一个宽为的大长方形，设每块长方形地板砖的长为，宽为，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 10．（本题3分）对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若无论k取何值时，的值均不变，则； ④若对任意有理数x、y都成立，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 12．（本题3分）若，用含的代数式表示，则 ． 13．（本题3分）若关于的二元一次方程组的解，满足方程，则的值为 ． 14．（本题3分）《孙子算经》中有这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？大意如下：有若干个人乘车，若每3人共乘一辆，则剩余2辆车；若每2人共乘一辆，则有9人无车可乘，问人数和车数各是多少？若设车数为，人数为，则可列方程组： ． 15．（本题3分）已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 16．（本题3分）已知关于x，y的方程组的解为整数，且关于y的多项式为二次三项式，则所有满足条件的整数a的和为 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）解下列方程组： (1)； (2)； 18．（本题6分）乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的，解得，果果看错了方程②中的，解得，求的值． 19．（本题6分）（1）解方程组： （2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务. 解方程组 解：①，得，③           第一步 ②，得，④               第二步 ④③，得，                        第三步 解得，                           第四步 将代入②，得                第五步 所以，原方程组的解为           第六步 任务： ①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________； ②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________； ③直接写出该方程组的正确解：_____________. 20．（本题8分）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 21．（本题8分）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 22．（本题9分）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 23．（本题9分）规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______． (2)若方程中x，y的值满足表： x 0 y 0 2 求方程的共轭二元一次方程． (3)若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系． 24．（本题10分）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 25．（本题10分）已知，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，且，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作交于点M，若，，当的面积为8时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题关键． 二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组．根据二元一次方程的形式及其特点逐一判断即可． 【详解】解：A、最高次项的次数是2，故A不符合题意； B、第二个方程不是整式方程，故B不符合题意； C、为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1，故C符合题意； D、整个方程组含有3个未知数，故D不符合题意． 故选：C． 2．（本题3分）若，是二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入方程中得到关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握二元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 即的值是． 故选：D． 3．（本题3分）二元一次方程的正整数解共有（   ）组． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解．由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解． 【详解】解：， ． 又，均为正整数， 或， 二元一次方程的正整数解共有2组． 故选：A． 4．（本题3分）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．观察方程组中与的系数特点，利用加减消元法判断即可． 【详解】解：要消去可以将①②，故选项A不合题意，C合题意； 要消去，可以将①②，故选项B、D不合题意． 故选：C． 5．（本题3分）如果关于的二元一次方程组的解与二元一次方程组的解相同，那么a、b的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题． 根据题意，把代入，得到一个关于a、b的方程组，再利用加减消元法求解即可． 【详解】解：由题意可知，把代入， 可得：，解得：， 故选：A． 6．（本题3分）已知关于的方程组下列结论正确的有（　　） ①当时，该方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义是正确解题的关键．直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得： ， 解得：， 把代入得：， ∴当时，该方程组的解也是方程的解， 故①正确， ②解方程组得：， ∵， 则， 解得：， 故②正确， ∵解方程组得：， ∴不论取什么实数，的值始终不变． 故③正确， 故选：A． 7．（本题3分）如图，用12块相同的长方形地板砖拼成一个宽为的大长方形，设每块长方形地板砖的长为，宽为，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据图形可知，大长方形的宽等于小长方形的长加上2个小长方形的宽，小长方形的长等于4个小长方形的宽，列出方程组即可． 【详解】解：由图形，可得：； 故选B． 8．（本题3分）购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元”，即可得出关于x、y、z的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 9．（本题3分）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 10．（本题3分）对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若无论k取何值时，的值均不变，则； ④若对任意有理数x、y都成立，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，由，得，解方程组可判断；由，得，可判断；由，取何值时，的值均不变，得或，可判断是③；由得，根据对任意有理数都成立，得，即可判断④；理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； ， ∵无论取何值时，的值均不变， ∴或， 即或，故③错误； 当时， 则， ∴， ∴， 即， ∵对任意有理数都成立， ∴，故④正确； ∴结论的正确为①②④，共3个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程，根据二元一次方程的定义求出a、b的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．（本题3分）若，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，把当成常数，解方程即可． 【详解】解：， ∴； 故答案为：． 13．