精品解析：2025年辽宁省沈阳市第七中学协作体九年级中考零模数学试卷

2025年九年级模拟检测 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长：120分钟） 注意事项：所有试题必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在0，1，，中最小的实数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. 是等腰三角形 D. 4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为 D. 直角三角形是轴对称图形 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　) A. B. C. D. 7. 如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 9. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 n m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 为积极响应国家“双减政策”，某学校年第三季度平均每周作业时长为分钟，经过年第四季度和年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为_______． 13. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 14. 如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为____________． 15. 如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元． （1）求排球、足球的单价各为多少？ （2）若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 18. 据了解，“i大连”体育场地一键预约平台是市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i大连”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数： 学校A： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 48 59 45 27 45 51 45 58 50 55 学校B： （1）补充表格 学校 平均数 众数 中位数 小于30人的频率 方差 A ①____ 49 75.01 B 25 ②____ ③____ （2）若小明爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？请说明你的理由． 19. 根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 20. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 21. 如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）求的长和的半径． 22. 如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：； （2）如图②，连接交于点G． ①若，求证：平分； ②若，求的值． 23. 在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“”形尺按图1摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： … … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点．猜想：与的关系式是_______________； 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数（）的情况进行了推理验证．请你补全下表中两种方法的推理过程； 方法1 方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点移到原点的位置，则：，，，所以点的坐标为________；将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 如图4，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为________； 将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 【应用】 （3）已知轴且，两个二次函数和（）的图象都经过，两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级模拟检测 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长：120分钟） 注意事项：所有试题必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在0，1，，中最小的实数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小的实数是， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. 是等腰三角形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形形的性质可得，，通过证明四边形是平线四边形，可得，得出，是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为 D. 直角三角形是轴对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意； C、正五边形的外角和为，选项错误，是假命题，不符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：由原方程移项，得， 等式的两边同时加上，得， 配方，得． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 6. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：画树状图得： 所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=． 故选：C． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 8. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 9. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得， 则， 因为F是线段AD的中点，求出长，然后根据求出长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴， ∴， ∵是线段的中点，， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， 故选： D． 10. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 n m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线，判断②；根据与对称，判断③；利用待定系数法求得抛物线的解析式，得到图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线右侧的部分是上升的，判断⑤． 【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是，有最小值， ∴抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 当或时，的值相等， 故，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴图象过原点， ∵对称轴为直线， ∴图象不过第三象限，故④正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分是上升的．故⑤不正确． ∴正确的有②③④． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式及公式法分解因式．先提取公因式再运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 为积极响应国家“双减政策”，某学校年第三季度平均每周作业时长为分钟，经过年第四季度和年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，设每季度平均每周作业时长的下降率为m，分别表示出年第四季度和年第一季度平均每周作业时长，由此列得方程． 【详解】解：设每季度平均每周作业时长的下降率为，根据题意得， ， 故答案为：． 13. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 14. 如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，坐标与几何长度之间的转化是解题的关键． 设，则．设，则，求出，根据，求出，再根据直线 的斜率即可求得结果． 【详解】解：设，则． 设，则， ， ∴， ∵， ∴， 那么直线 的比例系数可表示为 或， ∴ 变形得． 又， ∴． 15. 如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解，，如图，过作于，过作于，过作于，求解，，，证明，求解，，进一步求解，证明，再利用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 如图，过作于，过作于，过作于， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，零次幂，乘方、化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算零次幂、乘方、化简绝对值，再运算乘法以及去括号，最后运算加减，即可作答． （2）先整理原式，再运算除法，然后运算加减，得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2） ， ∵， ∴． 