8.4.1 提公因式法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年七年级数学下册同步备课（沪科版2024）

第8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 1.提公因式法 七年级下册数学（沪科版） 学习目标 1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别 和联系.（重点） 2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法 分解因式.（难点） 如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示草坪的总面积吗？ a b c m 方法一：m(a + b + c) 方法二：ma + mb + mc m(a + b + c) = ma + mb + mc 整式乘法 ? 导入新课 1. 运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a + b + c) = ； (2) (x + 1)(x - 1) = ； (3) (a + b)2 = . ma + mb + mc x2 - 1 a2 + 2ab + b2 2. 根据等式的性质填空： (1) ma + mb + mc = ( )( )； (2) x2 - 1 = ( )( )； (3) a2 + 2ab + b2 = ( )2. m a + b + c x + 1 x - 1 a + b 都是多项式化为几 个整式的积的形式 比一比，这些式子有什么共同点？ 因式分解 1 新知探究 定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 要点归纳 x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是相反的变形，即 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有 (　　) ① x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；② x3＋x＝x(x2＋1)；③ (x－y)2＝x2－2xy＋y2；④ x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y). A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 B 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 典例精析 x2 + x = x2(1 + ) 在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am + bm + c = m(a + b) + c 24x2y = 3x ·8xy x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) 最后不是纯积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 pa + pb + pc 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式 p 问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2 ＋ x 相同因式 x 用提公因式法分解因式 2 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (a + b + c) pa + pb + pc p = 试找出找 3 x 2 – 6 xy 的公因式. 系数： 最大公约数 3 字母： 相同的字母 x 所以公因式是 3x. 指数： 相同字母的最低次数 1 问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 正确找出多项式的公因式的步骤： 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数(当各项系数都为整数时)； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 点击视频开始播放← 找一找：下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 3mn -2xy (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3 (4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2 分析：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 3ax2－6axy + 3a. (1) 4m2－8mn； 例2 把下列各式分解因式： 例2 把下列各式分解因式： (2) 3ax2－6axy + 3a. (1) 4m2－8mn； 解：4m2－8mn = 4m·m－4m·2n = 4m(m－2n). 3ax2－6axy + 3a = 3a·x2－3a·2xy + 3a·1 = 3a(x2－2xy + 1). 注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充. 例3 把下列各式分解因式： （1）2x(b + c)－3y(b + c)； （2）3n(x－2) + (2－x). 解：2x(b + c)－3y(b + c) = (b + c)(2x－ 3y). 2－x = －(x－2) 3n(x－2) + (2－x) = 3n(x－2) － (x－2) = (x－2)(3n－1). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 因式分解：12x2y + 18xy2. 解：原式 = 3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式 2 注意：公因式要提尽. 正确解：原式 = 6xy(2x + 3y). 小明的解法有误吗？ 小明 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1. 错误 注意：某项提出莫漏 1. 解：原式 = x(3x - 6y). 因式分解：3x2 - 6xy + x. 正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x = x(3x - 6y + 1) 小亮的解法有误吗？ 小亮 提出负号时括号里的项没变号 错误 因式分解：- x2 + xy - xz. 解：原式 = - x(x + y - z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式 = - (x2 - xy + xz) = - x(x - y + z). 小华的解法有误吗？ 小华 例4 计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.23＋72×20.23＋13×20.23－20.23×14. (2) 原式＝20.23×(29＋72＋13－14)＝2023. ＝13×20＝260. 解：(1) 原式＝13×3×37－13×91 ＝13×(3×37－91) 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，则用提取公因式的方法可使运算简便． 例5 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值. 所以原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 解：因为 a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可. 1.填空： (1) 6x3 - 18x2 = _____ (x - 3)； (2) -7a2 + 21a = -7a ______ ( ). 2.把下列各式分解因式： (1) np - nq； (2) -x3y - x2y2 + xy. 原式 = xy(-x2 - xy + 1) 解：原式 = n( p - q) 6x2 a - 3 课本练习 3. 把下列各式分解因式： (1) 3(a + b)2 + 6(a + b)； (2) m(a - b) - n(a - b)； (3) 6(x - y)3 - 3y(y - x)2； (4) mn(m - n) - m(n - m)2. 解：(1) 3(a + b)2 + 6(a + b) = 3(a + b)(a + b + 2). (2) m(a - b) - n(a - b) = (m - n)(a - b). (3) 6(x - y)3 - 3y( y - x )2 = 3(x - y)2(2x - 3y). (4) mn(m - n) - m(n - m)2 = m(m - n)(2n - m). 因式 分解 定义 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式 提公因式法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 分两步：第一步找公因式；第二步提公因式 注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号 课堂小结 1. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 2. 把多项式 (x + 2)(x - 2) + (x - 2) 提取公因式 (x - 2)后，余下的部分是（　　） A．x + 1 B．2x C．x + 2 D．x + 3 3. 下列多项式的因式分解，正确的是（　　） A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz） B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2） C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z） D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a） B C D 课后练习 4. 把下列各式分解因式： (1) 8m2n + 2mn =_____________； (2) 12xyz - 9x2y2 =_____________； (3) p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ) =______________； (4) -x3y3 - x2y2 - xy =_______________； 2mn(4m + 1) 3xy(4z - 3xy) (a2 + b2)(p - q) -xy(x2y2+xy+1) (5) (x - y)2 + y(y - x) =______________. (y - x)(2y - x) 5. 若 9a2(x - y)2 - 3a(y - x)3＝M·(3a + x - y)，则 M 等于__________. 3a(x - y)2 6. 简便计算： (1) 1.992 + 1.99×0.01； (2) 20222 + 2022 - 20232； (3) (- 2)101 + (- 2)100. (2) 原式 = 2022×(2022 + 1) - 20232 = 2022×2023 - 20232 = 2023×(2022 - 2023) = - 2023. 解：(1) 原式 = 1.99(1.99 + 0.01) = 3.98. (3) 原式 = (-2)100×(-2 + 1) = 2100×(-1) = -2100. 解：(1) 原式=2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12. (2) 原式 = (2x + 1)[(2x + 1) - (2x - 1)] = (2x + 1)(2x + 1 - 2x + 1) = 4x + 2. 7. (1) 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值； (2) 化简求值：(2x + 1)2 - (2x + 1)(2x - 1)，其中 x = . 将 x = 代入上式，得 原式 = 4. $$这提公因式法是个什么方法？又是从哪来的呢？上个视频讲过因式分解逆转了整式乘法，那提公因式法逆转了什么呢？就是乘法分配律。还记得小学的时候，咱们做过一种很爽的巧算。举个例子，比如37分别乘上这些数，再加起来。我们预感成的这些数加起来能凑整，就逆用乘法分配律把37单拎出来，剩下的在括号里一加，刷一下答案就出来了。到了初中咱们发现数能做的运算字母也能做。于是把37改成P把28、43、29改成ABC，我们就得到了字母版的乘法分配律。那因式分解是什么来着？是把一个多项式分解成整式的乘积，那上面的式子不就是一个因式分解的过程吗？就像37是我们的公因数一样，P就是我们的公因式。