7.3 万有引力理论的成就（二）导学案-2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

万有引力理论的成就 万有引力理论的成就(二) 课标考纲解读 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用. 2.会用万有引力定律计算天体的质量、密度等. 3.理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法，体会“科学真迷人”. ( 内容概述 ) 一、黄金代换 在天体问题的处理过程中，经常利用地面处的重力数值确定其他位置或其他天体的有关物理量，因此，关系式mg＝尤为重要，由此可确定地球的其他位置或其他天体上物体的重力或重力加速度与地面上的关系．GM=gR2称为“黄金代换”． 二、万有引力定律的应用 在地球上，通常物体的质量都较小，所以通常物体之间的万有引力很小，分析地球上物体的受力情况时，一般都不考虑物体之间的万有引力（重力除外）.但天体的质量很大，所以天体之间的万有引力很大，实际上，正是天体之间的万有引力决定了天体的运动规律.中学阶段我们处理天体问题，有两个基本出发点：（1）把天体的运动看作是匀速圆周运动；（2）万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力.然后，利用牛顿第二定律把这两点联系起来.所以牛顿第二定律是分析天体运动的基本规律，即： 1.求天体质量 通过观测卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T、半径r，由牛顿运动定律得： 故天体的质量为： 注意，这种方法只能求处在圆心上的天体质量. 2.测天体的密度 设天体的质量为M，半径为R，则其体积为，若天体的某颗卫星的质量为m，其轨道半径为r，运行周期为T，由得： 故天体的密度为：当卫星的轨道半径r与天体的半径相等时，即r=R时， 3．天体的重力加速度的计算 1．在不考虑地球自转的前提下，地球表面处物体的重力由万有引力提供F＝G＝mg，g＝G. 2．离地面h高处的重力加速度g由万有引力定律可得F＝G＝mg′，g′＝G. 3．不同星球表面物体的重力由星球对该物体的引力产生，F＝G＝mg，g＝. 三、变轨问题： 1.卫星发射中的变轨问题： 2.人造卫星受阻力情况下的变轨问题： 万有引力理论的成就 ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 四、“赤道物体”与“同步卫星”的运动规律： 赤道物体： 同步卫星：　 例1.地球同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是： A B. C. D. 例2、发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上，在卫星经过A点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B．在卫星沿椭圆轨道运动经过B点再次点火实施变轨，将卫星送入同步轨道（远地点B在同步轨道上），如图所示.两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短．已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力 加速度为g，求： （1）卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小． （2）卫星同步轨道距地面的高度． 五、行星刚好不瓦解的问题 例3：某球状行星具有均匀的密度ρ，若在赤道上随行星一起转动的物体对行星的压力恰好为零，则该行星的自转周期为 （G为已知） 六、双星问题： 例4、两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其周期为T，求两星的总质量。 七、“追及”问题 例5：如图所示，A、B两颗行星绕同一恒星做匀速圆周运动．运动方向相同，A的周期为，B的周期为，某时刻两行星的距离最近，求： （1）再经过多长时间两行星的距离又最近？ （2）再经过多长时间，两行星的距离最远？ 【解析】两行星转过的角度差为2的偶数倍时，其相距最近。这时三颗星在同一直线上，而且A在中间．两行星转过的角度差为的奇数倍时，其相距最远，这时三颗星也在同一直线上，而且恒星在中间． ( 典型例题 ) 【例1】利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量（引力常量G为已知）(　　) A．已知地球的半径R地和地面的重力加速度g B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T 【例2】银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动. 由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G.由此可求出S2的质量为(　　) A.　　　　　　　　B. C. D. 【例3】为了迎接太空时代的到来，美国国会通过了一项计划：在2050年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开绳，升降机能到达地球上，人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上．已知地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，地球半径R＝6 400 km.当在地球表面时某人用弹簧测力计称得某物体重32 N，站在升降机中，当升降机以加速度a＝g/2(g为地球表面处的重力加速度)竖直上升时，此人再一次用同一弹簧测力计称得同一物体重为18 N，忽略地球公转的影响，求升降机此时距地面的高度． 【例4】假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？ ( 随堂练习 ) 1．已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G为已知)(　　) A．月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1 B．地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2 C．地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中心的距离R3 D．地球表面的重力加速度g及地球到太阳中心的距离R4 2．如果到某一天，因某种原因地球自转加快，则地球上物体所受重力将发生怎样的变化？当角速度等于多少时，赤道上的物体重力为零？(R＝6.4×106 m，M＝6.0×1024 kg，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2) 3．某星球的半径R′是地球半径R的0.5倍(即R′＝0.5R)，该星球的质量m′是地球质量m的4倍(即m′＝4m)．已知在地球表面上以初速度v0竖直上抛物体能达到的最大高度为H、问在该星球表面上以同样大小的初速度竖直上抛物体能达到的最大高度H′多大？ 333333 $$