专题03 导数（7考点38题）（北师大版2019，江西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题03 导数（7考点38题） 题型概览 题型01导数的运算 题型02切线问题 题型03单调性问题 题型04极值与最值问题 题型05零点问题 题型06恒成立问题 题型07新定义问题 优选提升题 导数的运算题型01 1．(23-24高二下·江西南昌第二中学·期中)已知，则 . 【答案】 【来源】江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】求出函数的导数，利用导数的定义求解即得. 【详解】由，求导得， . 故答案为： 2．(23-24高二下·江西部分学校·期中)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】利用导数的定义即可解决． 【详解】，则． 故选：B. 3．设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由已知结合导数定义即可求解. 【详解】由于，则. 故选：C. 4．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)函数在上的平均变化率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】首先求平均变化率，再根据导数公式，即可求解. 【详解】在[1，2]上的平均变化率为， . 故选：D 5．(23-24高二下·江西南昌第一中学·期中)（多选）下列求导结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据导数的运算公式、复合函数求导，即可逐项运算得答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABD. 6．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据基本初等函数的求导公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以． 故选：B． 7．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知函数，满足，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据条件先求，再求函数的导数，代入条件后，即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：D 8．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)（多选）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据函数的图象确定在处的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故错误； 由图可知，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率，即，D正确． 故选：ACD． 9．已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（    ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项. 【详解】①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快,故②正确； ③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确； ④乙小区在时刻比在时刻陡，所以在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快，故④正确. 故选：D 10．(23-24高二下·江西南昌第十中学·期中)已知在等比数列中，，，若函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据条件，利用导数的运算法则及等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】由， 可知， 又，，所以， 故选：B. 11．(23-24高二下·江西部分学校·期中)某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该质点的瞬时速度的最小值为 ． 【答案】2 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】理解质点的瞬时速度即位移的导数，运用导函数的特征，求其最小值即得. 【详解】由求导得， ， 因，则当，即，即时，取得最小值2， 故该质点的瞬时速度的最小值为． 故答案为：2. 切线问题题型02 12．(23-24高二下·江西赣州十八县（）二十四校·期中)函数的图象在处的切线的斜率为（    ） A． B． C．900 D．960 【答案】D 【来源】江西省赣州市十八县（市）二十四校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】依题意，令，则，则，求出，即可得到答案. 【详解】令，则， 则， 所以， 所以图象在处的切线的斜率为960， 故选：D. 13．(23-24高二下·江西部分学校·期中)已知函数． (1)求不等式的解集； (2)求过点且与曲线相切的切线方程． 【答案】(1) (2)或或 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）求导，然后按照解一元二次不等式的方法进行计算即可 （2）先设出切点和方程，然后求导和构造方程，求出切点和斜率，即可得出方程 【详解】（1）， 由，得，解得， 则所求不等式的解集为． （2）因为，所以曲线在点处的切线方程为． 将点的坐标代入，并整理得， 解得或1或． 当时，切线方程为； 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即． 14．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，，使得的图象在点，处的切线都与直线垂直，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）求导函数，根据导数的几何意义求解切线斜率，再求切点坐标，从而可得的图象在处的切线方程； （2）由直线的斜率为，可得的图象在点处的切线斜率为，求导根据导函数的零点，可得实数的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以，所以， 所以的图象在处的切线方程为， 即． （2）直线的斜率为， 所以的图象在点处的切线斜率为， 所以方程有两个不等的实根， 即有两个不等的实根， 所以， 解得且， 所以实数的取值范围是． 