专题02 一元函数的导数及其应用（12大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（内蒙古专用）

专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01变化率问题 题型02导数的概念 题型03导数的计算 题型04导数的几何意义 题型05 导数求函数单调性 题型06 极值和最值 题型07 导数中恒成立、能成立问题 题型08 导数研究函数零点 题型09 导数研究函数图像和性质 题型10 双变量问题 题型11 导数的实际应用 题型12 导数新概念 ( 题型01 ) 变化率问题 1．（23-24高二下·江西赣州·期中）若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 2．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 3．（大学）（23-24高二·全国·课后作业）（多选）物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（   ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度的极限值 4．（23-24高一·全国·期中）函数在区间上的平均变化率是2，则 ． ( 题型02 ) 导数的概念 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）若，则等于（   ） A．2 B．－2 C． D． 2．（24-25高三上·河南·期中）如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 ( 题型03 ) 导数的计算 1．（多选）（24-25高三上·陕西咸阳·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·广东阳江·期中）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·海南海口·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 4．（23-24高二下·青海西宁·期中）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（，且）； ( 题型04 ) 导数的几何意义 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知函数在处的导数的几何意义是（    ） A．在处的切线的斜率 B．在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值 C．曲线在点处切线的斜率 D．点与点连线的斜率 2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知曲线C：在点A处的切线与直线平行，则该切线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 4．（23-24高三上·内蒙古乌兰察布·期中）若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是 . 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是 ． 6．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数，，，在点处有公切线l. (1)求公切线l的方程； (2)求的解析式. ( 题型0 5 ) 导数求函数单调性 1．（23-24高一下·内蒙古包头·期中）函数y＝f（x）在定义域（，3）内的图象如图所示．记y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（    ） A．[，1]∪[2，3） B．[﹣1，]∪[，] C．[，]∪[1，2） D．（，]∪[，]∪[，3） 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期中）的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．   D．     3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）函数在上的导数为，若，且，则 . 4．（23-24高二下·内蒙古阿拉善盟·期中）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 6．（23-24高三上·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数，在时取得极值. （1）求的值； （2）求函数的单调区间. ( 题型0 6 ) 极值和最值 1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极小值点 B．在区间上单调递增 C．为的极大值点 D．在区间上单调递增 2．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）函数在处有极值10，则点为（    ） A． B． C．或 D．不存在 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 5．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数. (1)当时，求函数. (2)讨论函数的极值点个数. 6．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. ( 题型0 7 ) 导数中恒成立、能成立问题 1．（多选）（23-24高二下·内蒙古·期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（23-24高二下·内蒙古·期中）设函数，存在，使得成立，则实数的值是 . 3．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 4．（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. ( 题型0 8 ) 导数研究函数零点 1．（多选）（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数且. (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求函数零点的个数. 3．（2024·全国·模拟预测）设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 4．（24-25高三上·四川自贡·期中）已知函数． (1)时，判断函数的零点个数； (2)设，若函数有两个极值点，比较与的大小并说明理由． ( 题型0 9 ) 导数研究函数图像和性质 1．（23-24高二上·河南·期末）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极小值 C．在区间上单调递增 D．当时函数的最大值是 4．