专题03 排列组合与二项式定理、随机变量分布列及统计案例（4考点32题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题03 排列组合与二项式定理、 随机变量分布列及统计案例（4考点32题） 题型概览 题型01排列、组合 题型02二项式定理 题型03随机变量及其分布 题型04统计案例 优选提升题 排列、组合题型01 1．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)王大爷养了3只鸡和2只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有（    ） A．120种 B．72种 C．48种 D．36种 【答案】C 【来源】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由捆绑法结合全排列知识可得答案. 【详解】将两只兔子捆绑，则2只兔子相邻走出房子共有种不同方法． 故选：C. 2．(24-25高二上·湖南长郡十八校·)某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷） 【分析】理解题意，利用分步乘法计数原理和古典概型概率公式计算即得. 【详解】高二（1）班与高二（2）班分别从这五首曲目中任选一首作为表演节目的方法数有种， 而要使两个班抽到不同曲目，可分步完成： 先让高二（1）班选一首有5种方法，再由高二（2）班从余下的4首曲目中选一首，有4种方法， 由分步乘法计数原理，可知方法数有种. 由古典概型概率公式，可得高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为. 故选：D. 3．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（    ） A．60种 B．66种 C．72种 D．78种 【答案】C 【来源】湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】因甲乙都至少需要三天的连休假期，故采用“特优法”分步计数，先排好甲和乙，再考虑安排其他三人即得. 【详解】由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，故可以分步完成： 第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙，有种方法； 第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同的值班安排共有种． 故选：C. 4．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)今天是星期天，则天后是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一 【答案】B 【来源】湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】因为， 所以除以7的余数为6，所以天后是星期六． 故选：B. 5．(23-24高二下·湖南株洲炎陵县·)某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有 . 【答案】18 【来源】湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期4月素质质量检测数学试卷 【分析】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分两步完成：甲在三个项目中任选一个，另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，根据计数原理即可得到结果. 【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分两步完成： ① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法； ② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法. 由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为. 故答案为： 6．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 【答案】C 【来源】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】利用分步计数原理，结合排列组合求解. 【详解】先从5个景点选出2个相同的，有种， 再从剩下的3个景点选两个分配给甲乙二人，有， 所以两人恰好有两个景区相同的选法共有种. 故选：C. 二项式定理题型02 7．(23-24高二下·湖南株洲炎陵县·期中)展开式中的常数项为 ． 【答案】15 【来源】湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期4月素质质量检测数学试卷 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式可得，令即可求解. 【详解】由题意知，二项式定理展开式的通项公式为：， 令，得，则常数项为：. 故答案为：15 8．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由赋值法求解即可. 【详解】令，则①， 令，则②， ②减①可得：. 故选：A. 随机变量及其分布题型03 9．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知随机变量，且，则 ． 【答案】0.4/ 【来源】湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】根据正态分布的性质计算即可得出结果. 【详解】由随机变量服从得， 故答案为：0.4 10．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)（多选）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】利用二项分布的期望、方差公式可判断A,B,C，利用离散型随机变量的均值的性质可判断D. 【详解】对于，由题意可得服从二项分布，故，故正确； 对于：因为， 所以，故B错误； 对于，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 11．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【来源】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】根据正太分布的性质，利用对称性即可求解. 【详解】因为， 由正态分布的对称性可知， 所以. 故选：B. 12．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且.若某商场购入500袋这种大米，则该种袋装大米的质量在的袋数约为（    ） A．300 B．350 C．400 D．450 【答案】D 【来源】湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合已知条件可得，即质量在的概率，进而可得500袋这种大米的质量在的袋数. 【详解】由题意得， 所以该种大米的质量在的袋数约为． 故选：D. 13．(23-24高二下·湖南邵阳邵东创新高级中学有限公司·期中)某科研院校培育橘树新品种，经统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，则在1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为 . 【答案】300 【来源】湖南省邵阳市邵东市创新高级中学有限公司2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据正态分布的对称性可得，即可求解个数. 【详解】由于，故， 所以1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为， 故答案为：300 14．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)长期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困扰教师们的职业病．据调查，某校大约有的教师患有慢性咽喉炎，而该校大约有的教师平均每天没有超过两节课，这些人当中只有的教师患有慢性咽喉炎．