2025年中考数学三轮冲刺练习：反比例函数中的菱形问题专题练

2025年中考数学三轮冲刺练习： 反比例函数中的菱形问题专题练 1．如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离． 2．如图，已知，，，，D为B点关于的对称点，反比例函数的图象经过D点． (1)证明四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在的图象（）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求M点的坐标． 3．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点B作y轴的垂线，与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标； (3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由 4．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于第二象限的点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的到轴的距离为． (1)试确定反比例函数的关系式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (3)点，，与（2）中的点，组成四边形．求证：四边形是菱形． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)如图，一次函数的图象交轴于点C，交x轴于点．若以为对角线的菱形的顶点是轴上一点，求点的坐标． 6．如图，直线经过点与y轴正半轴交于B，在x轴正半轴上有一点D，且．过D点作轴交直线于C点，反比例函数经过点C． (1)求b和反比例函数的解析式； (2)将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形为菱形时，求出m的值，并判断点P是否在反比例函数图象上； (3)点E是x轴上一点，且是等腰三角形，求所有点E的坐标． 7．如图，菱形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点． (1)求k的值和点B的坐标． (2)将菱形沿y轴翻折，点A的对应点为点，若点是反比例函数的图象与一次函数的图象的交点，请直接写出时x的取值范围． 8．如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求k的值． (2)点D在反比例函数的图象上，且于点E，，请说明四边形是菱形． (3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)设点在反比例函数的图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数图象相交于两点，与轴相交于点． (1)若点坐标为，第一象限内有一点在反比例函数图像上，它到轴的距离不大于3，则的取值范围为 ． (2)以为边作菱形，边所在直线轴于点．若点的坐标为，，求点坐标． 11．已知点、均在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，点P是反比例函数图象上一点，轴于点A，点B是y轴上一点，交射线于点D，点M为线段上一点，连接，点C为的中点，点N为射线上一点，当四边形为菱形且面积为时，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为反比例函数图象上一动点，过Q作轴于点E，连接并延长，交反比例函数图象于点H，过E作，交反比例函数图象于点F，连接，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 12．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点 (1)求和的值； (2)以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，线段交反比例函数第一象限的图象于点，连接、，求的面积； (3)在（2）的条件下，点是反比例函数图象上的点，若，求点的坐标 13．一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于，C两点． (1)求k的值及B点的坐标． (2)不等式的解集为______． (3)已知轴，以、为边作菱形，求菱形的面积． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数在第一象限交于点，点是反比例函数上一点，连接并延长交轴于点．    (1)求的值； (2)连接，若点是线段上一动点，连接．当时，求点的坐标； (3)若点是轴上一动点，点为平面内一点，在（2）的条件下，是否存在以、、、四点的菱形?请直接写出点N的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学三轮冲刺练习：反比例函数中的菱形问题专题练》参考答案 1．(1)，，， (2) 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，求出点D坐标，然后确定点C、E的坐标，最后根据点C的坐标确定反比例函数解析式即可； （2）求出平移后E，B，C的对应点的坐标，求出直线的解析式，再构建方程组求出点F的坐标即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点D作于点H． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：对于反比例函数， 当时，， ∴平移后点E恰好在反比例函数的图象上时，点E的对应点， ∴菱形向右平移了4个单位， ∴B，C的对应点， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， 由，解得：或， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴点F的坐标为， ∴点F到x轴的距离为． 2．(1)见解析 (2)反比例函数的解析式为 (3)M点的坐标为：（0，） 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由，，，利用勾股定理可求得，又由D为B点关于的对称点，可得，，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵为点关于的对称点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴D点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过D点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∵将B点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点， ∴将M先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点， ∵M点在y轴正半轴， ∴M点的横坐标为0， ∴即根据平移可知点的横坐标为3， 代入， 得，即N点坐标为， ∴根据平移的路径可知点的纵坐标为：， ∴点的坐标为． 3．(1) (2) (3)存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数解析式等知识点，掌握交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求得点A的坐标，然后运用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）如图：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，可得，则设点B，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标；然后分是平行四边形的对角线三种情况，并通过邻边验证即可解答． 