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知. (1)求的单调区间，并求其极值； (2)画出函数的大致图象； (3)讨论函数的零点的个数. ( 题型 10 ) 双变量问题 1．（多选）（23-24高二下·广东广州·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正整数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 3．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 4．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. ( 题型 11 ) 导数的实际应用 1．（23-24高二下·天津河东·期中）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积最大，则边长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·陕西西安·期中）一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗．铁匠老张准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形（圆心和半径与圆形铁片一致）作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）．若该漏斗的容积为，则圆形铁片的面积最小值为（    ） A．4π B．6π C．8π D．9π 3．（23-24高二下·内蒙古包头·期中）已知某工厂生产件产品的成本为（元）， 问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？ （2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 4．（23-24高三上·山东济宁·期中）某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）    (1)求函数的解析式； (2)在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由． ( 题型 12 ) 导数的新概念 1．（23-24高二下·上海·期中）已知函数及其导数，若存在使得则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1） ；（2）  ；（3）  ；（4）； 其中没有“巧值点”的函数是（        ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2．（23-24高三上·福建南平·期中）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南南阳·期中）设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数．则下列函数中，为区间上的凸函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·浙江·期中）曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为.已知函数，则曲线在点处的曲率 . 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·甘肃白银·一模）已知函数在上单调递增.则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）设函数的定义域为，若满足：在内是单调函数，且存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（，）是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（23-24高二下·内蒙古包头·期中）若函数在R上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）将函数图象上的所有点向右平移个单位长度．得到的图象，将图象上的所有点的横坐标伸长至原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．在内有2个极值点 9．（多选）（23-24高二下·辽宁本溪·期中）已知，函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若的增区间为，则 B．若在上单调递减，则 C．若的极大值为0，则 D．若，则曲线的对称中心为 11．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知函数在上存在唯一零点x，则实数k的值为 ． 12．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线与曲线相切，则的最小值为 . 13．（23-24高三上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知函数，有两个极值点，，设，，直线与轴的交点在曲线上，则的值是 . 14．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间和极值； (3)当时，若对于任意，都有，求实数b的取值范围. 15．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性. 16．（23-24高二下·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求证时，. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01变化率问题 题型02导数的概念 题型03导数的计算 题型04导数的几何意义 题型05 导数求函数单调性 题型06 极值和最值 题型07 导数中恒成立、能成立问题 题型08 导数研究函数零点 题型09 导数研究函数图像和性质 题型10 双变量问题 题型11 导数的实际应用 题型12 导数新概念 ( 题型01 ) 变化率问题 1．（23-24高二下·江西赣州·期中）若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义列方程求参数即可. 【详解】∵函数在区间上的平均变化率为5， ∴，解得． 故选：C 2．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 3．（大学）（23-24高二·全国·课后作业）（多选）物体运动方程为（位移单位：，时间单位：），若，则下列说法中正确的是（   ） A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度的极限值 【答案】CD 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值. 故选：CD. 4．（23-24高一·全国·期中）函数在区间上的平均变化率是2，则 ． 【答案】5 【分析】根据平均变化率定义计算求参即可. 