现从平均每天超过了两节课的教师中任意调查一名教师，则他患有慢性咽喉炎的概率为 ． 【答案】0.6/ 【来源】湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】利用全概率公式可得，求解即可. 【详解】设所求的概率为，由全概率公式得，，得． 故答案为：. 15．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知事件发生的概率为0.4，事件发生的概率为0.5，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为0.6，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（   ） A．0.85 B．0.8 C．0.75 D．0.7 【答案】C 【来源】湖南名校联考联合体2023-2024学年高二下学期第二次（期中）联考试卷 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】因为,, 所以, 所以. 故选：C. 16．(23-24高二下·湖南邵阳邵东第四中学·期中)“三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.其后主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门，是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 【答案】 会 【来源】湖南省邵阳市邵东市第四中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】设三扇门为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再结合条件概率及全概率公式即可得解. 【详解】设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门， 若车在，则打开的概率是， 若车在，则打开的概率为1， 被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1）， 也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2）， 虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大， 所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大， 所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率， 用概率论公式来分析，我们得到： 车在门的概率为：， 车在门的概率为：. 故答案为：会；. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 17．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)将4个形状､大小､颜色均相同的排球随机放入4个编号为的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2的排球筐内最终的排球个数为. (1)求编号为2的排球筐内有球的概率； (2)求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【来源】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】（1）设事件“编号为的排球筐内有球”为事件，则，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）设事件“编号为的排球筐内有球”为事件， 则； （2）由题意，的可能取值为，，，，， 所以，， ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 18．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： (1)第一次抽取的题目是选择题的概率； (2)在第一次抽到选择题的情况下，第二次抽到选择题的概率； (3)设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析；期望为 【来源】湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据古典概型计算概率； （2）利用条件概率的公式求解或者利用缩小事件空间的方法求解； （3）先确定的所有取值，求出各自的概率，写出分布列，利用期望的公式可得期望. 【详解】（1）记第i次抽到选择题为，则 （2） （3）可能为0，1，2， 分布列为： 0 1 2 19．(23-24高二下·湖南邵阳邵东第四中学·期中)某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值； (2)本次活动，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 参考数据：，，. 【答案】(1) (2)分布列见解析，总金额为元 【来源】湖南省邵阳市邵东市第四中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式求出，再由正态分布对称性即可求得的值； （2）求出Y的所有可能取值及其对应概率，即可得出分布列，求得，即可求出本次活动中需要准备的话费充值卡的总金额. 【详解】（1）依题意，， 所以， 故 ． （2）参与活动的每位居民得分低于74分的概率为， 得分不低于74分的概率为． Y的所有可能取值分别为10，20，30，40． ，， ，， 所以Y的概率分布为 Y 10 20 30 40 P 所以， 所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元． 统计案例题型04 20．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（    ） A．2.6 B．2.3 C．1.8 D．1.5 【答案】A 【来源】湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】根据回归直线过样本中心点可求. 【详解】将代入回归直线方程， 可得． 故选：A. 21．(23-24高二下·湖南长沙麓山国际梅溪湖学校·)由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（    ） A．相关变量x，y具有正相关关系 B．新的经验回归方程为 C．随值的增加，值增加的速度变小 D．样本点似残差为0.1 【答案】ABD 【来源】湖南省长沙市麓山国际梅溪湖学校2023-2024学年高二下学期5月学情检测数学试卷 【分析】由回归系数，可判定A正确；根据题意，求得新的经验回归方程为，可判定B正确；根据回归系数的含义，可判定C错误；根据新的回归方程，求得，结合残差的计算，可得判定D正确. 【详解】对于A中，由回归方程为，可得回归系数， 可得正数知变量具有正相关关系，所以A正确； 对于B中，将，代入，可得， 所以去除点和后，得到新的样本平均数， 因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以， 所以新的经验回归方程为，所以B正确； 对于C中，经验回归直线的斜率为正数，变量具有正相关关系， 又去除两点后，斜率增大，随x值的增加，y值增加的速度变大，所以C错误； 对于D中，由回归直线方程，当时，可得， 所以样本点似残差为，所以D正确. 故选：ABD. 22．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)近些年来，由于手机与电脑的影响，学生视力问题逐渐突出.习近平总书记作出重要指示，呵护好孩子的眼睛就是呵护孩子的未来.为了落实这一指示，某学校调查了学生的视力情况，随机抽取了200名学生，男生80人，女生120人，记录了他们的视力情况，结果如下表： 近视 不近视 男生 50 30 女生 70 50 (1)是否有90％的把握认为近视与性别有关(结果精确到0.001)； (2)从120名女生中按是否近视，采用分层抽样的方法抽取12人，再从12人中随机抽取4人做进一步调查，记抽到一名近视的得分，抽到一名不近视的得1分，设随机变量X表示抽取的4名学生的总得分，试求X的分布列与数学期望. 附：独立性验临界值表 P 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 公式，其中． 