【详解】（1）解：将代入得，解得：， ∴， 将代入 得：，解得， ∴反比例函数表达式为 ． （2）解：设点，那么点， 由可得：， ∴，解得 （舍去）， ∴． （3）解：如图2：过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，则， ∴， ∵点A绕点B顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点B，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ∴，解得 （舍去）． ∴，． 如图：当是平行四边形的对角线时， 设， ∵，，，四边形是平行四边形． ∴，解得：， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是菱形，符合题意； 当是平行四边形的对角线时，同理可得：， ∵， ∴， ∴四边形不是菱形，不符合题意； 当是平行四边形的对角线时，． ∵， ∴， ∴四边形不是菱形，不符合题意． 综上，存在一点P使得A、B、E、P为顶点的四边形是菱形，且点 4．(1) (2)图见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可以推得直线是线段的垂直平分线，故作图满足，的点即为所求； （3）连接，，根据点到原点的距离公式可求得，结合题意求得点的坐标为，根据点到原点的距离公式可求得，推得，结合（2）中结论，根据菱形的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点， 故将点的坐标代入反比例函数得：， 解得：， ∴反比例函数的关系式为． （2）解：点关于直线的对称点，如图： 作法：以点为圆心，的长为半径，画弧；点为圆心，的长为半径，画弧；两弧交于点，即为所求． 理由：连接，，，如图： ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理点也在线段的垂直平分线上， ∴点与点所在的直线垂直平分线段， 即垂直平分， 故点与点关于直线对称， 即点与点关于直线对称． （3）解：连接，，如图： ∵点的坐标为， ∴， ∵点在第二象限且到轴的距离为， ∴， 将代入反比例函数得， 解得：， ∴； ∴， ∴， 由（2）可得，， 即， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，坐标中的点到原点的距离公式，菱形的判定等，解题的关键是根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理证得直线是线段的垂直平分线． 5．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法，用图象解不等式等； （1）将代入反比例函数解析式求出解析式，再求出点的坐标，将、代入一次函数解析式，即可求解； （2）结合图象由上方的图象对应的函数值较大，即可求解； （3）①当在轴的负半轴上，设，由菱形的性质得，有勾股定理得 ，即可求解；②当在轴的正半轴上，同理可求； 掌握待定系数法，会利用图象解不等式，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ； 故一次函数的表达式为； 反比例函数的表达式； （2）解：由图象得 解集为：或； （3）解：①如图，当在轴的负半轴上， ， 设， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②如图，当在轴的正半轴上， 同理可求：； 故点的坐标为或． 6．(1)， (2)反比例函数图象上存在点P，使四边形为菱形，此时点 (3)符合条件的点E坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出，进而求出点D的坐标，即可求出点C坐标，最后用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）利用菱形的性质判断出点P的坐标，即可得出结论； （3）设，结合，，得到三条边的长度，利用等腰三角形的性质列出方程并解答．由于没有指出等腰三角形的底边或腰长，所以需要进行分类讨论． 【详解】（1）解：（1）∵直线经过， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， 把代入， ∴， ∵反比例函数经过点C， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）如图， ∵将点B向右平移m个单位长度得到点P， ∴． ∵当四边形是菱形时，，，轴， ∴点P和点B关于对称，即点P和点B关于直线对称 ∴点P的坐标为， ∵当时，， ∴点P在反比例函数图象上， ∴反比例函数图象上存在点P，使四边形为菱形，此时点． （3）设． ∵，， ∴，，， 是等腰三角形，分三种情况： ①，则， ∴或， ∴符合条件的点E坐标为或； ②，则． 此时或（舍去）． ∴符合条件的点E坐标为； ③，则． 此时 符合条件的点E坐标是． 综上所述，符合条件的点E坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查考查了待定系数法求一次函数求反比例函数解析式，菱形的性质，对称的性质，两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，求出点P的坐标是解本题的关键． 7．(1)， (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质、反比例函数性质以及反比例函数和一次函数的交点问题， 过点作轴的垂线，垂足为点，则，结合菱形的性质即可得点的坐标为，点的坐标为，代入解析式求解即可； 由点的坐标为，结合沿y轴翻折得点的坐标为，由一次函数的性质即可判断出满足题意得范围． 【详解】（1）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为点， 点， 则由勾股定理，得． ∵四边形是菱形， ∴点的坐标为，点的坐标为． 顶点在反比例函数的图象上， ； （2）解：根据题意得点的坐标为， ∵，且点是交点， ∴． 8．(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查反比例函数的性质和菱形的判定和性质， 将点代入即可； 根据题意得轴，且轴，则有四边形是平行四边形，结合，那么四边形是矩形，由于，和即可判定； 根据点的坐标可求得，且点A和点C纵坐标相等，可设点，分以为对角线和以为对角线，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴． （2）∵点A和点C的纵坐标都是， ∴轴． ∵， ∴轴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． （3）存在，点P的坐标为或． ∵，，， ∴，，， ∵点P与A，B，C三点共同组成菱形，点A和点C纵坐标相等， ∴可设点， 当菱形以为对角线，则，解得， 当菱形以为对角线，则，解得， 则，． 9．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再利用菱形的性质可得到的长，进而得出点的坐标，最后利用反比例函数的坐标特征求出的值； （2）根据的面积是菱形面积的列方程即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：延长交轴于，则垂直于轴，如图1所示． ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； ∴反比例的函数关系式为：； （2）解：由（1）知：反比例函数的关系式为， 设点的坐标为， ∵的面积是菱形面积的， ∴， ， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，菱形与三角形的面积等知识，掌握菱形的性质以及勾股定理是解题的关键． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握反比例函数性质和菱形性质是解答本题的关键．