精品解析：湖北省武汉市江汉区学区四校联盟2024-2025学年八年级下学期3月联考数学试卷

2024-2025学年下学期武汉市江汉区学区四校联盟 八年级数学 考试时间：120分钟 试卷总分：120分 一、单选题 1. 如果有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1， B. 1， 4， C. 3，4，6 D. 1，3，3 4. 如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ） A 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明用4个全等且面积为6直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形则每一个直角三角形的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 13 D. 25 8. 能说明命题“如果a是任意实数，那么”是假命题的一个反例可以是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 10. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. ___________；的算术平方根是___________；的倒数是___________． 12. 如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为_________． 13. 若点P(x,y)在第二象限内，则化简的结果是______. 14. 如图，将一根长12cm筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h的取值范围为________． 15. 如图，在中，，分别是，边上点，与交于点，与交于点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为___________． 16. 如图，，，则线段，，，，，，，中，长度为无理数的线段有___________条． 三、解答题 17. 计算：（1）；（2）. 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形是平行四边形，、分别是、上一点，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，在中，，垂足为． （1）若记，为，直接写出___________； （2）若，，求的长度． 21. 如图，由正方形组成的的网格中，每个小正方形的顶点为格点．的顶点、点均为格点，点在线段上，请你仅用无刻度直尺按要求完成作图，作图痕迹用虚线表示． （1）直接写出___________ ，画平行四边形； （2）画的平分线，交于点； （3）在线段上画一点，使得． 22. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 23. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD； ①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长； ②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点．满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并，平移至（点与点对应，点与点对应），连接． （1）直接写出 ___________ ，___________ ，B点坐标是___________； （2）点分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．当分别在边上运动时，的最小值是___________； （3）如图2，将线段绕点逆时针旋转至，连接，P为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期武汉市江汉区学区四校联盟 八年级数学 考试时间：120分钟 试卷总分：120分 一、单选题 1. 如果有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义即可解答． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 解得， ∴当时，是二次根式， 即当时,二次根式有意义， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项不符合题意； D．是最简二次根式，故该选项符合题意． 故选：D． 3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1， B. 1， 4， C. 3，4，6 D. 1，3，3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理好三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，符合题意； B、，不能构成三角形，更不可能是直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得． 【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形： 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理．求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标是． 故选：A 6. 如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，根据题意可知两组对边分别平行的四边形即是平行四边形，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵两组对边分别平行四边形为平行四边形， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 7. 如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形则每一个直角三角形的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 13 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设直角三角形直角边的长分别，斜边长为，根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：设直角三角形直角边的长分别（），斜边长为， 根据题意得：，，即， 则，， ， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故选：B． 8. 能说明命题“如果a是任意实数，那么”是假命题的一个反例可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：时，满足a是任意实数，但不满足， 所以可作为说明命题“如果a是任意实数，那么是假命题的一个反例． 故选∶A． 9. 如图，在中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 由可得，由平行四边形的性质可得，，，由邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由可得，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，则，由此即可求出的长． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：． 10. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 二、填空题 11. ___________；的算术平方根是___________；的倒数是___________． 【答案】 ①. 5 ②. 2 ③. ## 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、二次根式的乘法、二次根式的分母有理化、倒数，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．根据二次根式的乘法、算术平方根、倒数和二次根式的分母有理化计算即可得． 【详解】解：， ，4的算术平方根是2， 的倒数是， 故答案为：5，2，． 12. 如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点O连在一起，点C、D分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为_________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解答本题的关键要熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 根据点C，D分别是、的中点，可知是的中位线，根据三角形中位线定理可知，从而可求槽宽的长． 【详解】∵把两根钢条、的端点连在一起，点C，D分别是、的中点，， ∴是中位线， ∴． 故答案为：11． 13. 若点P(x,y)在第二象限内，则化简的结果是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点P(x，y)在第二象限内，可得x<0，y>0，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵点P(x，y)在第二象限内， ∴x<0，y>0， ∴=， 故答案为． 【点睛】本题考查二次根式的性质、象限点的坐标特征，解题关键是：当a≥0时，=a；当a<0时，=-a． 14. 如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h的取值范围为________． 【答案】2cm≤h≤4cm 【解析】 【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围． 【详解】解：如图， 当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h＝12﹣8＝4（cm）； 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm， ∴AB2＝AD2＋BD2＝62＋82＝102（cm2），即AB＝10cm， ∴此时h＝12﹣10＝2（cm）， ∴h的取值范围是：2cm≤h≤4cm． 故本题答案为：2cm≤h≤4cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键． 15. 如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 16. 如图，，，则线段，，，，，，，中，长度为无理数的线段有___________条． 【答案】1981 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及无理数，能根据题意得出为正整数）是解题的关键．根据题意，依次求出线段的长度，发现规律，并据此求出无理数线段的条数即可． 【详解】解：由题知， 在中， ， 同理可得，，， 所以为正整数）． 当时，． 又因为， 则， 即无理数的线段有1981条． 故答案为：1981． 三、解答题 17. 计算：（1）；（2）. 【答案】（1）-9；（2） 【解析】 【分析】二次根式的混合运算，先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行合并即可解题 【详解】(1)解：原式= = (2)解：原式= 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握同类二次根式的合并即可解题. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据，根据二次根式混合运算法则进行计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，四边形是平行四边形，、分别是、上一点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；由平行四边形的性质得出，再由已知可以得出DE=BF，由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 20. 如图，在中，，垂足为． （1）若记为，为，直接写出___________； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用勾股定理求出，再利用三角形的面积即可求解； （）由已知可得，再分别在、和中利用勾股定理可得，据此即可求解； 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ， ∴， 在中，，即， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得． 21. 如图，由正方形组成的的网格中，每个小正方形的顶点为格点．的顶点、点均为格点，点在线段上，请你仅用无刻度直尺按要求完成作图，作图痕迹用虚线表示． （1）直接写出___________ ，画平行四边形； （2）画的平分线，交于点； （3）在线段上画一点，使得． 【答案】（1）5；见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求的长即可；根据平行四边形的判定与性质画图即可． （2）结合等腰三角形性质，在上取点，使，连接，取的中点，连接并延长，交于点，则即为所求． （3）连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：勾股定理得，． 如图，由可得四边形为平行四边形， 平行四边形即为所求． 故答案为：5． 【小问2详解】 解：如图，在上取点，使，连接，取的中点，连接并延长，交于点，根据等腰三角形三线合一性质可得平分，则即为所求． 【小问3详解】 解：如图，连接交于点，连接并延长，交于点，根据等腰三角形的轴对称性质可得，则点即为所求． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 23. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD； ①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长； ②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据AC⊥BD可以得到∠AOB =∠COD=90°即可得到AB²=AO²+OB²，CD² =DO²+OC²即AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理可以得到AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²即可得到答案; （2）连DC、AE相交于点F，先证明△ABE≌△DBC得到∠CDB=∠BAE从而证得AE⊥CD再利用勾股定理和（1）中的结论求解即可得到答案； （3）连DC、AE相交于点F，作CP⊥BD交DB延长线于点P，BP²+CP²=BC²=（4）²=32，DP²+PC²=DC²=（）²=96，(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64，DP²-BP²=64从而求出BP=，再证明AB∥PC则S△ABC＝AB×BP. 【详解】解：（1）证明：∵AC⊥BD ∴∠AOB=90° 在Rt△AOB中AB²=AO²+OB² ∴∠COD=90° 在Rt△COD中CD² =DO²+OC² ∴AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC² 同理AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC² ∴AB2＋CD2＝AD2＋BC² (2) ①解：连DC、AE相交于点F ∵Rt△BCE和Rt△ABD是等腰三角形 ∴BE=BCAB=BD ∠CBE=∠ABD=90° ∴∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC ∴△ABE≌△DBC ∴∠CDB=∠BAE ∵∠ABD=90° ∴∠CDB+∠CDA+∠DAB=90° ∴∠BAE+∠CDA+∠DAB=90° ∴∠AFD=90° ∴AE⊥CD ∵AB=5，BC=4∠ACB=90° ∴AC= ∵AB=5，BD=5∠ABD=90° ∴AD= ∵BC=4，BE=4∠CBE=90° ∴CE= 由（1）中结论AD²+EC²=AC²+DE² ∴(10)²+（8）²=（3）²+DE² ∴DE= ②连DC、AE相交于点F ∵点G、H分别是AD、AC中点，GH＝ ∴DC=2GH= 作CP⊥BD交DB延长线于点P BP²+CP²=BC²=（4）²=32 DP²+PC²=DC²=（）²=96 ∴(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64 ∴DP²-BP²=64 ∴（BD+BP)²-BP²=64 ∴（5+BP)²-BP²=64 ∴BP= ∵∠PBA=90°，∠P=90°， ∴∠PBA+∠P=90°+90°=180° ∴AB∥PC 则S△ABC＝AB×BP=×5× 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点．满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并，平移至（点与点对应，点与点对应），连接． （1）直接写出 ___________ ，___________ ，B点坐标是___________； （2）点分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．当分别在边上运动时，的最小值是___________； （3）如图2，将线段绕点逆时针旋转至，连接，P为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，求的面积． 【答案】（1）6，4， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值、算术平方根的非负性求出，，根据平移性质求点的坐标； （2）由是的中位线，得出，当时，取最小值，取最小值，因此利用面积法求出最小值即可； （3）由题意得到，，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，过作于，得到，解直角三角形得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并， ，， ，； ，， ， 即， 故答案为：6，4，； 【小问2详解】 解：连接，如图1， 、分别是、的中点， 是的中位线， ． 当时，有最小值，即有最小值， ，，， ，， 由题意可知四边形是平行四边形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意可知，，， ， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， 如图2，过作于， ， ， ， ， ， △的面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$