单调性问题题型03 15．(23-24高二下·江西景德镇昌江区景德镇一中·期中)已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西省景德镇市昌江区景德镇一中2023-2024学年高二下学期6月期中考试数学试题 【分析】先求导函数把函数存在减区间转化为导函数为负有解，最后构造函数根据最值求解. 【详解】由题可知， 因为函数+1存在减区间，则有解， 即有解， 令，， 令，解得；令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 因为有解，所以， 解得. 故选：D. 16．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】求导，分析可知在内有根，在内有根，结合零点存在性定理分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 因为在上不单调，等价于在上有极值点， 等价于在内有根，即在内有根， 结合的形式特征可得：原题意等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 17．（多选）奇函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】首先构造函数，在判断函数的单调性和奇偶性，再根据选项判断大小. 【详解】设，， 所以函数在上单调递增， 且，所以函数是偶函数， 则，即，即，故A正确； ，即，所以，故B正确； ，即，即，故C正确； ，，即，故D错误. 故选：ABC 18．(23-24高二下·江西景德镇昌江区景德镇一中·期中)已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题p：，，且，成立的充要条件是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省景德镇市昌江区景德镇一中2023-2024学年高二下学期6月期中考试数学试题 【分析】根据题意，由条件可得，然后分别构造函数与，求导可得其单调性，再由其单调性，即可得到结果. 【详解】，且，不妨设， ， 当时，可得， 设，所以该函数是单调递减函数，， 故，∴； 当时，可得， 设，所以该函数是单调递增函数，， 故，因此有. 故选：B 19．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)（多选）已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在上为减函数 B．是函数的极小值点 C．函数必有2个零点 D． 【答案】ABD 【来源】江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】求出的导函数，结合已知条件得到的单调性，即可判断A、B，对分类讨论，即可判断C，结合的单调性得到，即可判断D. 【详解】因为，所以， 因为导函数满足， 当时，，则，所以在上单调递增； 当时，，则，所以在上单调递减； 则为函数的极小值点，故A，B正确； 又，则， 当时，没有零点； 当时，有一个零点； 当时，可能有1个或2个零点，故C错误； 因为函数在上单调递增， 所以，即，整理得，故D正确； 故选：ABD 20．(23-24高二下·江西南昌第十中学·期中)已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)求的单调区间： (3)若，，使得，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)递增区间为，递减区间为； (3). 【来源】江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再解导数大于0、小于0的不等式即得. （3）求出在上的最大值，再分类讨论求出在上的最大值，然后利用给定条件建立不等式求解即得. 【详解】（1）当时，，， ，又，则， 所以在处的切线方程为． （2）依题意， 令，可得，，， 当时，，当时，， 所以的递增区间为；递减区间为． （3）依题意，函数在上的最大值不小于在上的最大值， 函数，由（2）知，函数在上递减，上递增， 而，，所以， 函数，求导得， 当时，，当时，，即在上递减，在上递增． 而，若，即，则在上递增，， 于是，因此； 若，即，则在上递减，， 于是，而，因此不等式无解； 若，即，则在上递减，在上递增，， 于是，且，因此， 所以a的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 极值与最值问题题型04 21．(23-24高二下·江西南昌第一中学·期中)函数的极值为 . 【答案】/-0.375 【来源】江西省南昌市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】先直接求出导函数，然后判断导函数的正负性，进而判断函数的单调性，然后求得极值. 【详解】函数的定义域为，则， 令，得， 则当x变化时，，y的变化情况如下表： x 2 + 0 - + 0 + y 递增 极大值 递减 递增 非极值 递增 所以当时，y有极大值，为 故答案为： 22．(23-24高二下·江西宜丰中学·期中)已知函数在点处的切线的斜率为 (1)求； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)的单调递增区间为、，的单调递减区间为，极大值，极小值. 【来源】江西省宜丰中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）由求得； （2）由确定的单调区间和极值． 【详解】（1），则， 解得； （2）由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 零点问题题型05 23．(23-24高二下·江西部分学校·期中)已知函数的导函数存在两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】利用导数思想，再由零点问题转化为一元二次方程有两个实根问题，即可求解. 【详解】由，得， 由导函数存在两个零点，则，解得． 故答案为： 恒成立问题题型06 24．(23-24高二下·江西宜春丰城中学·期中)已知函数，则的取值范围为 【答案】 【来源】江西省宜春市丰城中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】令，然后求导，找到最大值，当恒成立时，最大值小于等于零，解出. 【详解】令， 有， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最大值，为， 若恒成立，则，即. 故答案为：. 25．