【详解】 因为函数在区间上的平均变化率是2， 所以， 即，从而,解得或（舍去）． 故答案为：5. ( 题型02 ) 导数的概念 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）若，则等于（   ） A．2 B．－2 C． D． 【答案】C 【分析】由导数的定义求解 【详解】 故选：C 2．（24-25高三上·河南·期中）如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【详解】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 3．（23-24高二下·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 4．（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】由导数的概念求解即可得. 【详解】. 故选：B. ( 题型03 ) 导数的计算 1．（多选）（24-25高三上·陕西咸阳·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则可得选项A，B，C正确，选项D错误. 【详解】A. ，选项A正确. B.，选项B正确. C.为常数，选项C正确. D. ，选项D错误. 故选：ABC. 2．（22-23高二下·广东阳江·期中）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数运算法则求解即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 3．（23-24高二下·海南海口·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可． 【详解】（1） （2） （3） （4），则 （5） 4．（23-24高二下·青海西宁·期中）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（，且）； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】直接根据导数的运算法则计算即可． 【详解】（1），. （2），. （3），. （4），. （5），. ( 题型04 ) 导数的几何意义 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知函数在处的导数的几何意义是（    ） A．在处的切线的斜率 B．在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值 C．曲线在点处切线的斜率 D．点与点连线的斜率 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义直接判断作答. 【详解】根据导数的几何意义，是函数在点处切线的斜率，故A错误，C正确； 对于B，函数在点处的切线倾斜角可以为钝角，此时为负，故B错误； 对于D，曲线在点处的切线不一定过原点，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知曲线C：在点A处的切线与直线平行，则该切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设切点坐标，再根据导数的几何意义得切点坐标，最后用点斜式求出直线方程即可. 【详解】根据题意可得，设，则，解得， 所以，所以， 故所求切线方程为，即. 故选：D. 3．（24-25高三上·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分别设两个切点，根据导数的几何意义分别求得切线方程，联立解方程即可. 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 4．（23-24高三上·内蒙古乌兰察布·期中）若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】首先设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得，将问题转化为与 存在两个不同的交点，通过导数研究的图象，从而得到的取值范围. 【详解】由题意得的定义域为，且，设切点坐标为，则过原点的切线斜率，整理得存在两条过原点的切线，存在两个不同的解.设，则问题等价于于存在两个不同的交点，又当时，，单调递增，当 时，，单调递减，.又当时，；当时，，若于存在两个不同的交点，则.解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解： 1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； 2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解； 3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍； 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是 ． 【答案】 【分析】当P为与直线平行且与曲线相切的切线的切点时，点P到直线的距离最短，根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果. 【详解】由可得， 设与直线平行，且与曲线相切的直线，对应切点坐标为， 则，解得，则， 则点到直线的距离，即为点P到直线的最小距离， 即为. 故答案为：. 6．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数，，，在点处有公切线l. (1)求公切线l的方程； (2)求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)求出两函数的导函数，利用两函数在处的导数值相等列式求，进一步可得切线l的方程； (2)直接把(1)中求解的代入即可得到的解析式. 【详解】（1）因为函数，， 所以，， 因为，在点处有公切线l， 所以，即， 所以公切线方程为，即. （2）由（1）知， 所以. ( 题型0 5 ) 导数求函数单调性 1．（23-24高一下·内蒙古包头·期中）函数y＝f（x）在定义域（，3）内的图象如图所示．记y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（    ） A．[，1]∪[2，3） B．[﹣1，]∪[，] C．[，]∪[1，2） D．（，]∪[，]∪[，3） 【答案】A 【分析】根据导数与单调性的关系判定即可. 【详解】当时, 单调递减,观察图像可得在和上单调递减. 故选：A 【点睛】本题主要考查了导数与原函数单调性的关系,属于基础题. 2．（23-24高二上·内蒙古包头·期中）的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】利用导数与函数单调性的关系可得出合适的选项. 【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，. 所以，函数的增区间为和，减区间为， 所以，函数的图象为C选项中的图象. 故选：C. 