（1）先求出反比例函数解析式，再把问题转化为不等式，解不等式即可； （2）先求出反比例函数解析式，再求出点A坐标，根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长即可得到点E坐标． 【详解】（1）∵点坐标为，A在反比例函数图象上 ∴ ∴反比例函数解析式为： ∵第一象限内有一点在反比例函数图像上，它到轴的距离不大于3， ∴ ∴ ∴ ； （2）连接，作 ∵点的坐标为，， ∴ ∴反比例函数解析式为： ∵点A在反比例函数图象上 ∴，解得： ∴ ∴ 根据勾股定理得： ∵为菱形 ∴ ∴ 11．(1) (2) (3)是定值， 【分析】（1）把、代入解析式解题即可； （2）连接，则有，根据，令，则解题即可； （3）过点F作轴于点G，与x轴交于点T，设点，点F坐标为，则，根据可以得到，根据解题即可． 【详解】（1）解：∵、均在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴反比例函数表达式为； （2）如图，连接， ∵为菱形， ∴， ∵，点C为的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∵， ∴， 又∵， ∴(舍)， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵点P是反比例函数图象上一点， ∴点P的坐标为． （3）过点F作轴于点G，与x轴交于点T， 设点，点F坐标为， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵, ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵a，b异号，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，为定值． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的图像上点的特点，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12．(1)， (2)10 (3)或 【分析】本题考查正比例函数，反比例函数与几何综合，涉及菱形的性质，勾股定理，三角形面积等知识点，掌握平面直线坐标系中三角形面积的求法是解题的关键． （1）将点代入求出n的值，再将代入求出的值； （2）先根据求出，根据菱形的性质求出，再根据，即可求解； （3）设点的坐标为，根据即可求解． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数， 得：，即， 将代入反比例函数， 得：， 解得； （2）解：， ， 四边形是菱形， ， ， 点在线段上， ； （3）解：点是反比例函数图象上的点， 设点的坐标为， 由（2）知， ， ， 解得， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 13．(1)3；6 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何图形的综合应用，菱形的判定和性质： （1）把点代入一次函数解析式，求出的值，再把点代入反比例函数解析式求出的值即可； （2）求出点的坐标为，点的坐标为，而为线段上的点，设，得到，代入反比例函数解析式即可求解； （3）设点，，根据菱形的性质，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）把点坐标代入一次函数解析式可得：， ， 点在反比例函数图象上， ； （2）当时，，解得， 当时，， 一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 为线段上的点， ∴设，则， 则有， 解得，或舍去 ； ∴； （3）设点，， 由（2）可知：点，点， ∴， 由题意知，为菱形的边， 则点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 由平移规则和得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：或或或． 14．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）把代入解析式，确定a值，再代入反比例函数的解析式求解即可． （2）联立方程组，确定的坐标，结合图像写出不等式的解集即可． （3）过点B作于点E，根据勾股定理求得菱形的边长和边上的高计算即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴． 将代入， 得． （2）根据题意，得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴或． （3）如图，过点B作于点E． ∵点B与C关于原点对称， ∴， ∴，， 由勾股定理，得． ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，确定函数解析式构成的不等式的解集，利用对称性和菱形的性质计算面积，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键． 15．(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）根据题意，将代入直线求得，将代入反比例函数求得，将代入反比例函数即可求解； （2）过点作轴交于点，根据题意求得，，待定系数法求得直线的解析式为：，求得，待定系数法求得直线的解析式为：，设，，推得，根据割补法求得，求得，即可求得点的坐标； （3）解：根据两点间距离公式可得，分类讨论： ①当四边形为菱形，点在点右侧，点与点关于对称，根据菱形的性质即可求得； ②当四边形为菱形，点在点右侧，根据菱形的性质即可求得； ③当四边形为菱形，点在点左侧，根据菱形的性质即可求得； ④当四边形为菱形，点在的垂直平分线上，待定系数法求得直线的解析式为：，根据中点坐标求得的中点坐标，即可求得直线的解析式为：，根据菱形的性质可得点的纵坐标为3，即可求得． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数在第一象限交于点， 将代入直线得：，解得：， ∴， 将代入反比例函数得：，解得， ∴反比例函数的解析式为：， ∵点在反比例函数上， 将代入反比例函数得：， 故． （2）解：过点作轴交于点，如图：    ∵直线与坐标轴分别交于A、B两点， 将代入直线，解得， 将代入直线，解得， 故，， 由（1）可得点，点， 设直线的解析式为：， 将，代入得 ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点是直线与轴的交点， 将代入得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式：， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 如图：      ①当四边形为菱形，点在点右侧，点与点关于对称， ∵，点和点是轴上， ∴， ②当四边形为菱形，点在点右侧， 且，， ∵，， ∴， ③当四边形为菱形，点在点左侧， 且，， ∵，， ∴， ④当四边形为菱形，点在的垂直平分线上， 设直线的解析式为：， 将，代入得 ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 的中点坐标为，即 设直线的解析式为：， ∵直线与直线垂直， 即， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴点的纵坐标为3， 将代入， 解得， ∴， 综上，点坐标为，，，． 【点睛】本题考查了求一次函数的因变量，求反比例函数解析式，求反比例函数的因变量，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，两点间距离公式，菱形的性质，中点坐标公式等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$