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据题意可知：，，再构造函数，，再讨论二阶导函数的符号，从而可得一阶导函数的符号，从而可得原函数的单调性，从而可求解． 【详解】，， ，， ，， 设，， ， 令，则，， ，， 若，即时，，在,上单调递增， ， 在,上单调递增，，满足题意， ； ②，即时，令，可得， 当时，，单调递减，， 在上单调递减， ，不满足题意， 综合①②可得：实数的取值范围为 故答案为： 26．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【来源】江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】先明确函数的定义域，分离参数，利用进行放缩处理. 【详解】设，，则，因为，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 所以在恒成立. 由题意：函数的定义域为：. 所以原不等式可化为：，问题转化为求（）的最小值. 而（当且仅当时取“=”） 结合图象： 方程在上有唯一解. 所以. 故选：B 27．对于任意实数，不等式恒成立，则集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由题意可得，构造函数，则有，结合的单调性可得，再根据对数的基本运算求解即可． 【详解】因为不等式恒成立， 所以， ， 令，则， 所以在上单调递增，所以有， 所以，即， ，所以，解得， 又因为，所以， 所以只有D选项满足要求． 故选：D． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 28．(23-24高二下·江西宜丰中学·期中)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【来源】江西省宜丰中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）求，分，，讨论的单调性； （2）分离参数得，求最小值即可. 【详解】（1）由题意可知的定义域为， ， 令，则， ①当时，，在上恒成立，在上单调递减． ②当时，， 时，，时，，时，， 故在单调递减，在单调递增，在单调递减． ③当时，，时，，时，，时，， 故在单调递减，在单调递增，在单调递减． 综上：当时，在上单调递减． ②当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减． ③当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减． （2）当时，恒成立，故， 所以，即， 由得， 令（）， 则， 令，则，在单调递增， 则，即在恒成立，故在单调递增． 所以，故在恒成立． 由在单调递增，而，，故． 29．已知函数． (1)若函数，求在点处的切线方程； (2)试判断的单调性，并证明； (3)证明：． 【答案】(1) (2)函数在定义域上单调递减，证明见解析 (3)证明见解析 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据切线的几何意义即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性即可； （3）对不等式进行变形，构造函数证明即可. 【详解】（1）由题知，，则， 则 又，故切点为， 切线方程为：，即； （2）函数在定义域上单调递减，证明如下： 由已知，设，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 则，即，故在定义域上单调递减； （3）要证，即证，即证， 设，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 则，故成立，证毕． 30．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知函数. (1)当时，证明：有且仅有一个零点； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)当时，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【来源】江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理即可证明. （2）把恒成立问题转化为，令，利用导数研究单调性，利用单调性求解最值即可求解参数范围. （3）由题意只需证明，令，利用导数求解最值得，令，利用导数求解最值得，即可证明. 【详解】（1）当时，函数，定义域为， 则， 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，则， 即在上恒成立，所以在上单调递增， 而， 所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点. （2）当时，等价于， 令，求导得， 令， 则，当时，单调递增， 当时，单调递减，则， 于是当时，单调递增， 当时，单调递减，因此， 所以的取值范围为. （3）要证明，只要证明， 令，则，所以， 所以在为增函数，为减函数， 所以，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数， 所以，又因为，所以，即所以得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤： （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式. 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题. 新定义问题题型07 31．对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】首先根据题意求对称中心，再利用对称性求值. 【详解】，，得， 又，所以函数关于点对称， 即，则， 且， . 故选：B 32．(23-24高二下·江西部分学校·期中)设为的导函数，若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递增；若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递减．若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数． (1)判断函数在上的凹凸性，并说明理由； (2)若函数为上的凹函数，求的取值范围． 【答案】(1)在上为凸函数，理由见解析 (2)． 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）由题意求导判断即可； （2）由题意可得恒成立，根据导数计算即可. 【详解】（1）因为在上为增函数，所以在上为凹函数， ，设，则， 当时，， ，则在上为减函数， 所以在上为凸函数． （2）， 设为的导函数，则对恒成立． 则． 当时，（不恒成立），单调递减； 当时，（不恒成立），单调递增． 所以， 所以，解得，故的取值范围是． 33．函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数图象上存在两点，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”．试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”？若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）对求导，再对分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可； （2）根据“拉格朗日中值函数”的定义可得，进而构造函数，利用导数即可求解． 【详解】（1）由题知，， 令，则， 当时，，则恒成立，故在定义域上单调递增； 当时，的两根分别为， 若，则，且时，单调递增；时，单调递减， 若，则，且时，单调递增；时，，单调递减， 综上： 当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）， 若是拉格朗日中值函数，则需满足存在，且，使得， 即，即， ①当时，上式对任意的都成立，则为拉格朗日中值函数，的拉格朗日平均值点有无数个； ②当时，需满足，设，即需方程在区间上有解， 令在上单调递增， 当时，，即方程在区间上无解， 综上： 当时，为拉格朗日中值函数，的拉格朗日平均值点有无数个； 当时，不是拉格朗日中值函数． 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 34．(23-24高二下·江西宜丰中学·期中)帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数. (1)求函数在处的阶帕德近似. (2)在（1）的条件下：   ①求证：； ②若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)① 证明见解析，② 【来源】江西省宜丰中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）设，根据条件分别求得即可； （2）①作差比较与的大小，证明； ②当时不等式恰好成立，故是的极大值点，求得值再验证即可. 【详解】（1）由题可知函数在处的阶帕德近似， 则，，， 由得，所以，则， 又由得，所以， 由得， 所以， （2）①令，， 因为， 所以在及上均单调递减. 当，，即， 而，所以，即， 当，，即， 而，所以，即， 所以不等式恒成立； ②由得在上恒成立， 令，且，所以是的极大值点， 又，故，则， 当时，， 所以， 当时，，，则， 故在上单调递增，所以当时，， 当时，， 令，因为，所以在上单调递减， 所以， 又因为在上， 故当时，， 综上，当时，恒成立. 【点睛】关键点点睛：恒成立，求实数的取值范围时关键是发现，从而确定是的极大值点，从而求得，进而再检验即可，这是用了必要性探路的办法即先求值再检验. 35．(23-24高二下·江西部分学校·期中)设函数的导函数为的导函数为的导函数为．若，且，则为曲线的拐点．下列结论正确的是（    ） A．曲线有拐点 B．曲线有拐点 C．曲线无拐点 D．曲线无拐点 【答案】B 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据函数的拐点定义，对选项中的函数一一判断即得. 【详解】对于A，和的零点均为0，所以曲线无拐点，故A错误； 对于B， ，和的零点不相等，所以曲线有拐点，故B正确； 对于C，，，，所以曲线有拐点，故C错误； 对于D， ，，，故是的拐点，即D错误． 故选：B. 36．(23-24高二下·江西部分学校·期中)（多选）已知函数，则（    ） A．的零点之和为3 B．的图象关于点对称 C．曲线不存在倾斜角为的切线 D．曲线在处的切线的斜率为432 【答案】BCD 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】先因式分解，然后判断二次函数的零点，即可判断A；化简，即可判断B；求导函数范围，即可判断C；设，然后把函数转化成，求导即可判断D. 【详解】因为， 其中，， 所以只有一个零点， 所以零点之和为0，故A错误． 因为， 所以的图象关于点对称，故B正确． 因为， 所以曲线不存在倾斜角为的切线，故C正确． 设， 则， 则， 所以，故D正确． 故选: BCD. 37．(23-24高二下·江西赣州十八县（）二十四校·期中)（多选）如图，直线与曲线，，，均相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】江西省赣州市十八县（市）二十四校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据导数的定义和几何意义判断即可. 【详解】， ， 由图可知，且曲线在处比曲线更陡峭， 曲线在处比曲线更陡峭， 所以， 所以A，B，D选项正确，C错误， 故选：ABD. 38．函数． (1)当时，求的极值点个数； (2)若时，单调递减，求的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1)2个 (2) (3)证明见解析 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）求导数得到单调区间，可求出极值点． （2）将问题转化为时，恒成立，即，构造新函数，求导数可得结果． （3）先求，进而取，得即利用累加法即可求证. 【详解】（1）由题知，， 令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增； 则在处有极小值，在处有极大值，即有2个极值点； （2）， 由题知，当时，恒成立，即， 设，故在上单调递减， 则，故； （3）由（2）知，当且时，， 令，得， 即 则， … 将以上各不等式左､右两边分别相加得： ， 即， 即 即 故，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数（7考点38题） 题型概览 题型01导数的运算 题型02切线问题 题型03单调性问题 题型04极值与最值问题 题型05零点问题 题型06恒成立问题 题型07新定义问题 优选提升题 导数的运算题型01 1．(23-24高二下·江西南昌第二中学·期中)已知，则 . 2．(23-24高二下·江西部分学校·期中)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 4．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)函数在上的平均变化率等于（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·江西南昌第一中学·期中)（多选）下列求导结果错误的是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)函数，则（   ） A． B． C． D． 7．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知函数，满足，若，则（   ） A． B． C． D． 8．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)（多选）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（    ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A．1 B．2 C．3 D．4 10．(23-24高二下·江西南昌第十中学·期中)已知在等比数列中，，，若函数，则（    ） A．2 B． C． D． 11．(23-24高二下·江西部分学校·期中)某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该质点的瞬时速度的最小值为 ． 切线问题题型02 12．(23-24高二下·江西赣州十八县（）二十四校·期中)函数的图象在处的切线的斜率为（    ） A． B． C．900 D．960 13．(23-24高二下·江西部分学校·期中)已知函数． (1)求不等式的解集； (2)求过点且与曲线相切的切线方程． 14．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知函数． (1)求的图象在处的切线方程； (2)若的图象上存在两点，，使得的图象在点，处的切线都与直线垂直，求实数的取值范围． 单调性问题题型03 15．(23-24高二下·江西景德镇昌江区景德镇一中·期中)已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）奇函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高二下·江西景德镇昌江区景德镇一中·期中)已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题p：，，且，成立的充要条件是（    ）. A． B． C． D． 19．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)（多选）已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在上为减函数 B．是函数的极小值点 C．函数必有2个零点 D． 20．(23-24高二下·江西南昌第十中学·期中)已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)求的单调区间： (3)若，，使得，求a的取值范围． 极值与最值问题题型04 21．(23-24高二下·江西南昌第一中学·期中)函数的极值为 . 22．(23-24高二下·江西宜丰中学·期中)已知函数在点处的切线的斜率为 (1)求； (2)求的单调区间和极值． 零点问题题型05 23．(23-24高二下·江西部分学校·期中)已知函数的导函数存在两个零点，则的取值范围是 ． 恒成立问题题型06 24．(23-24高二下·江西宜春丰城中学·期中)已知函数，则的取值范围为 25．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 26．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 27．对于任意实数，不等式恒成立，则集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 28．(23-24高二下·江西宜丰中学·期中)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； 29．已知函数． (1)若函数，求在点处的切线方程； (2)试判断的单调性，并证明； (3)证明：． 30．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知函数. (1)当时，证明：有且仅有一个零点； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)当时，证明：. 新定义问题题型07 31．对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 32．(23-24高二下·江西部分学校·期中)设为的导函数，若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递增；若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递减．若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数． (1)判断函数在上的凹凸性，并说明理由； (2)若函数为上的凹函数，求的取值范围． 33．函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数图象上存在两点，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”．试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”？若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，请说明理由． 34．(23-24高二下·江西宜丰中学·期中)帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数. (1)求函数在处的阶帕德近似. (2)在（1）的条件下：   ①求证：； ②若恒成立，求实数的取值范围. 35．(23-24高二下·江西部分学校·期中)设函数的导函数为的导函数为的导函数为．若，且，则为曲线的拐点．下列结论正确的是（    ） A．曲线有拐点 B．曲线有拐点 C．曲线无拐点 D．曲线无拐点 36．(23-24高二下·江西部分学校·期中)（多选）已知函数，则（    ） A．的零点之和为3 B．的图象关于点对称 C．曲线不存在倾斜角为的切线 D．曲线在处的切线的斜率为432 37．(23-24高二下·江西赣州十八县（）二十四校·期中)（多选）如图，直线与曲线，，，均相交，则（    ） A． B． C． D． 38．函数． (1)当时，求的极值点个数； (2)若时，单调递减，求的取值范围； (3)求证：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$