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）函数在上的导数为，若，且，则 . 【答案】2025 【分析】由题意构造函数，利用导数研究其单调性，整理方程，可得答案. 【详解】令，由，且，则， 所以在上单调递增，由不等式，则， 可得，解得. 故答案为：. 4．（23-24高二下·内蒙古阿拉善盟·期中）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据导数与函数单调性的关系，转化为恒成立，转化为函数，求最值问题. 【详解】由题可知：，在区间恒成立， 得恒成立，即， 设，，在区间恒成立， 则函数的最小值为， 所以. 故答案为： 5．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【分析】（1）由题意对求导得，进一步令，通过对求导来研究的单调区间以及符号情况，进一步来得到的单调区间. （2）将原问题等价转换为在上恒成立，令，首先注意到，故自然想到若在上单调递增满足题意，由此对实数分类讨论即可. 【详解】（1）的定义域为， 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意，所以恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）因为在上恒成立，即在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，则， 令，则. 当时，在上恒成立，则在上单调递增， 所以，即恒成立，所以在上单调递增， 所以在上，，即在上恒成立； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，，所以，即， 又， 所以时，，函数单调递减， 又，故时，，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是要连续求导，来研究函数单调区间，第二问的关键是首先要等价转换恒成立问题，进一步要找到那个分类讨论的临界点即. 6．（23-24高三上·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数，在时取得极值. （1）求的值； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是. 【解析】（1）利用极值定义，列式，求出值并验证即可； （2）利用导数正负确定函数的单调区间即可. 【详解】解：（1）函数，则， 函数在时取得极值，故，解得，此时，，函数确实在时取得极小值. 故的值是； （2）因为，当时，当时，故函数的单调增区间是，单调减区间是. ( 题型0 6 ) 极值和最值 1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极小值点 B．在区间上单调递增 C．为的极大值点 D．在区间上单调递增 【答案】C 【分析】根据导函数图象分析的取值情况，即可得到函数的单调区间与极值点. 【详解】由导函数图象可得当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，A，B，D错误， 又在的左侧附近，,在的右侧附近， 所以为的极大值点，C正确； 故选：C. 2．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）函数在处有极值10，则点为（    ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】B 【分析】由题意得，解出值再分别验证即可. 【详解】，则，即， 解得或， 当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去. 当,，令，解得或， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则为极小值点，符合题意. 故点为， 故选：B 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意在有解，转化为直线与有交点即可. 【详解】函数在区间上存在极值点， 意味着其导数在该区间内存在零点， 令,解得，考虑函数在区间上的值域， 由于，所以在该区间上单调递减， 计算和,可知在上的值域为， 因此的取值范围为. 故选：B. 二、填空题 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意将不等式变形为，利用导数研究函数的单调性进而求出即可求解. 【详解】因为，所以不等式可变形为， 令，则， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 则， 所以不等式对任意恒成立，只需即可， 故答案为： 5．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数. (1)当时，求函数. (2)讨论函数的极值点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意求导可得，即可求解； （2）由得，令，得，利用导数研究的单调性并作出图形，分类讨论当、、、时方程的解的情况，进而求解. 【详解】（1）当时，， 则，则. （2）， 由，解得， 易知函数在上单调递增，且值域为， 令，由，解得， 设，则， 因为当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于， 所以的大致图象如图所示． 因此有： （ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点； （ⅱ）当时，， 设，则， 令，， 在上单调递增函数，在上单调递减， 所以，即， 得， 所以，函数在内单调递增，此时没有极值点； （ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点； （ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点． 综上，当时，有一个极值点； 当时，有两个极值点； 当时，没有极值点． 【点睛】关键点点睛：解决本题的第二问关键是通过得，令，得，利用导数研究的单调性并作出图形，利用数形结合的思想分类讨论方程的解的情况即可. 6．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值是，最大值是. 【分析】（1）根据极值的定义得到关于，的方程组，即可求出，. （2）判断函数在上的单调性，结合函数的极值和端点函数值求解. 【详解】（1）， ∵函数在处取得极值4， ∴，，解得，， ∴，经验证在处取得极大值4， 故，. （2）由（1）可知，，， 令，解得，令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在在时取得极小值，极小值为； 在时取得极大值，极大值为，且，， 经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是. ( 题型0 7 ) 导数中恒成立、能成立问题 1．（多选）（23-24高二下·内蒙古·期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】AB 【分析】根据已知不等式进行常变量分离，得到，观察分母，联想不等式，结合指数的运算性质进行放缩进行求解即可.. 