2025年九年级数学中考二轮复习一次函数与反比例函数的交点问题专题提升训练

2025年九年级数学中考二轮复习 一次函数与反比例函数的交点问题专题提升训练 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求的面积． 3．如图，点在双曲线上，且纵坐标为10，直线经过点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移个单位，与第一象限中双曲线交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，求的值． 4．在平面直角坐标系中，如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知点，点． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点作轴于点，连接，过点作交轴于点，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，点是直线上一点，若满足时，求点的坐标． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且点分别为一次函数与轴，轴的交点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点为该反比例函数图象上的一点，连接，，求点的坐标． 7．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第二，四象限分别交于，两点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时，的取值范围． 8．如图，直线与轴交于点，且与双曲线交于、两点，已知点，为等腰直角三角形，，． (1)①求双曲线解析式； ②求点的坐标． (2)观察图象，不等式的解集为_____． 9．如图，一次函数（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点B的坐标． (3)求的面积． 10．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 11．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，． (1)求，，的值； (2)当时，直接写出自变量的取值范围． 12．如图，反比例函数的图象与直线在第一象限交于点，是反比例函数上的点，且点的横坐标为3，过点作轴，与直线的交点为，连接． (1)直接写出的值． (2)求的面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 14．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点和点．    (1)求反比例函数表达式． (2)根据图象，直接写出时自变量的取值范围． 15．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，两点，交x轴于点E，若． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出的x的取值范围_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考二轮复习一次函数与反比例函数的交点问题专题提升训练》参考答案 1．(1)； (2) (3)是定值，2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立方程组求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得，， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将A、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令得，即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 2．(1)反比例函数关系式为，一次函数关系式为 (2)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理及三角形的面积，用待定系数法求函数关系式是解本题的关键． （1）过点A作轴，根据勾股定理求出，得，将点坐标代入得到反比例函数关系式，再由待定系数法求得一次函数关系式； （2）由题意得点A与 C关于原点对称，可得，再得，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴， ， ， 中，， ， 将代入反比例函数，得，解得：， 反比例函数关系式为， 将，代入一次函数，得 ，解得：， 一次函数关系式为； （2）解：由题意得点A与 C关于原点对称，， ， ． 3．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定与性质、反比例函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据反比例函数求得点P的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）由题意可得、，即；再证明，利用相似三角形的性质可得，进而得到，即，最后代入反比例函数解析式即可解答． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上，且纵坐标为10， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：如图：设平移直线向下平移个单位后的解析式为：， ∵平移后的直线第一象限中双曲线交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点， ∴，， ∴， 如图：过B作轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵该直线与第一象限中双曲线交于点， ∴，解得：． 4．(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出点，点，即可求出反比例函数的解析式； （2）求出点C的坐标为，得到直线的解析式为，直线的解析式为，求出，则，即可求出； （3）分三种情况：点在线段上时，点在线段的延长线上时，点在线段的延长线上时，分别进行讨论解答即可． 【详解】（1）解：把，点代入得到， ，， 解得，， ∴点，点， 把代入得到，，解得， ∴ （2）∵，过点作轴于点， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ∴， ∴ （3）如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点P作轴交y轴于点E，则， ∴， 即，解得 ∴此时 如图，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵点在直线上，直线的解析式为， ∴可设点的坐标为， ∵点，点， ∴， ∴ 整理得到 解得（不合题意，舍去）， ∴此时， 当点在线段的延长线上时，，不符合题意， 综上可知，点的坐标为或 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握待定系数法和相似三角形的判定是解题的关键． 5．(1)一次函数和反比例函数的解析式分别是， (2)的面积是 (3)当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【分析】（1）利用待定系数法计算解析式即可． （2）设直线与y轴的交点为C，利用直线解析式计算，结合计算即可． （3）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∵设一次函数与反比例函数的图像相交于 ，两点， ∴， 解得， 故；． （2）解：设直线与y轴的交点为C， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵，，且， 故或． 6．(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法求出点坐标，进而代入反比例函数解析式解答即可求解； （）设点的横坐标为（），由得，解方程求出进而即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析，反比例函数的几何应用，利用待定系数法求出反比例函数解析是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，设点的横坐标为（）， ∵， ∴ 解得， 把代入得，， ∴． 7．(1)一次函数，反比例函数； (2)； (3)当或时，． 【分析】本题是主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）把A代入反比例函数可求得m，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图象与y轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方的x取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∵一次函数的图象经过A和B， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵一次函数的解析式为， ∴令，解得：， 则直线交y轴于点， ∵，， ∴； （3）解：由图可知或时，． 8．(1)①；②点的坐标为 (2)或 【分析】本题考查求反比例函数的解析式、坐标与图形性质、反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象与性质，利用数形结合思想求解不等式的解集是解答的关键． （1）①利用待定系数法求函数解析式； ②根据全等三角形的判定和性质求得A点坐标，再根据函数图象求解即可； （2）利用图象，求得直线位于双曲线的下方部分的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：①把点代入中，可得， 解得， ∴双曲线的解析式为； ②过点C作轴，交x轴于点N，过点A作，垂足为G ∴ ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， 把，代入中，可得， 解得 ∴一次函数解析式为， 当时，，解得， ∴点的坐标为； （2）解：由图可得不等式的解集为或． 9．(1)， (2) (3)3 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个解析式，求出点的坐标即可； （3）分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：两函数图象相交于点， ， 解得， 反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）联立， 解得，（舍去），， ∴点B的坐标为． （3）当时，，， ； 10．(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 11．(1)，，， (2)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，在根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴； （2）解：把代入得，， ∴， ∴， 由函数图象可得，当时，自变量的取值范围为或． 12．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例数的性质是解题的关键． （1）将点分别代入反比例函数与直线中，即可求出的值； （2）先求出，根据题意点的纵坐标为1，则，根据图形，的高为，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：将点分别代入反比例函数与直线中， 则， ； （2）解：是反比例函数上的点，点的横坐标为3， ， ， 轴， 点的纵坐标为1， ， ， ， 的高为， 的面积为． 13．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 14．(1) (2)或 【分析】（）由正比例函数求出点坐标，再把点坐标代入反比例函数表达式解答即可求解； （）由对称性求出点坐标，再根据图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与正比例函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：∵点是正比例函数的图象与反比例函数图象的交点， ∴点关于原点对称， ∴， 由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴时自变量的取值范围为或． 15．(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； (2)四边形的面积为 (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质． （1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解； （3）根据图象，找到反比例函数的图处于一次函数图象上方的自变量的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：将代入中， ， 反比例函数的解析式为； 过点D作轴，过点C作轴， ∵， ， ， ， 将代入中， ， 解得：， C点坐标为， 将，代入中， 可得， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线OC的解析式为， 由，设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， E点坐标为， ， 在中，当时，， 解得：， A点坐标为， ， ， ； （3）解：∵，，∴当或时，反比例函数的图处于一次函数图象上方， ∴的x的取值范围是或． 故答案为：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$