【答案】(1)见解析 (2)分布列见解析；. 【来源】湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由给定条件求出的观测值，再比对临界值表即可得解； （2）确定的所有可能值，再分别求出各值对应的概率即可作答. 【详解】（1）补全列联表如下： 近视 不近视 合计 男生 50 30 80 女生 70 50 120 合计 120 80 200 据列联表中的数据可得 ， 根据临界值表可知，没有的把握认为近视与性别有关. （2）由分层抽样可知，抽取的12人中，近视的有人，不近视的有人， 所以的可能取值为，则 ，， ，，， 所以的分布列如下： 0 2 4 于是. 23．(23-24高二下·湖南长沙麓山国际梅溪湖学校·)随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，） 支持 不支持 男生 女生 若通过计算得，根据小概率值的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 . 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】66 【来源】湖南省长沙市麓山国际梅溪湖学校2023-2024学年高二下学期5月学情检测数学试卷 【分析】根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可. 【详解】因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”， 所以， 即， 因为函数在时单调递增， 且，，， 所以的最小值为16， 所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为. 故答案为：66. 24．(23-24高二下·湖南雅礼教育集团·期中)2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求a，并估计参与调查者的平均年龄； (2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 (3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)0.035；41.5岁 (2)表格见解析；有关 (3)；1 【来源】湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）利用频率直方图面积和为1，即可得到，根据频率直方图计算平均数即可； （2）根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算出，根据独立性检验可得答案； （3）将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相互独立的得，可得答案 【详解】（1）， ， ， 估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁； （2）选出的200人中，各组的人数分别为： 第1组：人，第2组：人， 第3组：人，第4组：人， 第5组：人， 青少年组有人，中老年组有人， 参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题， 选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人， 列联表如下； 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计 160 40 200 零假设：假设关注民生问题与性别相互独立， ， 根据独立性检验，可以认为零假设不成立， 即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关； （3）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为， 将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为， 因为每次抽取的结果是相互独立的，所以， 所以， 所以，． 25．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)若存在两个不相等的正整数，使得对任意的都成立，则常数的所有可能取值构成的集合为 . 【答案】 【来源】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】借助组合数的运算与组合数最大值的性质即可得. 【详解】由存在两个不相等的正整数，使得， 可得，又，则， 因为题给不等式对任意满足条件的自然数都成立， 则是的最大值， 根据组合数最大值的性质，且， 可知为奇数，且，所以. 故答案为：. 26．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)陶瓷艺术源远流长，人们的日常生活中随处可见，尤其房屋装饰中瓷砖拼接的艺术颇具美感.当一些纵向长度为1，横向长度为2的矩形瓷砖在垂直或水平方向上没有间隙即恰好拼成矩形时，其铺设方法被称为瓷砖的“布置”.设纵向长度为3，横向长度为的长方形为.使用片砖的的“布置”方法总数为，则 . 【答案】11 【来源】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】通过列举法列出所有情况即可得出结果. 【详解】因为n=2,所以需要用6块瓷砖铺成纵向长度为3，横向长度为4的矩形， 如图所示：我们按水平瓷砖数量逐渐递减的方式枚举全部布置方法（6水平水平水平）. 故. 故答案为：11. 27．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分． (1)设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望； (2)记n次抛掷得分恰为分的概率为，求的前n项和； (3)投掷骰子100次，记得分恰为n分的概率为，当取最大值时，求n的值． 【答案】(1)分布列见解析； (2) (3) 【来源】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据的取值求出相应的概率即可； （2）由n次抛掷得分恰为分，可得只有1次抛掷得2分，进而利用独立重复实验的概率可得，从而利用错位相减法可求； （3）设得1分的次数为x，则得2分的次数为，因此抛掷100次所得总分为，进而由利用独立重复实验的概率可得，当取最大值时，要满足，从而利用组合数的性质即可求解. 【详解】（1）得2分的概率为，得1分的概率为. X的可能取值为2，3，4， ，， X的分布列为 X 2 3 4 P 数学期望． （2）因为n次抛掷得分恰为分，则只有1次抛掷得2分， 于是， 则， 于是， 两式相减，得 ， 所以． （3）设得1分的次数为x，则得2分的次数为， 因此抛掷100次所得总分为， 此时， 假定取最大值，必有， 于是，即， 整理得， 解得，而，则，则， 所以当取最大值时，． 【点睛】关键点睛：本题考查了随机变量的分布列和期望，也考查了数列在概率中的相关应用，需要熟练应用独立重复事件的性质、错位相减法与在二项式中求系数最大（小）的项. 28．(23-24高二下·湖南邵阳邵东创新高级中学有限公司·期中)某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题： (1)求小明在此次活动中至少中二等奖的概率； (2)若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望（X表示在一次抽取中所获的奖金数），则特等奖的奖金为多少? 【答案】(1) (2)元 【来源】湖南省邵阳市邵东市创新高级中学有限公司2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）由古典概型的概率公式结合组合数公式可得答案； （2）由超几何分布的概率公式求出X为0，495，990，1485，b的概率，再利用期望公式结合求答案即可. 【详解】（1）设小明在此次活动中至少中二等奖为事件A， 则 ； （2）由题意可知X的可能取值为0，495，990，1485，b． 则，，，，， 其分布列为： X 0 495 990 1485 b P 所以， 解得， 所以特等奖的奖金为元． 29．(23-24高二下·湖南邵阳邵东第四中学·期中)某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. (1)若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 【答案】(1)； (2). 