【详解】由题意可得， 则. 设，则. 由，得，由，得，则在上单调递减， 在上单调递增，故，即. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则，故. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题的关键是常变量分离后，利用不等式和指数的运算性质进行放缩. 2．（23-24高二下·内蒙古·期中）设函数，存在，使得成立，则实数的值是 . 【答案】 【分析】将看作动点与定点之间距离的平方，将问题变为直线上的点到的最小距离的求解问题；利用导数求解出与平行的切线的切点，从而得到最小距离，根据能成立的不等式可确定和的位置，利用斜率关系求得结果. 【详解】由题意得： 可将看作动点与定点之间距离的平方 则动点在函数图象上，在直线图象上 ，令，解得：， 上的点到直线的距离最小      若存在，使得成立，则 此时，为垂足         本题正确结果： 【点睛】本题考查数形结合思想的应用，关键是能够将函数看作两点之间的距离的形式，从而将问题转化为直线上的点到曲线距离的最值问题，从而利用导数来进行求解，属于较难题. 3．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），， ，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2），则， 当时，，即在上单调递增. 当时，，与题意不符. 当时，，，在上单调递增； ，，在上单调递减. 当时，取得最大值，且为. 由题意可得，解得. 即实数的取值范围为. 4．（24-25高三上·天津西青·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间； （3）问题化为在上存在实数解，利用导数求右侧表达式在上最小值，即可得范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，故在处切线方程为， 所以. （2）由题设，且， 当时，，即的递增区间为，无递减区间； 当时，有，有， 此时的递增区间为，递减区间为. （3）原条件等价于在上存在实数解. 所以在上存在实数解， 令，则， 在上，得，故在上单调递增， 所以的最小值为，故时不等式在上存在实数解. ( 题型0 8 ) 导数研究函数零点 1．（多选）（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 【答案】ACD 【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD. 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 故选：ACD. 2．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数且. (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求函数零点的个数. 【答案】(1)有极小值，无极大值 (2)零点个数为1 【分析】（1）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值； （2）利用函数的导数，通过对参数分类讨论分析其单调性即可知函数的零点个数. 【详解】（1）解：由题意得： ， 令，得或（舍去）， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数有极小值，无极大值. （2）由（1）得.因为， ①若，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以有极大值， 极小值，又， 所以函数有1个零点. ②若，则，所以函数单调递增， 此时，所以函数有1个零点. ③若，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以有极大值，显然极小值， 又，所以函数有1个零点. 综上所述，当时，函数的零点个数为1. 3．（2024·全国·模拟预测）设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）由可得，令，其中，由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， ，令，可得， 由，可得；由，可得， 故当时，函数的增区间为，减区间为. （2）当时，由可得， 令，其中， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点， ， 令，则与同号， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，，此时，，此时函数单调递减， 当时，，此时，，此时函数单调递增， 所以，， 又因为，，显然，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 因此，实数的取值范围是. 4．（24-25高三上·四川自贡·期中）已知函数． (1)时，判断函数的零点个数； (2)设，若函数有两个极值点，比较与的大小并说明理由． 【答案】(1)函数零点的个数为1 (2). 【分析】（1）把代入中确定出的解析式，求导确定其单调性，结合零点存在定理可得结论； （2）根据函数的极值点，求导可得方程有两个根，从而的范围，且，然后判断的正负即可比较大小得结论. 【详解】（1）时，，且， 则恒成立，故在上单调递增， 又 故函数零点的个数为1． （2），则， 令，即有两个根，则，所以， 则， 所以 ， 令， 所以，则函数在上递减，所以恒成立， 所以，即， 故. ( 题型0 9 ) 导数研究函数图像和性质 1．（23-24高二上·河南·期末）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设导函数的图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，， 其中，根据导函数的图像写出函数的单调区间，结合选项即可得解. 【详解】解：设导函数的图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，， 其中， 则当或时，，当或时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在单调递减，故只有C满足. 故选：C. 2．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得的极值，由此求得的取值范围. 【详解】， 所以函数在区间上递减；在区间上递增. 所以当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值. 所以的取值范围是. 故选：C 3．（多选）（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极小值 C．在区间上单调递增 D．当时函数的最大值是 【答案】AD 【分析】由导函数的图象得到的大致图象，结合图象可得答案. 【详解】由导函数的图象画出的大致图象，如下图 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以函数在处取得极大值，故A正确；B错误； 在区间上单调递减，故C错误； 当时函数单调递减，函数的最大值是，故D正确. 