2025年九年级中考数学三轮冲刺训练二次函数中等腰三角形存在性问题专题训练

2025年九年级中考数学三轮冲刺训练 二次函数中等腰三角形存在性问题专题训练 1．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 2．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①求面积S与的函数表达式，并求S的最大值； ②当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 5．综合与探究 如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点，点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方的抛物线上运动时，求出长度的最大值； (3)当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时的值． 6．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标． 7．如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，若，求的面积． (3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长． (4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)点D是直线上方抛物线上的点，连接、，求的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线的对称轴为，该抛物线与轴交于、两点，且点坐标为，交轴于，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线经过，两点，与轴交点为，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限抛物线上，连接，，求点的坐标； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，，同时出发，运动时间为秒，，连接，，当为等腰三角形时，直接写出的值． 11．如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求出抛物线的表达式； (2)若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； (3)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． (1)求此二次函数解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接．当线段最长时，判断四边形的形状并说明理由． (3)如图2，在（2）条件下，点是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，则在轴正半轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点(点B在y轴上)，与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)连接，求 (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为腰的等腰三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学三轮冲刺训练二次函数中等腰三角形存在性问题专题训练》参考答案 1．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． （3）解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 2．(1) (2) (3)点E的坐标为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3），由时，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ， ， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点A，B， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：轴， ， ， 点， 点，则点， 则， 当时，最大．， ； （3）解：根据题意得，， 由（2）得，， ， ， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 3．(1)； (2)①，S的最大值6；②满足条件的t的值为或或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，再由即可求解； ②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与x轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值6； ②过点C作交于M， 则，， ∴ 分三种情况讨论： 当时，， 解得或（舍）； 当时，则M为的中点，如图1， ∴， 解得或（舍）； 当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述：满足条件的t的值为或或． 4．(1) (2)点的坐标为或或 (3)点M的坐标为或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据，得出，根据，求出，得出，代入二次函数解析式，进而求出点的坐标即可； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为，得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把，代入中， 得， ， 二次函数解析式为； （2）解：∵， ， ， ， 即 ， ， 当时， 解得：， 即； 当时， 解得或， 即或； 综上所述，点的坐标为或或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 综上分析可知：点M的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义，三角形面积计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．(1) (2)的长度的最大值为； (3)的值为6或或或3 【分析】（1）令即可得出点A的坐标，再根据点B的坐标利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由点D的横坐标，可知点P和点D的坐标，再根据点在直线下方的抛物线上，即可表示解析式，并转化为顶点式就可得出答案； （3）根据题意分别表示出，，，分当时，当时，当时三种情况分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：对于，取，得， ∴． 将，代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点在直线下方的抛物线上， ∴ ． ∵， 当时，线段的长度有最大值，最大值为； （3）解：由，，， 得，，． 当为等腰三角形时，有三种情况： ①当时，，即， 解得（不合题意，舍去），； ②当时，，即， 解得，； ③当时，，即， 解得． 综上所述，的值为6或或或3． 【点睛】本题考查了待定系数求二次函数解析式、二次函数的最值、等腰三角形的性质，综合性比较强，需要注意的是求m的值时，等腰三角形要分情况讨论． 6．(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，待定系数法法等知识，解题的关键是： （1）把点、代入求解即可； （2）分；；三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴， 设， 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为或， 综上，P的坐标为或或或． 7．(1)； (2)2； (3)； (4)存在，． 【分析】（1）根据对称轴求出a，再将点B的坐标代入关系式求出c即可； （2）根据相似三角形的性质得出轴，再求出，即可得出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点P的坐标，即可表示点M的坐标，进而表示，然后作，则，并表示，再根据勾股定理求出m，可得答案； （4）先求出点P，M的坐标，进而求出直线的关系式，即可表示出点Q，K，再说明只能是四边形为矩形，然后根据平移的性质求出点的坐标，并根据勾股定理验证即可. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴轴． ∵， ∴． 将代入中， 得， 解得，， ∴，． ∴； （3）解：设直线的表达式为，将点B代入，得， ∴直线的表达式为． 设，则， ∴． 由题意知． 如图，过点C作，则， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去），， ∴； （4）解：存在，． 理由如下：由（3）可知，，． 设直线的解析式为，将代入得， ∴． 设，， 若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形为矩形， ∴，，． ∵点C先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点M， ∴将点K先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 则四边形为矩形，满足题意， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，坐标与图形等，会用坐标的差表示线段的长是解题的关键． 8．(1)，， (2)最大值为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）分别令、计算即可得解； （2）求出直线的解析式为：，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则，求出，再由并结合二次函数的性质即可得解； （3）设，则，，，再分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：令， 解得：，， 点在点左侧， ，， 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则， ， ， 当时，的面积最大，最大值为； （3）解：点在抛物线对称轴上，且对称轴为：， 设，则，，， 是等腰三角形，需分3种情况讨论： ①当时，，解得：， 此时点的坐标为或； ②当时，，解得：， 此时点的坐标为或； ③当时，，解得：， 此时点的坐标为． 综上所述，满足条件的点有5个，分别为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 9．(1)，顶点为； (2)存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据抛物线的对称性得到点的坐标为，故设抛物线为两点式方程，把点的坐标代入即可求得的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点的坐标； （2）可设出，则可分别表示出、、的长度，分、和三种情况分别可得到关于的方程，可求得点坐标． 【详解】（1）解：点关于的对称点，， 设过、的抛物线为， 该抛物线又过，则有：，解得， 即，顶点为 （2）解：设， ，， ，，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有，即，解得，此时 ②当时，则有，即，解得，此时或 ③当时，则有，即，解得或，此时或 设直线解析式为，代入、， ∴ ∴ ∴直线解析式为， 当时，则在直线上， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 10．(1) (2)点的坐标是 (3)秒或秒或秒或秒 【分析】（1）分别将点，的坐标代入抛物线得到关于，的二元一次方程，求解即可； （2）作的平分线交轴于，过作轴交于，求出，直线解析式为，设，由平分，可得，，故，即可求出，直线解析式为，根据，有，确定直线解析式为，最后联立，求解即可； （3）过作轴于，由，可得，，故，，，分三种情况：①当时，；②当时， ；③当时，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，作的平分线交轴于，过作轴交于， ∵抛物线与轴交点为， 当时，得， ∴， 设直线解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（此时在轴左侧，不符合题意，舍去）， ∴， 设直线解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为 ， ∵， ∴， 设直线解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴； （3）如图，过作轴于， ∵，， ∴，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：（舍去）或； ③当时，， 解得：或； 综上所述，的值为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法确定函数解析式，平行线的判定和性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，两点间的距离，相似三角形判定与性质等知识点，解题的关键是分类讨论思想的应用． 11．(1)抛物线的表达式为 (2)点的横坐标为 (3)点坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类讨论是解本题的关键． （1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点，得到，先求出点的坐标，推出，进而得到，设，则，由勾股定理可得，结合，可求出，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求解； （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，求解，可得，，，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）如图，作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点， ， 令，则， 解得：，， ， ， ， ， 又， ， 设，则， ， 又， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，将，代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立：， 解得：， 点在第一象限， ， 即点的横坐标为； （3）解：抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 设， ，，， 如图， 当时， ， 解得：， 或； 当时， 即， 解得：， 或， 综上：点坐标为或或或． 12．(1) (2) (3)或 【分析】（1）把、代入，求出a和b的值，即可得出函数解析式； （2）先求出点D和点B的坐标，根据两点之间的距离公式，求出，再根据勾股定理逆定理，得出为直角三角形，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得：， ∴此二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴，此二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴； （3）解：①当时， ∵，此二次函数对称轴为直线， ∴； ②当时，设， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵在抛物线上， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ③当时， ∵点P在对称轴右边， ∴此情况不存在， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，勾股定理逆定理，以及等腰三角形的性质． 13．(1) (2)四边形是平行四边形，见解析 (3)， 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）先求得，再用待定系数法求得，设，则点的坐标为，故，进而求解； （3）过点作轴于点，当，则，则直线和直线关于直线对称，，进而求出点的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）由题意知 ①， 抛物线过点， ．② 由①②解得， 抛物线的解析式为． （2）四边形是平行四边形，理由如下： 由题意知，点和点关于直线对称， ． 把代入抛物线，得， ∴， 设直线， 将点代入， 得，解得， ． 设， 则点的坐标为， 故 当，即点的坐标为时，最长，最大值是4． 此时 ∴， 四边形是平行四边形． （3）点是的中点， ． 设， 将代入，得，故， ． 如图，过点作轴于点，则， 故． 又， ， 直线和直线关于直线对称， 直线与轴的交点为． 设， 直线过点， 解得 ． 由，解得， ． 设（），则， 为等腰三角形，有以下三种情况： 当时，， 解得（负值舍去）； 当时，， 解得（负值舍去）； 当时，， 解得． 所以满足条件的点的坐标是，． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 14．(1)； (2)3 (3)存在，点的坐标为或或或． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出，然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴， ∴， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）由（1）知，直线的解析式为，，二次函数对称轴为， ∵直线与二次函数图象的对称轴交于点D， ∴设点， ∴， ∴， ∴的面积 （3）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形． ∵顶点坐标为， ∴对称轴为， 过点A作于点E， 在中，． （1）当时，设， 在中， ∴ 解之得 ∴； （2）当时，根据等腰三角形三线合一得：， ∴， ∴； （3）当时，， ∴，． 综上所述：点的坐标为或或或． 15．(1) (2)存在，的最大值为， (3)存在，的坐标为或或或． 【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可； （2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解； （3）设，可求，，分和，两种情况讨论，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，则有 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设（）， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ∴当时，的最大值为， ， ． 故的最大值为，． （3）解：存在， ∵抛物线的对称轴为直线， 设， ， ， ， 当，即时， ， 解得：， ∴点M的坐标为或； 当，即时， ， 解得：， ∴点M的坐标为或； 综上所述：存在，的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$