7.2 离散型随机变量及其分布列 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.2　离散型随机变量及其分布列 [学习目标]　 1．借助教材实例，了解离散型随机变量及其分布列．(数学抽象) 2．了解离散型随机变量分布列的性质、两点分布的概念． (数学抽象) 3．会求简单的离散型随机变量的分布列．(数学建模、数据分析) [讨论交流]　预习教材，思考以下问题： 问题1.抛掷一枚质地均匀的硬币，有“正面朝上”和“反面朝上”两种可能结果，可以将试验结果用数值来表示吗？ 问题2.在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X可取什么数值？ 探究建构 探究1　随机变量的概念及分类 探究问题1　(1)某人在射击训练中，射击一次命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？ (2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ (3)掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ (4)抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？ 0，1，2，…，10. 0分，1分，2分，3分 1，2，3，4，5，6 用1表示正面，0表示反面 正面向上、反面向上两种 (1)(2)(3)随机试验样本点与数值有关系， 我们可以直接与实数建立对应关系． (4)样本点与数值没有直接关系， 我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值． 　　对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应．即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化． 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性． 新知探究：随机变量即离散型随机变量的概念 考察下列随机试验及其引入的变量： 　　试验1：从 100 个电子元件（至少含 3 个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量 X 表示三个元件中的次品数； 　　试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量 Y 表示需要的抛掷次数. 　　这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量 X，Y 有哪些共同的特征？ 问题1 新知探究：随机变量即离散型随机变量的概念 试验1：从 100 个电子元件（至少含 3 个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量 X 表示三个元件中的次品数； 如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1组成长度为3的字符串表示样本点， 则样本空间Ω1＝ {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} 001 000 010 011 100 101 110 111 1 0 1 2 1 2 2 3 Ω1 X 各样本点与变量X的值的对应关系如图所示. 新知探究：随机变量即离散型随机变量的概念 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量 Y 表示需要的抛掷次数. 如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”， 则样本空间 Ω2＝{h, th, tth, tth, ‧‧‧}. Ω2包含无穷多个样本点. 各样本点与变量Y的值的对应关系如图所示. th h tth ttth t h h 2 1 3 4 t h h Ω2 Y t t 问题2 以上两个试验中的变量X,Y 有哪些共同的特征? 　　在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应． 变量X，Y 有如下共同点： (1)取值依赖于样本点； (2)所有可能取值是明确的． 新知探究：随机变量即离散型随机变量的概念 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数________与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 唯一 X(ω) [新知生成] (4)离散型随机变量 可能取值为________或可以__________的随机变量，称为离散型随机变量． 有限个 一一列举 (5)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． [典例讲评]　1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天经过的车辆数X； (2)某超市5月每天的销售额； (3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； (4)某水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ. 车辆数X的取值可以一一列出，是 销售额可以一一列出，是 实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是 水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举，不是 [母题探究]　(变题设)本例题中的(4)改为：若用X＝0表示监测站所测水位没有超过警戒线，X＝1表示监测站所测水位超过警戒线，警戒水位是29 m，X是离散型随机变量吗？ [解]　X是离散型随机变量． 反思领悟　判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的试验结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． [学以致用]　1．(1)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 (2)下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．(填序号) ①某宾馆每天入住的旅客的数量X； ②某水文站观测到一天中珠江的水位X； ③深圳欢乐谷一天接待游客的数量X； ④虎门大桥一天经过的车辆数量X. √ ② (1)根据离散型随机变量的定义可得，选项C是离散型随机变量，其结果可以一一列出，其中随机变量X的取值为0，1，2. (2)①③④中的随机变量X的可能取值都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按照一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量．] 探究2　离散型随机变量的分布列 探究问题2　一瓶中装有5个球，编号为1，2，3，4，5.从瓶中同时取3个，以X表示取出的3个球中的最大编号数．请思考： (1)随机变量X的可能取值是什么？ (2)试求X取不同值的概率？ (3)用表格表示X与P的对应关系？ X的可能取值为3，4，5. P(X＝5)＝＝. P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， X 3 4 5 P 能．X与P的对应关系表示如下． 探究问题3　在同时抛掷两枚质地均匀的骰子的随机试验中， 定义Y＝试求随机变量Y的分布列． [提示]　 X 0 1 P 0.5 0.5 1．概率分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用______或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 表格 [新知生成] (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝___． 1 2．两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从__________或0—1分布． 两点分布 【微提醒】　 随机变量X只取0和1， 才是两点分布，否则不是． 角度1　离散型随机变量的分布列 【链接·教材例题】 例3　一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列． [解]　设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2.根据古典概型的知识，可得X的分布列为 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 P [典例讲评]　2．一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球、2个红球，从中摸出2个球． (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列． [解]　箱子有5个球，从中摸出2个球，有＝10(种)情况． (1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A， P(A)＝＝， 即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为. (2)X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 反思领悟　求离散型随机变量的分布列关键有三点 (1)随机变量的取值． (2)每一个取值所对应的概率． (3)用所有概率之和是否为1来检验． 角度2　两点分布 【链接·教材例题】 例1　一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义 X＝ 求X的分布列． [解]　根据X的定义，{X＝1}＝“抽到次品”，{X＝0}＝“抽到正品”，X的分布列为 P(X＝0)＝0.95，P(X＝1)＝0.05. 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p， 那么X的分布列为 X 0 1 P 1－p p [典例讲评]　3．袋内有5个白球、6个红球，从中摸出两球， 记X＝求X的分布列． [解]　显然X服从两点分布， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝1－＝， X 0 1 P 所以X的分布列是 反思领悟　两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率的求法可知，两点分布中两个概率的和为1. 注意：解答此类问题时要充分利用两点分布的特点，并利用其性质特点对问题的结果进行检验． [学以致用]　2．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品，顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． [解]　X可能的取值为1、0． P(X＝1)＝＝＝， P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. X 0 1 P ∴X的分布列为 探究3　分布列的性质及应用 【链接·教材例题】 例2　某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表7.2－4所示． 表7.2－4 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4)． [解]　由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且{X＝1}＝“不及格”，{X＝2}＝“及格”，{X＝3}＝“中等”，{X＝4}＝“良”，{X＝5}＝“优”．根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表7.2－5所示． 表7.2－5 X 1 2 3 4 5 P P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＝. [典例讲评]　4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，其中c为常数，求P的值． [解]　由离散型随机变量分布列的性质可知 ＝1， ∴c＝1， 解得c＝. ∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝. [母题探究]　(变题设)将本例题的条件变为“设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5)”．试求P. [解]　由题意得，X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a 由分布列的性质， 得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 解得a＝. P＝P＋P＋P(X＝1) ＝＝. 或者P＝1－P ＝1－＝. 反思领悟　离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确． (2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． [学以致用]　3．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 试求出离散型随机变量X的分布列． [解]　由题意9c2－c＋3－8c＝1， ∴9c2－9c＋2＝0， 解得c＝或c＝. 检验：当c＝时， 9c2－c＝>0，3－8c＝>0； 当c＝时， 9c2－c＝>1，3－8c＝－<0，不符合． 故c＝. 故所求分布列为 X 0 1 P 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ 1．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B．南京长江大桥一天经过的车辆数X C．某型号彩电的寿命X D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X √ √ X的取值不能一一列举出来 2 3 题号 1 4 2．已知离散型随机变量X的分布列为 则m的值为(　　) A． B． C． D． √ X 1 2 3 4 P m 离散型随机变量的分布列的性质知， ＋m＋＝1，解得m＝. 2 3 题号 4 1 √ 3．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X＝1)＝(　　) A．0 B． C． D． 设失败率为p，则成功率为2p，分布列为 X 0 1 P p 2p 由p＋2p＝1，得p＝， 所以P(X＝1)＝2p＝. 2 4 3 题号 1 4．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝________． 因为X等可能取1，2，3，…，n， 所以X的每个值的概率均为. 由题意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3， 所以n＝10. 10 1．知识链：(1)随机变量的概念、特征． (2)离散型随机变量的概念． (3)离散型随机变量的分布列的概念及其性质． (4)两点分布． 2．方法链：离散型随机变量分布列性质的应用策略、转化化归思想． 3．警示牌：不能正确地列出随机变量的取值导致分布列求解错误． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 离散型随机变量有哪些特征？ [提示]　(1)可用数值表示； (2)试验之前可以判断其出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取何值； (4)试验结果能一一列出． 课时分层作业(十四) 点击页面进入… 离散型随机变量及其分布列 （WORD版） 巩固课堂所学 · 激发学习思维 夯实基础知识 · 熟悉命题方式 自我检测提能 · 及时矫正不足 本节课掌握了哪些考点？ 本节课还有什么疑问点？ 课后训练 学习反思 课时小结 一、选择题 1．(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是(　　) A．一条河流每日最大流量 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 √ √ 2．(多选)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚1点，第二枚5点 √ √ 3．已知随机变量X的分布列如下表所示． √ 由离散型随机变量分布列的性质可知， 4．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下所示． X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则 P＝(　　) A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 根据分布列的性质知， 0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1 解得x＝2，y＝5， ∴P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35 √ 5．(多选)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射击手射击一次，击中目标的次数X C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数X √ √ √ B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布， 抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布．故选BCD． 6．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2. 令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________． 7．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P   m     则P(|X－3|＝1)＝________． 由Y＝－2，且Y＝3X－2， 得X＝0， ∴P(Y＝－2)＝0.8. 由分布列的性质得+m++1 m P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＝ 8．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P    1－2q  q 则P()＝________． 由分布列的性质得1－2q≥0，q≥0 又∵＋1－2q＋q＝1 ∴q＝0.3 ∴P（）＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋0.4＝0.9 9．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列． (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A 则P(A)＝＝ 9．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列． THANKS $$