17. 深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元． （1）求排球、足球的单价各为多少？ （2）若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 【答案】（1）排球的单价为元，足球的单价为元； （2）张老师带的钱不够，最少还差元． 【解析】 【分析】（）设排球的单价为元，则足球的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设学校购买个足球，则购买个排球，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，设费用为元，再求出与的一次函数关系，最后根据一次函数的性质即可解答； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设排球的单价为元，则足球的单价为元， 依题意得，， 解得（不符合题意，舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为元，足球的单价为元； 【小问2详解】 解：设学校购买个足球，则购买个排球， 依题意得，， 解得， 设费用为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，， ∵，， ∴张老师带的钱不够，最少还差元， 答：张老师带的钱不够，最少还差元． 18. 据了解，“i大连”体育场地一键预约平台是市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i大连”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数： 学校A： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 48 59 45 27 45 51 45 58 50 55 学校B： （1）补充表格 学校 平均数 众数 中位数 小于30人的频率 方差 A ①____ 49 75.01 B 25 ②____ ③____ （2）若小明爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？请说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）小明爸爸应该预约学校A，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数和频率，利用方差判断稳定性，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）根据中位数，众数和频率的确定方法，进行求解即可； （2）根据方差判断稳定性，进行判断即可． 【小问1详解】 解：①A学校中出现次数最多的是45，故众数为45； ②B学校中的10个数据从小到大进行排序，排在中间两位的数据为，故中位数为：； ③B学校 小于30人的频率是， 填表如下： 学校 平均数 众数 中位数 小于30人的频率 方差 A 45 49 75.01 B 25 48 【小问2详解】 解：小明爸爸应该预约学校A，理由如下： 学校A的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的场地进行锻炼． 19. 根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示． （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 【答案】（1），；（2）①，当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元；②乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内 【解析】 【分析】（1）分别设一次函数解析式与二次函数解析式的一般式，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据，利用配方法求得二次函数的最值即可解题； ②令①中千元，解析式化为一般式，求得与轴的两个交点，结合二次函数图象与性质解题，从中选择符合题意的范围即可． 【详解】（1）由题意得，设 ， 根据题意得，设，由图知，抛物线经过点，代入得， ； （2）①设乙种蔬菜的进货量为吨， 当，利润之和最大 （元） 答：当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元． ② 当时，即， 令 解得，， 因为抛物线开口向下，所以， 答：乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、二次函数与一元二次方程综合，涉及一次函数解析式、二次函数解析式、配方法求最值、二次函数与轴的交点，一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 20. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为． 21. 如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）求的长和的半径． 【答案】（1）见解析 （2），的半径为 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，证明，即可得证； （2）易证，得到，求出的长；过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接，在中，通过解直角三角形得到，，由得到．设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，，由得到，根据正弦的定义即可求解． 【小问1详解】 证明：连接并延长交于点，连接， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：，， ． ，即； ，D为中点， ， ∴， ． 过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接， 在中，． 又， ． ∴在中，． ， ． 设，则，． ∵在中，， ，即， 解得，（舍去）． ，． ∵， ． ∵为的直径， ． ． ，即的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理．构造适当的辅助线是解题的关键． 22. 如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：； （2）如图②，连接交于点G． ①若，求证：平分； ②若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）先证，再证四边形是平行四边形，则，然后证，则，由即可得出结论； （2）①连接，先证四边形是平行四边形，得，再证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论； ②先证，得，进而证，得，则，然后求出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：①证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， ∴平分； ②解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 即， 两边除以得：， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 23. 在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“”形尺按图1摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： … … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点．猜想：与的关系式是_______________； 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数（）的情况进行了推理验证．请你补全下表中两种方法的推理过程； 方法1 方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点移到原点的位置，则：，，，所以点的坐标为________；将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 如图4，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为________； 将点的坐标代入，得到与的关系式是_______________． 【应用】 （3）已知轴且，两个二次函数和（）的图象都经过，两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求的值． 【答案】（1）图见解析，；（2）方法1：，；方法2：，；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握描点法画二次函数图象，二次函数图象和性质，二次函数的平移，是解本题的关键． （1）用描点连线法画函数图象，代入即得； （2）方法一，点，代入即得；：方法二，点代入即得； （3）第一个二次函数：，可得，顶点距为8．根据两个二次函数图象的顶点的距离为10，第二个二次函数的图象，顶点在之上2，得，不合；故顶点在之下，到线段的距离18，得． 【详解】解：（1）以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，连线：用光滑的曲线顺次连接各点．绘制函数图象如下： 由题意得，点， 将点的坐标代入函数表达式得：； 故答案为：； （2）方案1：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 故答案为：，； 方案2：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 故答案为：，； （3）对于第一个二次函数：， 由， 得， 即该二次函数图象的顶点距的距离为8． 由题，两个二次函数图象的顶点的距离为10， 则对于第二个二次函数的图象， 其顶点在之上到的距离为2， 此时， 不符合题意； 故其顶点在之下，距线段的距离为， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $