专题02 数列（4考点30题）（北师大版2019，江西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题02 数列（4考点30题） 题型概览 题型01等差数列 题型02等比数列 题型03数列的概念与递推关系 题型04数列新定义 优选提升题 等差数列题型01 1．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知数列中，，若是等差数列，则 ． 2．等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 3．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)等差数列中，，则的值为（    ） A．5 B．10 C．14 D．35 4．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)（多选）已知等差数列的前项和为，若，则下列各式的值恒为负的是（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·江西部分学校·期中)在公差为的等差数列中，，则（    ） A．44 B．36 C．30 D．28 6．正项等差数列的公差与正项等比数列的公比相同，且，，数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 7．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 8．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知数列是等差数列，且，，． (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若，，，，…，成等比数列，求数列的通项公式． 等比数列题型02 9．(23-24高二下·江西部分学校·期中)若数列为等比数列，且，则 ，数列的前项和为 ． 10．(23-24高二下·江西部分学校·期中)设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（    ） A．64 B．72 C．80 D．92 11．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)已知等比数列的前n项和为，若，则公比q为（    ） A．2 B．3 C． D． 12．(23-24高二下·江西赣州十八县（）二十四校·期中)（多选）设等比数列的前项积为，下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 数列的概念与递推关系题型03 13．(23-24高二下·江西赣州十八县（）二十四校·期中)在数列中，，，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 14．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)数列满足，，则数列的前项和为 ． 15．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)若数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 16．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 17．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如组中有4支队伍，则该组需要进行6场比赛．按此规则，设一个含有支球队的小组中进行的所有比赛场次为场，则 ． 19．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知数列满足，则数列的前20项之和为 ． 20．数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（    ） A．18 B．28 C．40 D．54 21．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)记集合中元素的个数为，数列的前n项和为，则为（    ） A．15 B．20 C．47 D．52 22．已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 23．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)在数列中，是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围. 数列新定义题型04 24．(23-24高二下·江西部分学校·期中)若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”．例如，数列，为“邻和等差数列”．已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，则（    ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 25．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列． (1)已知等差数列的前n项和为，且． ①若，，求的通项公式，并写出的前5项； ②若，，求数列的前50项的和； (2)若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和． 26．(23-24高二下·江西赣州十八县（）二十四校·期中)在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列满足，，，，，证明：. 27．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知数列满足，，，若数列的前项和为，则所有满足的的和为（   ） A．875 B．918 C．994 D．1015 28．（多选）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法正确的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 29．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为， (1)求的通项公式及； (2)设，为数列的前项和，求. 30．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)已知数列满足，，且， (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知对于恒成立．求证：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数列（4考点30题） 题型概览 题型01等差数列 题型02等比数列 题型03数列的概念与递推关系 题型04数列新定义 优选提升题 等差数列题型01 1．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知数列中，，若是等差数列，则 ． 【答案】 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据等差数列的通项公式求解的公差，即可得. 【详解】由， 则是以为首项为公差的等差数列， 则，所以． 故答案为：. 2．等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】B 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为， ，则， ，则，解得，， ． 故选：B． 3．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)等差数列中，，则的值为（    ） A．5 B．10 C．14 D．35 【答案】B 【来源】江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】利用等差数列的通项公式求解. 【详解】解：，解得， 故选：B 4．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)（多选）已知等差数列的前项和为，若，则下列各式的值恒为负的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据等差数列的通项公式与前项和为的关系，确定的符号，在根据等差数列的通项性质逐项判断即可结论. 【详解】设的公差为，由得，所以，所以， 则，故A不符合，B符合； 因为，所以，故C正确； 则，故D正确． 故选：BCD． 5．(23-24高二下·江西部分学校·期中)在公差为的等差数列中，，则（    ） A．44 B．36 C．30 D．28 【答案】B 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】设出并求解出基本量，再转化目标式后求解即可. 【详解】设等差数列的首项为， 因为，所以， 解得，故，故B正确. 故选：B 6．正项等差数列的公差与正项等比数列的公比相同，且，，数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）设等比数列的公比为，则等差数列公差也为，由已知，可得或，讨论当或时，得的取值，即可求得的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法即可求得的前项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，则等差数列公差也为， 因为，所以， 又，且，得， 即，解得或， 当时，由得，，又，解得， 则的通项公式分别为：， 当时，由得，，又， 解得，不合题意， 综上，数列的通项公式分别为：. （2）由（1）可得， ， ， 两式相减得：， 故的前项和． 7．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【来源】江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）由等差数列、等比数列通项公式基本量的计算求得公比、公差即可得解； （2）由错位相减法以及等比数列求和公式即可得解. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则， 由①式平方除②式得：， 得（舍）或， 所以通项公式分别为 . （2）记数列的前n项和为， 则，， 两式相减可得， 故：. 8．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知数列是等差数列，且，，． (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若，，，，…，成等比数列，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）设的公差为，根据等差数列的通项关系列方程组求解，即可得从而确定数列的通项公式； （2）利用等比数列的通项公式可得，从而得数列的通项公式． 【详解】（1）设的公差为， 由得， 因为，所以， 所以 ， 所以， 因为，所以 由得， 所以． （2）由（1）得，所以， 故是首项为-1､公比为2的等比数列， 所以， 由得， 所以， 所以． 等比数列题型02 9．(23-24高二下·江西部分学校·期中)若数列为等比数列，且，则 ，数列的前项和为 ． 【答案】 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】利用等比数列的定义求出公比，解决第一空，用分组求和法求解第二空即可. 【详解】令，则，所以等比数列的公比为2， 所以，故． 数列的前项和为， 则数列的前项和为． 故答案为：； 10．(23-24高二下·江西部分学校·期中)设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（    ） A．64 B．72 C．80 D．92 【答案】C 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据等比数列的前项和性质可解． 【详解】设是该等比数列的前项和，依题意可知， 则成等比数列，即成等比数列， 则，解得． 故选：C. 11．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)已知等比数列的前n项和为，若，则公比q为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【来源】江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】先将表达为等比数列的片段和的形式，求公比即可. 【详解】. 故选：A. 12．(23-24高二下·江西赣州十八县（）二十四校·期中)（多选）设等比数列的前项积为，下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【来源】江西省赣州市十八县（市）二十四校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】据题意及等比数列的性质即可逐项判断ABC，对于D，由等比数列性质及基本不等式可判断. 【详解】对于A，易知，，， 若，则，又因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，若，，则，所以，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则， 所以，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 数列的概念与递推关系题型03 13．(23-24高二下·江西赣州十八县（）二十四校·期中)在数列中，，，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【来源】江西省赣州市十八县（市）二十四校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据，，由递推关系求出，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 故选：C. 14．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)数列满足，，则数列的前项和为 ． 【答案】 【来源】江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果. 【详解】由； 当时， ； 显然，对于时也成立； 所以，； 又， 故. 故答案为：. 15．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)若数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【来源】江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】由条件取，可求，结合关系，求，由此可得结论. 【详解】当时，, 又，所以； 当时，， 因为，也满足关系， 所以. 故答案为：. 16．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【来源】江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】分别将代入公式，解得，进而得出的表达式，求出即可. 【详解】分别将代入，得：，， 即，， 两式相减得：， 解得：， 故， 故选：C. 17．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】通过列举数列的项的方法，即可求解. 【详解】的前6项依次为，因为，故的最小值为6． 故选：C 18．足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如组中有4支队伍，则该组需要进行6场比赛．按此规则，设一个含有支球队的小组中进行的所有比赛场次为场，则 ． 【答案】/ 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】题意得，，然后求出，利用裂项求和即可求解． 【详解】由题意得，，，， 所以． 故答案为：． 19．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知数列满足，则数列的前20项之和为 ． 【答案】/ 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】首先根据数列的前项和，求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前20项和. 