精品解析：海南省琼海市嘉积中学2024-2025学年高二下学期第二次月考（3月）数学试题

嘉积中学2024-2025学年度第二学期高二年级第二次月考 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数满足，则（    ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：A 2. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为点，为点，比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直线AB的斜率即可判断． 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 3. 已知等差数列的前项和为，且，则公差为（   ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的公式及性质即可求得公差. 【详解】由等差数列公式得：， 可得，即公差为， 故选：D． 4. 已知函数在处有极大值，则的值为（    ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列出方程求得的值，然后检验即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 因为函数在处有极大值， 所以，即，解得或， 当时，， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，， 当时，，函数单调递减；当时，函数单调递增， 所以是函数的极大值点，符合题意. 故选：B. 5. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可. 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 6. 在等比数列中，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】在等比数列中，， 则， 设等比数列的公比为，则， 所以同号，又， 所以. 故选：A. 7. 设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算推得，再利用正切函数的诱导公式，结合双曲线的渐近线方程得到的比值，从而利用双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】依题意，不妨设点在第二象限，如图， 因为，所以， 则，故， 所以， 又，双曲线的渐近线方程为， 所以在中，， 即，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 8. 已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，求得函数的单调性得到，转化为函数和的图象有2个公共点，结合图象，即可求解. 【详解】由题意， ，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 当时，可得， 当 所以函数的图象如图所示，函数和的图象有2个公共点， 结合图象可得实数的取值范围. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的有（  ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据常见函数的导数公式及运算法则判断各选项即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 10. 记为正项数列的前项和，已知，则（ ） A. B. 数列单调递增 C. 数列的单调递增 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：将代入即可；对于B：利用即可求出通项公式即可求得结果；对于C：由选项B的结论得到的通项公式即可判断；对于D：利用等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】对于A:当时，由，得，解得或， 又，所以，故A正确； 对于B：所以，当时，，两式作差得， 即当时，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，当时，也符合上式，故易知单调递增，故B正确； 对于C：因为，所以，因为， 所以不是单调递增数列，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：AB 11. 抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 三角形ABC面积的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出两点坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D. 【详解】由可得，抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A，当时，可得，，故A正确； 对于B，当时，直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去y，化简整理得，解得或， 所以，，所以，故B错误； 对于C，设直线l方程为，与抛物线方程联立 消去x，化简整理得，设， 则，， 所以 又点C到直线l的距离， 所以 当且仅当时，等号成立，三角形ABC面积的最小值为4，故C正确； 对于D，由抛物线的定义得 ，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点差法，结合斜率公式即可求解. 【详解】设, 则，相减可得， 故答案为： 13. 已知函数，若对，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数再根据导函数正负得出函数单调性即可得出函数的最小值，再把恒成立问题转化为最值计算求解. 【详解】由题可得， 当时，，在上递减；当时，，所以在上递增； 则， 所以，又，即，则． 故答案为：. 14. 令对抛物线y=f（x）持续实施下面“牛顿切线法”的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； …… 得到一个数列，则的值为______；数列的前n项和______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据定义，求出在处的切线即可得到答案； （2）根据牛顿切线法定义，，再化简得出，最后应用错位相减法求和计算即可； 【详解】由于，所以，切线方程为， 令，得，所以， 在点处的切线方程为， 因为该切线交x轴于点， 则，， 所以是以为首项以为公比的等比数列，所以 所以 所以， 又， 作差得出， 所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. （1）求； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据求得在点处的切线方程，在根据切线与坐标轴所围成的三角形的面积为即可求解； （2）由（1）得，利用导数即可求最值. 【小问1详解】 由得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 当时，；当时，. 因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）得，. 由得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因为，， ，，且， 所以在上的最大值为，最小值为. 16. 如图，将等腰直角三角形沿斜边上的中线翻折，得到四面体． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由即可求证； （2）建系求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 由为等腰直角三角形斜边上的中线， 可得：，也即，又为平面内两条相交直线， 所以平面； 【小问2详解】 由，可得， 所以，所以， 因为平面，以为坐标原点，以为轴和轴，过在平面作的垂线为轴建系， 易知， 则 设平面的法向量为， 则 ，即，令，可得：， 所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 17. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用化简可知，即可得证. （2）由（1）可知，所以，利用分组求和法计算即可求得. 【小问1详解】 由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列. 所以，即:. 所以数列的前n项和为： . 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 【答案】（1） （2）①证明见解析;② 【解析】 【分析】（1）先根据椭圆的离心率得到之间的关系；再根据椭圆过点，代入椭圆方程即可求出，进而得出椭圆的标准方程. （2）①先根据椭圆的方程得出右顶点的坐标，根据已知条件分析设出及直线的方程；再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得出的关系；最后根据平面向量的数量积公式得出，即证得OA⊥OB. ②法一：先设出及直线为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出之间的关系；再根据得出；最后根据点到直线距离公式即可求解.法二：先设直线，直线；再联立方程组得出，，根据两点间距离公式得出、、；最后根据三角形等面积可即可求解. 【小问1详解】 由椭圆离心率为，可得：，整理得：， 则椭圆的方程可化为. 代入点得， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆方程为可得：该椭圆的右顶点为. ①设， 当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不满足题意. 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则为方程的两不等根，有． 因为, 所以， 故． ②法一：设，直线为. 由联立方程组，整理得：（*）， 由为方程*的两不等实数根，得. 由①知， 则，有. 因为， 所以， 整理得：， 则有 则根据点到直线距离公式可得：点到直线的距离为. 法二：不妨设位于轴的上方，则点在第一象限，点在第四象限 设直线，则直线 联立直线和椭圆得方程，解得. 同理可得 则 ， ， ， 则根据三角形等面积可得： 点到直线的距离为：. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. （1）若在区间上不是单调函数，求的取值范围； （2）若方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，令，求得，对实数的取值进行分类讨论，由题意可知，函数在内存在极值点，可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）分析可知，不满足，由可得，由题意可知，直线与图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）由已知不等式结合参变量分离法得出恒成立，令，利用导数分析函数的单调性与极值，求出函数的最小值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由，得， 记，所以， 当时，恒成立，为增函数，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上不是单调函数，所以，解得， 即的取值范围为. 【小问2详解】 方程， 当时，显然方程不成立，所以，则. 方程有两个不等实根，即与的图象有个交点， 且，其中， 当或时，，在区间和上单调递减， 当时，，在区间上单调递增. 当时，，当时， 则当时，且当时，取得极小值， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有个交点时，，即，故的取值范围为. 【小问3详解】 由题得在上恒成立，即恒成立， 即， 令， 则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增， 当时，令， 则，所以函数在上单调递增， 又，，则， 所以在区间上存在唯一零点， 且当时，，则， 当时，，则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉积中学2024-2025学年度第二学期高二年级第二次月考 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数满足，则（    ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，且，则公差为（   ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 2 4. 已知函数在处有极大值，则值为（    ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 或3 5. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，，，则（    ） A. B. C. D. 7. 设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数有2个实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的有（  ） A. B. C. D. 10. 记为正项数列前项和，已知，则（ ） A B. 数列单调递增 C. 数列的单调递增 D. 11. 抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 三角形ABC面积的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率______． 13. 已知函数，若对，则实数的取值范围为__________． 14. 令对抛物线y=f（x）持续实施下面“牛顿切线法”的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； 在点处作抛物线的切线，交x轴于； …… 得到一个数列，则的值为______；数列的前n项和______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. （1）求； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 如图，将等腰直角三角形沿斜边上中线翻折，得到四面体． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. （1）若在区间上不是单调函数，求的取值范围； （2）若方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $