7.2离散型随机变量及其分布列 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性第三册

离散型随机变量及其分布列 引例: (1)抛掷一枚骰子,可能出现的点数有几种情况? (2)姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况? (3)抛掷一枚硬币,可能出现的结果有几种情况? 思考:在上述试验开始之前,你能确定结果是哪一 种情况吗? 1,2,3,4,5,6 0分,1分,2分 正面向上,反面向上 能否把掷硬币的结果也用数字来表示呢? 分析:不行,虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的所有结果,但在一般情况下,试验的结果是随机出现的。 在前面的例子中,我们把随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示,这样试验结果的变化就可看成是这些数字的变化。 若把这些数字当做某个变量的取值,则这个变量就叫做随机变量,常用X、Y、x、h 来表示。 一、随机变量的概念: 按照我们的定义,所谓的随机变量,就是随机试验 的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么,随机变量 与函数有类似的地方吗? 思考 随机变量是试验结果与实数的一种对应关系,而 函数是实数与实数的一种对应关系,它们都是一种映射 在这两种映射之间, 试验结果的范围相当于函数的定义域, 随机变量的取值结果相当于函数的值域。 所以我们也把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。 例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球,若从中任取3个, 则其中所含白球的个数X就是一个随机变量,求X的取值 范围,并说明X的不同取值所表示的事件。 解:X的取值范围是{0,1,2,3} ,其中 {X=0}表示的事件是“取出0个白球,3个黑球”; {X=1}表示的事件是“取出1个白球,2个黑球”; {X=2}表示的事件是“取出2个白球,1个黑球”; {X=3}表示的事件是“取出3个白球,0个黑球”; 变题:{X < 3}在这里又表示什么事件呢? “取出的3个球中,白球不超过2个” 写出下列各随机变量可能的取值,并说明它们各自 所表示的随机试验的结果: 练一练 (1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张, 被取出的卡片的号数x ; (2)抛掷两个骰子,所得点数之和Y; (3)某城市1天之中发生的火警次数X; (4)某品牌的电灯泡的寿命X; (5)某林场树木最高达30米,最低是0.5米,则此林场 任意一棵树木的高度x. (x=1、2、3、 、10) (Y=2、3、 、12) (X=0、1、2、3、 ) [0,+∞) [0.5,30] 思考:前3个随机变量与最后两个有什么区别? 二、随机变量的分类: 1、如果可以按一定次序,把随机变量可能取的值一一 列出,那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。 (如掷骰子的结果,城市每天火警的次数等等) 2、若随机变量可以取某个区间内的一切值,那么这样的 随机变量叫做连续型随机变量。 (如灯泡的寿命,树木的高度等等) 注意: (1)随机变量不止两种,我们只研究离散型随机变量; (2)变量离散与否与变量的选取有关; 比如:对灯泡的寿命问题,可定义如下离散型随机变量 下列试验的结果能否用离散型随机变量表示? (1)已知在从汕头到广州的铁道线上,每隔50米有一个 电线铁站,这些电线铁站的编号; (2)任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料,其实际量 与规定量之差; (3)某城市1天之内的温度; (4)某车站1小时内旅客流动的人数; (5)连续不断地投篮,第一次投中需要的投篮次数. (6)在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中, 某同学可能取得的等级。 练一练 若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数, 请把X取不同值的概率填入下表,并求判断下列事件发生 的概率是多少? (1){X是偶数};(2) {X<3}; 探究 X 1 2 3 4 5 6 P 解:P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6) P(X<3)=P(X=1)+P(X=2) 三、离散型随机变量的分布列: 一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为: x1,x2,…,xi,…,xn X取每一个xi (i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=Pi,则称表: X x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列. 有时为了表达简单,也用等式 P(X=xi)=Pi i=1,2,…,n 来表示X的分布列 离散型随机变量的分布列应注意问题: X x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 1、分布列的构成: (1)列出了离散型随机变量X的所有取值; (2)求出了X的每一个取值的概率; 2、分布列的性质: 例2、在掷一枚图钉的随机试验中,令 如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列。 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p),于是,随机变量X的分布列是 X 0 1 P 1-p p 像上面这样的分布列称为两点分布列。 如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称 X服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率。 超几何分布 例1 广东省阳江市第一中学周如钢 14 广东省阳江市第一中学周如钢 15 广东省阳江市第一中学周如钢 16 练习、袋子中有3个红球,2个白球,1个黑球,这些球 除颜色外完全相同,现要从中摸一个球出来,若摸到 黑球得1分,摸到白球得0分,摸到红球倒扣1分,试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列. 解:因为只取1球,所以X的取值只能是1,0,-1 ∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为: X 1 0 -1 P 求离散型随机变量分布列的基本步骤: (1)确定随机变量的所有可能的值xi (2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi (3)列出表格 定值 求概率 列表 课堂练习: 0.3 0.16 P 3 2 1 0 -1 2、若随机变量 的分布列如下表所示,则常数a=_ C 课堂练习: 0.88 思考:一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2, 3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最小的 号码,求X的分布列。 解:因为同时取出3个球,故X的取值只能是1,2,3 当X=1时,其他两球可在剩余的4个球中任选 故其概率为 当X=2时,其他两球的编号在3,4,5中选, 故其概率为 当X=3时,只可能是3,4,5这种情况, 概率为 X 1 2 3 P ∴随机变量X的分布列为 思考:一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2, 3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最小的 号码,求X的分布列。 小结: 一、随机变量的定义: 二、随机变量的分类: 三、随机变量的分布列: 1、分布列的性质: 2、求分布列的步骤: 定值 求概率 列表 教学目的: (1)了解随机变量、离散型随机变量的意义,并能说明 随机变量取的值所表示的随机试验的结果 (2)理解离散型随机变量分布列的意义,会求某些简单 的离散型随机变量的分布列。 (3)掌握离散型随机变量分布列的两个基本性质,并会 用它来解决一些简单的问题. 教学重点:随机变量的意义,离散型随机变量的分布列 的概念 教学难点:随机变量意义的理解及离散型随机变量分布列 的求法 注意:有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但还是 可以用数量来表达,如在掷硬币的试验中,我们可以定义 “X=0,表示正面向上,X =1,表示反面向上” 例3.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,求取到的次品数X的分布列. 解:∵ 的可能取值为0,1,2,3. 又∵ ∴随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 超几何分布: 一般地, 在含有件次品的件产品中,任取 件,其中恰有X件次品数,则事件 发生的概率为 其中 ,且 . 称随机变量X的分布列为超几何分布列,且称随机变量X服从超几何分布 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是M,N,n 练习.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率. 解:设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中 ,于是由超几何分布模型得中奖的概率 ≈0.191 1、随机变量 的所有等可能取值为 , 若 ,则( ) A. B. C. D.不能确定 3、某一射手射击所得环数 分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是_ $$