精品解析：广东省佛山市南海区罗村高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

罗村高中2024-2025学年下学期段考一高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，结合等差数列的通项公式，可求得公差，再代入通项公式，即可求得. 【详解】由，得，故， 所以. 故选：D. 2. 在等比数列中，已知，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质得到，即可求出公比. 【详解】因为，， 所以， 所以，从而. 故选：D. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】. 故选：B. 4. 曲线在处的切线倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可. 【详解】设曲线在处的切线倾斜角为， 因为，则. 所以曲线在处的切线倾斜角是， 故选：D. 5. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 6. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为，，， 由成等比数列，得，解得， 所以， 则， 则. 故选：D. 7. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可. 【详解】 ，若函数在区间上单调递减， 即在上恒成立， 即在[1,2]上恒成立. 令，则在上单调递减，, 所以,, 即 故选：C. 8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义和常用函数的导数对选项一一分析即可. 【详解】对于A，由，可得，无解，所以A不符合题意； 对于B，由，可得，有解，所以B符合题意； 对于C，由，可得，有解，所以C符合题意； 对于D，由，可得，有解，所以D符合题意. 故选：BCD. 10. 已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. S16为Sn的最小值 C. D. 使得成立的n的最大值为33 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件求得，结合等差数列前项和公式确定正确选项. 【详解】， 当时，， 当时，，也符合上式，所以，A正确. 由于开口向下，对称轴为，所以是的最大值，B错误. 由解得， 所以，C正确. ，所以使成立的的最大值为，D错误. 故选：AC 11. 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当与和共有3个交点时， 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据定义计算得到；B选项，利用求导法则计算出答案；C选项，根据函数的奇偶性进行判断；D选项，先根据导函数得到和的单调性和极值最值情况，从而数形结合得到答案. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，的定义域为R，且， 是奇函数，C正确； D选项，的导数为，令，则， 又为增函数，故当时，，当时，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于在上单调递增，且当时，， 当时，， 当与和共有3个交点时，，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，若，则的值为__________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得，故， 则， 故答案为：40 13. 已知函数，则的极小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】对求导，得到，再利用极值的定义及求极值的步骤，即可求解. 【详解】易知函数的定义域为，由题知， 令，得到，当时，，当时，， 所以在处取得极小值，极小值为， 故答案为：. 14. 等差数列，的前项和分别为，，且，则_________；若的值为正整数，则_________． 【答案】 ①. ②. 或. 【解析】 【分析】由等差数列的性质结合前项和公式可得，代入化简即可得出答案；又，要使的值为正整数，则或或，求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得：，， ，因为， 所以； 因为， 所以, 要使的值为正整数，所以为的约数， 所以或或，因为，所以或. 故答案为：；或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 已知公差的等差数列满足，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式表达和成等比数列，解出，即可求解； （2）求出，再并项求和即可. 【小问1详解】 解：由题设， 因为成等比数列，即， 所以， 由，可解得 所以 【小问2详解】 解：因为， 所以 . 16. 已知函数． （1）若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增 当时，在，上单调递增，上单调递减 当时，在，（上单调递增，上单调递减 【解析】 【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解. 【小问1详解】 ，则 即解得，经验证满足题意， 【小问2详解】 令解得或 1°当时，在上单调递增 2°当时，在，上单调递增，上单调递减 3°当时，在，（上单调递增，上单调递减 17. 已知函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）设函数，求的单调区间； （3）指出极值点的个数，并说明理由. 【答案】（1） （2）在，单调递增，在单调递减 （3）函数有2个极值点，理由如下： 由（2）知，①当时，函数在区间上单调递增， 且，， 所以存在唯一，使； ②当时，函数在区间上单调递减， 且，， 所以存在唯一，使； ③当时，在区间上单调递增， 且，恒有，故该区间内无零点， 综上可得：当，；当，；当，， 所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有2个极值点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1），求得，结合和，即可求解； （3）由（2）中函数得到单调性，分，和，三种情况讨论，结合零点的存在性定理，即可求解. 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为，且， 可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，可得， 令，即，解得或， 当，；当，；当，， 所以函数在，单调递增，在单调递减. 【小问3详解】 略 18. 已知数列的前项和满足：,． （1）求； （2）若，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，求出的值，当时，由可得，作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）对任意的，计算出，问题转化为求数列的前项和，利用错位相减法结合分组求和可求得. 【小问1详解】 因为数列的前项和满足：， 则，则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 令，可得，则，解得， 所以，，且， 所以，数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，，故. 【小问2详解】 因为， 对任意的，， 问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为， ， 则， 上式下式得 ， 化简得， 因此，. 19. 已知数列满足，，设. （1）写出，，并证明是一个等比数列： （2）求数列的通项公式； （3）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由题. 因为， 所以， 因为，所以， 则为以为首项，公比为2的等比数列； （2），； （3） 由（2），，，. 若，，成等比数列，则， 等式左边为奇数，右边为偶数，故该等式不成立， 则不存在正整数使，，成等比数列. 【解析】 【分析】（1）由题可得，，然后由与关系可完成证明； （2）由（1）可得为奇数时，，后由为偶数时，可得数列的通项公式； （3）由（2），若，，成等比数列，可得关于的等式，即可完成判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 当为奇数时，，故 当为偶数时，， 综上，，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗村高中2024-2025学年下学期段考一高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 2. 在等比数列中，已知，，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 曲线在处的切线倾斜角是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. S16为Sn的最小值 C. D. 使得成立的n的最大值为33 11. 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当与和共有3个交点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，若，则的值为__________． 13. 已知函数，则的极小值为______ 14. 等差数列，的前项和分别为，，且，则_________；若的值为正整数，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 已知公差的等差数列满足，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求 16. 已知函数． （1）若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值； （2）讨论的单调性． 17. 已知函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）设函数，求的单调区间； （3）指出极值点的个数，并说明理由. 18. 已知数列的前项和满足：,． （1）求； （2）若，求的前项和． 19. 已知数列满足，，设. （1）写出，，并证明是一个等比数列： （2）求数列的通项公式； （3）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $