28.1 锐角三角函数 课件2024-2025学年人教版数学九年级下册

人教版 · 数学· 九年级（下） 第28章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数（1） 正弦函数 合作探究： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管？ A B C 在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半 在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半。 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB. A B C 在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半。 实际问题建立几何模型 如果出水的高度为50m,那么需要准备多长的水管？ A B C C' B' 思考：由这些结果，你能得到什么结论? 结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值是一个固定值，为    . 其中，BC与AB的比值 有什么变化？ 如果∠A=45°，那么BC与AB的比是一个定值吗？ 因为∠A=45°，则AC=BC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2. 所以 ,因此 A B C 归纳 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°， ∠A＝∠A'＝α，那么 有什么关系．能解释一下吗？ A B C A' B' C' 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.所以 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． A B C A' B' C' 动态演示： 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． 知识要点 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦（sine），记作sinA 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 当∠A＝60°时， 热身小游戏： 争 分 夺 秒 游戏规则：每大组选出4名参赛选手，依次说出以上3个角的正弦值，拍手传递，计时最少的一组为优胜组，每个组员获得2个糖力值，第二少的为良好组，每个组员获得1 个糖力值。 30o 、45o 、60o 这三个角是锐角三角函数中的宠儿，它们的正弦值你记住了吗？ “正弦”的由来 1576-1630 如图：在 Rt △ ABC 中， 判断正误并说明理由 如图，在 △ABC中， sinA= （ ） sinA 是在直角三角形中定义的，这是前提 在Rt △ABC中，若三边长都扩大为原来 的2倍，则锐角A的正弦值（ ) A、扩大2倍 B、不变 C、缩小2倍 D、无法确定 B sinA 大小只与∠A的大小有关,与三角形边长无关 典例精析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA 和sinB的值. A A B B C C 4 3 13 5 图(1) 图(2) 解析：求sinA 和sinB的值，实质就是求∠A与∠B的对边与斜边的比. ？ ？ 先利用勾股定理求未知的斜边与直角边的长. 已知直角三角形的边长求正弦值 一 因此 因此 A C B 4 3 C A B 13 5 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA 和sinB的值. 解：如图(1),在Rt△ABC中， 由勾股定理得 如图(2),在Rt△ABC中， 由勾股定理得 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4）， 连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角　的正弦值. 解： 如图，设点A（3，0），连接P A . A 因此 平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 归纳 在△APO中， 由勾股定理得 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长 二 典例精析 A B C 解析：已知sinA 及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理，求出BC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积. 例3 如图，在Rt△AB中，∠C=90°， ，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积. 解： ∴AB=3BC=3×3=9. 例3 如图，在Rt△AB中，∠C=90°， ，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积. A B C 在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16， 求sinC. 15 作垂线---构造直角三角形求正弦值。 小技巧 小 结 本节课学会了哪些新知识？ 有哪些收获? 课堂小结 正弦函数 正弦函数 的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 $$