【详解】当时，；当时， 因为，所以， 两式相减得，所以，则，所以， 所以， 所以数列的前20项之和为 . 故答案为： 20．数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（    ） A．18 B．28 C．40 D．54 【答案】B 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】代入递推关系式，直接求和. 【详解】由可知， ， . 故选：B 21．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)记集合中元素的个数为，数列的前n项和为，则为（    ） A．15 B．20 C．47 D．52 【答案】D 【来源】江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据给定信息求出数列的通项公式，再利用分组求和法求出即可得解. 【详解】依题意，， 因此， 所以. 故选：D 22．已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由数列的递推式，分别令和，计算可得所求值； （2）猜想，由数列的递推式和数列的恒等式，可得证明. 【详解】（1）由题知，，解得， 同理，，解得； （2）由（1）可猜想，证明如下： 已知，当时，有， 化简得，即， 则有， 又，故， 则， 当时，上式仍成立，则． 23．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)在数列中，是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】（1）对原等式化简得，再利用累乘法即可得到通项； （2）裂项得，再求和即可得到，则. 【详解】（1）由可知. 由题设条件可知，所以， 当时，， 所以. 当时，满足，故的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以 . 则. 数列新定义题型04 24．(23-24高二下·江西部分学校·期中)若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”．例如，数列，为“邻和等差数列”．已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，则（    ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 【答案】A 【来源】江西省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】设，由已知可得，可求. 【详解】设，由，得，则， 故 ． 故选：A. 25．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列． (1)已知等差数列的前n项和为，且． ①若，，求的通项公式，并写出的前5项； ②若，，求数列的前50项的和； (2)若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析， 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）①根据等差数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解首项与公差，即可得的通项公式，从而根据数列的和数列概念，确定的前5项；②由，得，求解，从而可得数列的第项为，结合已知即可得首项与公差，由和数列的概念可得数列的前50项的和； （2）假设存在或使得，分别讨论当且时，当且时，是否成立，从而可证得结论. 【详解】（1）设的公差为， ①由，得 解得， 所以， 的前5项依次为． ②因为，则， 当时，， 可以是任意正整数， 所以数列的第项为， 由得 解得，所以， 数列是首项为4､公差为2的等差数列， 所以的前50项和为． （2）证明：假设存在或使得， 当且时，因为，所以，得，这与矛盾， 同理且时也不成立， 当且时，设，因为， 所以， 左边为奇数，右边为偶数，所以， 综上得，对任意或 所以数列的所有项的和为． 26．(23-24高二下·江西赣州十八县（）二十四校·期中)在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列满足，，，，，证明：. 【答案】(1)13 (2) (3)证明见解析 【来源】江西省赣州市十八县（市）二十四校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据题干对的定义，列举即可得到的值； （2）将的值代入后，由数列的递推公式的特点可以构造等差数列，进而得到数列的通项公式； （3）根据和的关系得到即，将代入，得到，放缩后裂项相消求和. 【详解】（1）. （2）由（1）得， 左右同时除以13得，即， 所以数列是以为首项，以-1位公差的等差数列， 所以，所以. （3） 所以， 所以 ， 即， 所以， 所以， 即得证. 27．(23-24高二下·江西抚州金溪县第一中学等校·期中)已知数列满足，，，若数列的前项和为，则所有满足的的和为（   ） A．875 B．918 C．994 D．1015 【答案】A 【来源】江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】求出前10项可知从第5项起，构成周期为3的数列，然后可得，根据不等条件求出n的范围，进而可确定k的大致范围，再通过验证确定k的范围后即可求解. 【详解】由，得的前10项依次为， 从第5项起，构成周期为3的数列， ， 由得， ， 所以，满足的， 其和为． 故选：A． 28．（多选）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法正确的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 【答案】ABD 【来源】江西省萍乡市20232024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据等比数列的通项依次求出两个数列的通项公式，即可依次判断． 【详解】由题意可知，， ， 故为递增数列，为递增数列，故AB正确； 当时，取得最小值，故C错误； ， 当时，， 当时，， 故，故D正确． 故选：ABD． 29．(23-24高二下·江西南昌第十九中学·期中)已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为， (1)求的通项公式及； (2)设，为数列的前项和，求. 【答案】(1)， (2) 【来源】江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】（1）根据等差数列的定义求等差数列的公差，再用裂项求和法求. （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）因为在，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列， 所以， 所以. （2）易知，所以， 两式相减得 ， 所以. 30．(23-24高二下·江西景德镇一中·期中)已知数列满足，，且， (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知对于恒成立．求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【来源】江西省景德镇市一中2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）由递推关系，结合等比数列定义证明结论； （2）利用累加法求数列的通项公式； （3）结合证明，由此证明，结合等比数列求和公式证明结论. 【详解】（1）因为， 所以 所以 又， 所以， 所以数列是首项为12，公比为4的等比数列， （2）由（1）可得： 则有；；…， 累加可得： 所以， 又也满足故选， 所以， （3）因为， 所以对于恒成立， 所以对于，恒成立 当时，，即对于恒成立 所以对于恒成立 所以． 【点睛】关键点点睛：本题第三小问结合条件证明，从而利用放缩法，结合等比数列求和公式证明结论. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$