【来源】湖南省邵阳市邵东市第四中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式求解即可； （2）设出事件A，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，，，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率. （2）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， 所以， 故所求概率. 30．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量． (1)证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数； （ⅱ）随机变量的数学期望； (2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件A发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 (2)数学期望小于最有可能发生的次数 【来源】湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】（1）（ⅰ）根据组合数公式分析证明；（ⅱ）根据二项分布结合二项式定理分析证明； （2）分析可知随机变量，结合二项分布概率公式可得概率最大，进而与期望对比分析. 【详解】（1）（ⅰ）因为， 且， 所以； （ⅱ）因为，， 可得 ， 令，则. （2）由题意可知：， 又因为随机变量，所以， 因为， 假设时，其概率最大， 则，解得， 可知，所以其数学期望小于最有可能发生的次数． 【点睛】方法点睛：1.对于（1）（ⅱ）根据组合数性质以及二项式定理分析求解； 2.对于二项分布的概率最大问题，常常列式，运算求解即可. 31．(23-24高二下·湖南衡阳衡阳县第二中学·期中)如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 【答案】(1)60 (2)240 【来源】湖南省衡阳市衡阳县第二中学2023-2024学年高二下学期期中达标数学测评卷 【分析】（1）由分步乘法原理，先涂S，再涂A，再涂B，最后涂CD计算即可. （2）解法一：由分步乘法原理，先涂AC，再一次涂SAB，计算即可；解法二：分类分步原理，先按照A与C颜色相同与不同分类，再用分步乘法，最后求和即可. 【详解】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C颜色相同，且B，D颜色相同， 所以共有种不同的涂色方法. （2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同， 所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）； 再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上， 最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法. 根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法. 解法二：分两类. 第一类，A与C颜色相同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法； 第二类，A与C颜色不同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法. 根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法. 32．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的. (1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列. (2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒? 【答案】(1)答案见解析； (2)2个. 【来源】湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出的分布列. （2）分别求出三种方案总费用的期望值，比较它们的大小，即可得出答案. 【详解】（1）由题意可知，的取值可能是 则， ， ， 的分布列为 2 3 4 （2）设乙购买个盲盒，集齐一套京剧脸谱娃娃所需总费用为（单位：元）， 则的取值可能是1，2，3. 方案一：购买1个盲盒，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃， 则总费用元． 方案二：购买2个盲盒，当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式相同时， 直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为； 当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式不相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃， 总费用元，概率为． 所以购买2个盲盒的总费用的期望值为元． 方案三：购买3个盲盒，当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均相同时， 直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为； 当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃恰有两个款式相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃， 总费用元，概率为； 当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均不相同时，总费用元， 概率为． 所以购买3个盲盒的总费用的期望值为元． 因为方案二购买费用的期望值最小，所以乙应购买2个盲盒． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 排列组合与二项式定理、 随机变量分布列及统计案例（4考点32题） 题型概览 题型01排列、组合 题型02二项式定理 题型03随机变量及其分布 题型04统计案例 优选提升题 排列、组合题型01 1．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)王大爷养了3只鸡和2只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有（    ） A．120种 B．72种 C．48种 D．36种 2．(24-25高二上·湖南长郡十八校·)某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（    ） A．60种 B．66种 C．72种 D．78种 4．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)今天是星期天，则天后是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一 5．(23-24高二下·湖南株洲炎陵县·)某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有 . 6．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 二项式定理题型02 7．(23-24高二下·湖南株洲炎陵县·期中)展开式中的常数项为 ． 8．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 随机变量及其分布题型03 9．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知随机变量，且，则 ． 10．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)（多选）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C．2 D．1 12．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且.若某商场购入500袋这种大米，则该种袋装大米的质量在的袋数约为（    ） A．300 B．350 C．400 D．450 13．(23-24高二下·湖南邵阳邵东创新高级中学有限公司·期中)某科研院校培育橘树新品种，经统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，则在1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为 . 14．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)长期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困扰教师们的职业病．据调查，某校大约有的教师患有慢性咽喉炎，而该校大约有的教师平均每天没有超过两节课，这些人当中只有的教师患有慢性咽喉炎．现从平均每天超过了两节课的教师中任意调查一名教师，则他患有慢性咽喉炎的概率为 ． 15．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知事件发生的概率为0.4，事件发生的概率为0.5，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为0.6，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（   ） A．0.85 B．0.8 C．0.75 D．0.7 16．(23-24高二下·湖南邵阳邵东第四中学·期中)“三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.其后主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门，是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 17．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)将4个形状､大小､颜色均相同的排球随机放入4个编号为的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2的排球筐内最终的排球个数为. (1)求编号为2的排球筐内有球的概率； (2)求的分布列. 18．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： (1)第一次抽取的题目是选择题的概率； (2)在第一次抽到选择题的情况下，第二次抽到选择题的概率； (3)设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望． 19．(23-24高二下·湖南邵阳邵东第四中学·期中)某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值； (2)本次活动，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 参考数据：，，. 统计案例题型04 20．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（    ） A．2.6 B．2.3 C．1.8 D．1.5 21．(23-24高二下·湖南长沙麓山国际梅溪湖学校·)由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（    ） A．相关变量x，y具有正相关关系 B．新的经验回归方程为 C．随值的增加，值增加的速度变小 D．样本点似残差为0.1 22．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)近些年来，由于手机与电脑的影响，学生视力问题逐渐突出.习近平总书记作出重要指示，呵护好孩子的眼睛就是呵护孩子的未来.为了落实这一指示，某学校调查了学生的视力情况，随机抽取了200名学生，男生80人，女生120人，记录了他们的视力情况，结果如下表： 近视 不近视 男生 50 30 女生 70 50 (1)是否有90％的把握认为近视与性别有关(结果精确到0.001)； (2)从120名女生中按是否近视，采用分层抽样的方法抽取12人，再从12人中随机抽取4人做进一步调查，记抽到一名近视的得分，抽到一名不近视的得1分，设随机变量X表示抽取的4名学生的总得分，试求X的分布列与数学期望. 附：独立性验临界值表 P 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 公式，其中． 23．(23-24高二下·湖南长沙麓山国际梅溪湖学校·)随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，） 支持 不支持 男生 女生 若通过计算得，根据小概率值的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 . 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 24．(23-24高二下·湖南雅礼教育集团·期中)2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. (1)求a，并估计参与调查者的平均年龄； (2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 (3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 25．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)若存在两个不相等的正整数，使得对任意的都成立，则常数的所有可能取值构成的集合为 . 26．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)陶瓷艺术源远流长，人们的日常生活中随处可见，尤其房屋装饰中瓷砖拼接的艺术颇具美感.当一些纵向长度为1，横向长度为2的矩形瓷砖在垂直或水平方向上没有间隙即恰好拼成矩形时，其铺设方法被称为瓷砖的“布置”.设纵向长度为3，横向长度为的长方形为.使用片砖的的“布置”方法总数为，则 . 27．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分． (1)设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望； (2)记n次抛掷得分恰为分的概率为，求的前n项和； (3)投掷骰子100次，记得分恰为n分的概率为，当取最大值时，求n的值． 28．(23-24高二下·湖南邵阳邵东创新高级中学有限公司·期中)某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题： (1)求小明在此次活动中至少中二等奖的概率； (2)若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望（X表示在一次抽取中所获的奖金数），则特等奖的奖金为多少? 29．(23-24高二下·湖南邵阳邵东第四中学·期中)某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. (1)若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 30．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量． (1)证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数； （ⅱ）随机变量的数学期望； (2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件A发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系． 31．(23-24高二下·湖南衡阳衡阳县第二中学·期中)如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 32．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的. (1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列. (2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒? 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$