故选：AD. 4．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知. (1)求的单调区间，并求其极值； (2)画出函数的大致图象； (3)讨论函数的零点的个数. 【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为，；极小值为，无极大值 (2)作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出，由的正负判断出的单调性可得极值； （2）根据的单调性极值可得答案； （3）转化为函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数，结合图象可得答案. 【详解】（1）定义域为，， 令得，， 列表如下； 0 ↘ ↘ ↗ 由上表知，单调递增区间为， 单调递减区间为，； 当时，取极小值为，无极大值； （2）令得，；令得，， 当时，，，故； 当时，，，故； 据此信息及（1）可得的图象，如图所示； （3）令得， 则函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数， 结合图象及（2）可知，当或，即或时， 函数有1个零点； 当，即时，函数有2个零点 当，即时，函数有0个零点. ( 题型 10 ) 双变量问题 1．（多选）（23-24高二下·广东广州·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正整数k，使得恒成立 D．对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BD 【分析】分析导函数可作判断A；考查函数的单调性可作判断B；分离参数，再分析函数最值情况而作出判断C；构造函数讨论其单调性，确定即可判断D. 【详解】对于A，定义域为，， 时,时，是的极小值点，A错误； 对于B，令， 在上递减，，有唯一零点，B正确； 对于C，令， 令，时,时,， 在上递减，在上递增，则， ，在上递减，图象恒在x轴上方， 与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误； 对于D，由A选项知，在上递减，在上递增， 由正实数，且，，得， 当时，令， ，即在上递减， 于是有，从而有， 又 ，所以，即成立，D正确. 故选：BD 2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由得，，令，利用导函数研究其单调性和最值即可得到结果. 【详解】因为，若，则， 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 4．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)上单调递增，上单调递减. (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性； （3）利用切割线放缩证明. 【详解】（1）,, ,, 上单调递增，上单调递减. （2）,, 在上单调递增，上单调递减. ， ， 因为，所以函数在区间上为上凸函数， 函数在区间的图象如图所示. 不妨设，则.      连接和点的直线l2的方程为：, 当时，, 由图可知,所以要证明，只需证明，即只需证明， 连接的直线的方程为,设函数的图象的与平行的切线是直线， ，， 直线的方程为,即， 令,得直线与直线的交点横坐标为, 由图可知，， 故要证不等式成立. ( 题型 11 ) 导数的实际应用 1．（23-24高二下·天津河东·期中）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积最大，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，可得，求导确定函数单调性即可求解. 【详解】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为，则， 由得，， 令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减，且在处取得最大值，B正确； 故选：B． 2．（23-24高三下·陕西西安·期中）一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗．铁匠老张准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形（圆心和半径与圆形铁片一致）作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）．若该漏斗的容积为，则圆形铁片的面积最小值为（    ） A．4π B．6π C．8π D．9π 【答案】D 【分析】设出圆锥的高h，将圆锥的底面圆半径用h表示，通过圆锥的高线，母线和母线在底面的射影组成直角三角形，建立圆形铁片半径的函数解析式，利用求导求其最小值即得. 【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为R． 当圆形铁片的面积最小时，即最小，因为该漏斗的容积， 解得，则，（）． 设，，则， 令，可得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增. 故当时，取得最小值9，此时圆形铁片的面积的最小值为． 故选：D. 3．（23-24高二下·内蒙古包头·期中）已知某工厂生产件产品的成本为（元）， 问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？ （2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 【答案】(1) 1000 ;(2) 6000. 【详解】主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值等方面的应用． 解：（1）设平均成本为元，则， ，令得． 当在附近左侧时； 在附近右侧时，故当时，取极小值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品． （2）利润函数为，， 令，得，当在附近左侧时；在附近右侧时，故当时，取极大值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品． 4．（23-24高三上·山东济宁·期中）某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）    (1)求函数的解析式； (2)在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，（百米）． 【分析】（1）根据函数图象即可得出解析式； （2）写出面积表达式，利用导数求函数单调性，即可得出点的位置. 【详解】（1）由题意，因为在曲线上，即，， 所以，． 又因为，，所以线段方程为， 所以，． 所以函数的解析式为：． （2）由题意及（1）得， 在中， 设点坐标为，则． 又，，点坐标为， 所以直角梯形的面积， 即， 所以． 令，解得． 