（本题3分）若关于的二元一次方程组的解，满足方程，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相加得到，再根据得到关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 14．（本题3分）《孙子算经》中有这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？大意如下：有若干个人乘车，若每3人共乘一辆，则剩余2辆车；若每2人共乘一辆，则有9人无车可乘，问人数和车数各是多少？若设车数为，人数为，则可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用关键题意正确列出方程组是解题的关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得， 故答案为：． 15．（本题3分）已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解为，得到，从而求出即可． 【详解】∵关于的二元一次方程组的解为， ∴可以把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组， ∴， ∴， ∴关于的二元一次方程的解为． 故答案为：． 16．（本题3分）已知关于x，y的方程组的解为整数，且关于y的多项式为二次三项式，则所有满足条件的整数a的和为 【答案】7 【分析】本题主要考查解二元一次方程组、多项式等知识点，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 先解方程组，再根据其解是整数，确定a的可能值，再根据多项式的次数和项数，进一步求出a的值，然后求和即可． 【详解】解：得：， ∵关于x，y的方程组的解为整数且a为整数， ∴， ∴或4或1或3； ∵是二次三项式， ∴，即； ∴或4或3， ∴所有满足条件的整数a的和为． 故答案为：7． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）解下列方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程组即可． （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得： 解得：， 则方程组的解为： （2）解： 由①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为： 18．（本题6分）乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的，解得，果果看错了方程②中的，解得，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和代数式求值等知识点，解题的关键是列出关于、的一元一次方程求得、的值．把代入②得出可求出，把代入①得出可求出，然后再代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵由题意，把代入②， 得， 解得：， 把代入①， 得， 解得：， ∴ ． 19．（本题6分）（1）解方程组： （2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务. 解方程组 解：①，得，③           第一步 ②，得，④               第二步 ④③，得，                        第三步 解得，                           第四步 将代入②，得                第五步 所以，原方程组的解为           第六步 任务： ①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________； ②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________； ③直接写出该方程组的正确解：_____________. 【答案】（1）；（2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数的项的系数相等；②三；方程④③时，的结果算成了“”；③． 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题的关键． （1）根据加减消元法进行计算即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案； ②观察计算步骤找到问题即可； ③根据加减消元法进行计算即可． 【详解】解：（1）， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数的项的系数相等； ②三；方程④③时，的结果算成了“”； ③， 解：①，得，③， ②，得，④， ④③，得， 解得，， 将代入②，得， 所以，原方程组的解为； 20．（本题8分）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了定义新运算、解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算，结合，列出方程组即可求解； （2）先根据新运算法则列出关于x，y的方程组，用含的式子表示出，再根据即可求出m的值． 【详解】（1）解：，， ， 解得：． （2）解：由题意得，， 解得：， ， ， 解得：， 的值为0． 21．（本题8分）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 22．（本题9分）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，， 【分析】（）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ①+②得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 与都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 23．（本题9分）规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______． (2)若方程中x，y的值满足表： x 0 y 0 2 求方程的共轭二元一次方程． (3)若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）由题意得，，解方程即可得到答案； （2）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程； （3）将代入，得出，解关于的二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组， ∴，， ∴解得，； （2）解：由题意得， 解得， ∴原方程为：， ∴这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：； 理由：将代入， 得， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 24．（本题10分）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等． （1）根据题意列式，计算出来即可； （2）根据题意利用换元法解方程即可； （3）先求出的值，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， 故答案为：； （2）解：， 设，， ∴， 得：，即：， 将代入①得：，即：， ∴，解得：； （3）解：， 得：，即：， 将代入②得：，即：， ∴， 故答案为：． 25．（本题10分）已知，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，且，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作交于点M，若，，当的面积为8时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公理，加减消元法解二元一次方程组． （1）在右边作，得到，，即可得到，再根据求证； （2）在右边作，在右边作，则，设，，由，得到，，由，得到，即，代入各个角整理即可得到； （3）由（2）可得，再由，得到，根据，得到，再结合解二元一次方程组即可． 【详解】（1）证明：在右边作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在右边作，在右边作，则， 由（1）可得，， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴两个式子相减得， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$