当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以时，函数取得最大值． 故在线段上存在点，使体育馆平面图形面积最大，且到的距离（百米）． ( 题型 12 ) 导数的新概念 1．（23-24高二下·上海·期中）已知函数及其导数，若存在使得则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1） ；（2）  ；（3）  ；（4）； 其中没有“巧值点”的函数是（        ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】A 【分析】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可. 【详解】对于，，不存在“巧值点”； 对于，，令可得或，有“巧值点”； 对于，，令， 因为与的图象有一个公共点，所以有解，有“巧值点”； 对于，，令，可知是的一个解，有“巧值点”. 故选：A 2．（23-24高三上·福建南平·期中）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据“新驻点”的概念求得满足的关系式，从而解得，比较两者大小. 【详解】由题知，，， 由“新驻点”的概念知，，， 则， 故选：D 3．（23-24高二下·河南南阳·期中）设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数．则下列函数中，为区间上的凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据定义，分别对函数求二阶导数，并判断在区间的正负. 【详解】对于A选项，，，，显然在区间恒有，所以不为凸函数. 对于B选项， ，，，显然在区间恒有，所以为凸函数. 对于C选项，，，，显然在区间恒有，所以不为凸函数. 对于D选项， ，，，显然在区间恒有，所以为凸函数. 故选: BD.. 4．（23-24高二下·浙江·期中）曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为.已知函数，则曲线在点处的曲率 . 【答案】 【分析】 先求，进而可得，代入题中公式运算求解. 【详解】因为，则， 可得， 所以曲线在点处的曲率. 故答案为：. 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知得，则，，然后构造函数，利用导数可求出其最小值. 【详解】由，得，得，则. 设函数，则. 令，则， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 因为. 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以. 故当时，取得最小值，最小值为3. 故选：C 2．（2024·甘肃白银·一模）已知函数在上单调递增.则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导并根据函数的单调性与基本不等式求得最值，即可得出结果. 【详解】由题意得对恒成立. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即. 因此可得的最小值为. 故选：C 3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求导研究分段函数单调性，再作出分段函数图象，确定参数取值范围，再利用韦达定理分别得到根与系数的关系，再构造新的函数，即可求出值域. 【详解】∵时，，∴， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，在上单调递增，且，， 又时，，， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增，且， 根据分段函数定义域，画出函数图象， 现将有四个零点转化为的图象与有四个不同交点， 由图分析可知：， 由图可知：是方程的两根，而，可知：， 是方程的两根，而，可知：， 所以可得：， 设，，则，故在上单调递增， 当时，，即. 故选：D. 4．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对各选项求导，结合题意即可得出答案. 【详解】对于A，，，无法判断单调性，故A错误； 对于B，，，无法判断单调性，故B错误； 对于C，恒成立，则义在上是增函数，故C正确； 对于D，，，无法判断单调性，故D错误. 故选：C. 5．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）设函数的定义域为，若满足：在内是单调函数，且存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（，）是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，结合导函数特点得到恒大于零，此时，问题可化为在上至少有两个解，换元后得到在上有两个不同的解，利用二次函数的开口方向，对称轴，得到，求出答案. 【详解】∵， 当且仅当时有恒大于零，不会恒小于零， ∴，在上单调递增. 由题意得，要使为“成功函数”，则在上至少有两个解. ∵，故， ∴问题可化为在上至少有两个解. 设，得在上有两个不同的解， 令，其图象开口向上，对称轴为，过点，且， ∴即可，解得， ∴. 故选：B 6．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题意将点代入得，求导得，由题意将点代入得，联立即可得解. 【详解】∵函数的导数为， ∴曲线在点处的切线斜率为， 由两直线平行可得①. 又∵点在曲线上， ∴②，由①②解得，. 故选：C. 7．（23-24高二下·内蒙古包头·期中）若函数在R上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数、，利用导数判断单调性再比较大小可得答案. 【详解】令，则， 由于的正负不确定，所以的正负不确定，不能判断的单调性，故AC错误； 令，由，则，所以为R上的单调递减函数， 因为，所以，即，故B错误D正确； 故选：D. 8．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）将函数图象上的所有点向右平移个单位长度．得到的图象，将图象上的所有点的横坐标伸长至原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在上单调递增 D．在内有2个极值点 【答案】C 【分析】首先利用正弦型函数的平移和伸缩变换求出的解析式，再结合正弦型函数的性质逐项分析即可. 【详解】因为将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象，所以， 将图象上的所有点的横坐标伸长至原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则， 对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，，所以的图象关于对称，故B错误； 对于C，当时，，所以在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，结合的图象可知， 只有，即是的极值点，故D错误； 故选：C. 9．（多选）（23-24高二下·辽宁本溪·期中）已知，函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分别在、和的情况下，结合函数奇偶性和导数判断出函数的单调性，进而确定ABC正确；根据D中图象可确定，知D错误. 【详解】对于A，当时，， ，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称； 当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立， 又，A正确； 对于B，当时，， ，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 又，B正确； 对于C，当时，，， ，的定义域为， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，， 在上单调递减，且当时，恒成立； 由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确； 对于D，由图象可知：，即在处有意义，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 此时图象应为B中图象，D错误. 故选：ABC. 10．（多选）（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若的增区间为，则 B．若在上单调递减，则 C．若的极大值为0，则 D．若，则曲线的对称中心为 【答案】ACD 【分析】利用导数求解函数的单调区间列式求解可判断A，由题意在上恒成立，利用二次函数图象与性质列不等式求解判断B，分类讨论利用导数求出函数的极大值判断C，利用函数对称性的性质可判断D. 【详解】函数定义域为R，求导得：， 对于A，若的增区间为，则的解集为， 所以，解得，正确； 对于B，若在上单调递减，则在上恒成立， 所以或，解得或，错误； 对于C，当时，令得，令得或， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处有极大值，则，解得，与矛盾； 当时，令得，令得或， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极大值，则，解得，正确； 对于D，若，则， 因为， 所以曲线的对称中心为，正确. 故选：ACD 11．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知函数在上存在唯一零点x，则实数k的值为 ． 【答案】e 【分析】根据零点定义，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数在上存在唯一零点x， 所以方程有唯一正实数根， 当时，由， 所以当时，函数与函数的图象有唯一的公共点， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数有最小值，函数的图象如下图所示： 所以当时，两个函数的图象有唯一交点，符合题意， 故答案为：e 【点睛】方法点睛：函数的零点问题一般可以转化为方程实根问题或者转化为两个函数交点问题. 12．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线与曲线相切，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义找出所满足的关系式，然后利用导数研究函数的最值求的最小值即可. 【详解】设切点为 ， 则，解得：， 所以 . 令 , 所以 ， 令 ，解得 ，令 , 解得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 . 故答案为：. 13．（23-24高三上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知函数，有两个极值点，，设，，直线与轴的交点在曲线上，则的值是 . 【答案】或2或 【分析】求出导函数，确定存在两个极值点的条件，然后对极值点按处理， 计算，利用代入进行幂，得出 ，同理，从而得出直线的方程，由此求得直线与轴交点坐标，由交点在函数图象上求得的值． 【详解】（1）因为， 所以. ①当时， ，当且仅当，且时，. 所以的单调递增区间为，无单调递减区间，没有极值点． ②当时， 令，得，. ，的变化情况如下： ＋ 0 ― 0 ＋ ↗ 极大 ↘ 极小 所以的单调递增区间为，， 单调递减区间为. （2）因为有两个极值点，， 由（1）知，且，是方程的两个根. 所以，. 所以 同理. 因此直线的方程为. 设直线与轴的交点为，得. 由题设知，点在曲线上，故， 又因为 所以或2或. 14．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间和极值； (3)当时，若对于任意，都有，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可； （2）利用导函数判断单调区间及极值即可； （3）分离参数结合导数研究函数的最值计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 因为，. 故曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，，分三种情况讨论： 一、时，，无单调区间和极值. 二、时，令可得，即在上单调递增； 令可得，即在上单调递减， 令可得，函数在上取得极小值， 极小值为，无极大值； 三、时，令可得，，即在上单调递增； 令可得，即在上单调递减， 令可得，函数在上取得极大值， 极大值为，无极小值； （3）当时，原式对恒成立， 令， 当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以，，即， 故. 15．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性. 【答案】(1) (2)单调递增 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再由点斜式得切线方程； （2）研究函数在上的单调性，先求解，因不易判断符号，由构造局部函数，再继续求解，分析得出，由此逐步分析出符号，从而得出的单调性. 【详解】（1）， ，即切点坐标为， 又， 切线斜率， 则切线方程为，即：； （2）， ， 令， 则， 在上单调递增， ， 在上恒成立， 在上单调递增. 16．（23-24高二下·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)求证时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即得； （2）根据三角函数的性质可得时，构造函数，利用导数研究函数的性质可得时，进而可得函数的单调性，即得； 【详解】（1）因为函数， 所以， 而，， 由，得， 所以在处的切线方程为； （2）由（1）知， 当时，，， 令，则， 当时，，，单调递增， 所以， 综上，时，，即，且当时取等号， 所以在上单调递减， . 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$