精品解析：四川省南充电子工业学校2024-2025学年高二下学期特优班第一次月考数学试题

数学2024-2025学年度第二期 第一学月测试卷 适用班级：23级本方班 （时间：120分钟；总分：150分） 一、单项选择题（每小题4分，共计60分） 1. 已知且，，则以下正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是的充要条件 D. 是的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义即可. 【详解】当且时，可得，故充分性成立； 当时，可得且，即且，故必要性成立， 则是的充要条件. 故选：C. 2. 已知两点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示即可解答. 【详解】已知两点，， 则， 故选：A. 3. 复数的共轭复数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由共轭复数的概念求解即可. 【详解】复数的共轭复数是. 故选：C. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逆用正弦函数的两角和公式，即可求解. 【详解】. 故选：C. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用余弦的倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：A. 6. 已知点A，B和平面，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点和面的关系写出线和面的关系即可解得. 【详解】由题，， ， 故选：C 7. 与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量数量积的定义，即可求解. 【详解】因为与的夹角为， 所以， 故选：A. 8. 函数的最大值和最小正周期分别为（ ）． A. 2，π B. 2，2π C. 1，π D. 1，2π 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两角和的正弦公式化简函数，再结合正弦函数的性质和最小正周期公式，即可求解. 【详解】因为， 由于正弦函数的最大值为1，所以 的最大值为2， 所以函数的最小正周期, 故选：A. 9. 若复数为纯虚数，其中，则的模为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义，求出a值，再根据共轭复数以及复数模的求法，即可求解. 【详解】为纯虚数， , . 故选：B. 10. 已知，向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据向量内积的坐标表示和模的坐标表示分别求出和，再由向量内积的定义求值即可. 【详解】已知，向量， 则， ， 所以. 故选：A. 11. 若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（　 ） A. 平行 B. 平行或相交 C. 平行或异面 D. 平行或相交或异面 【答案】D 【解析】 【分析】将线面的位置关系放进正方体中判断即可. 【详解】在正方体中，点是的中点， 平面，平面，此时两条直线的位置关系为相交； 平面，平面，此时两条直线的位置关系为平行； 平面，平面，此时两条直线的位置关系为异面； 所以两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是平行或相交或异面. 故选：D. 12. 已知椭圆标准方程为 ，则其长半轴长和短半轴长分别是 （ ） A. 3 ， 2 B. 2， 3 C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程求解即可. 【详解】因为椭圆方程为， 所以，即； 所以长半轴长为3，短半轴长为2； 故选：A 13. 二次函数的图像如图所示，则满足的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的图像求解即可. 【详解】由题图知二次函数的图像开口向下，两根分别为和2， 故的解集为或. 故选:C． 14. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根据二倍角公式和同角三角函数间的关系即可解得. 【详解】由题，显然， 则 . 故选：A 15. 函数的最小正周期为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式可求解. 【详解】由题可知，函数的的最小正周期为： ． 故选：B 二、填空题（每小题4分，共计20分） 16. “”为“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】由题意，若成立，则一定成立，即充分性成立； 若成立，则不一定成立，如，即必要性不成立； 故“”为“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 17. 若复数z满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算进行计算即可解得. 【详解】由题，， 则 . 故答案为： 18. 已知，则的值 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和正切公式易得答案. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：． 19. 函数的最大值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二倍角的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦型函数的值域进行求解即可. 【详解】函数， 因为， 所以， 所以函数的最大值为2. 故答案为：2. 20. 函数的周期是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简，再由周期公式即可求解. 【详解】， 函数的周期是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6个小题，其中21题10分，其余题各12分，共计70分） 21. 求取值何实数时，复数是： （1）实数； （2）纯虚数； （3）对应的点位于第二象限． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的概念列式，可求出结果； （2）根据复数的概念列式，可求出结果； （3）根据复数的几何意义列出不等式组，解得即可． 【小问1详解】 复数的实部为，虚部为， 若复数为实数则，所以. 【小问2详解】 若复数为纯虚数，则，解得； 【小问3详解】 复数在复平面内对应的点为， 依题意得，解得， 故的取值范围为． 22. 已知函数.求： （1）的值； （2）函数的值域和最小正周期. 【答案】（1）3 （2）值域为， 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式将原式化简，结合辅助角公式求解即可； （2）根据正弦型函数的性质即可求解. 【小问1详解】 根据二倍角公式， 结合题意得： . 则. 【小问2详解】 已知， ， 所以， 函数的值域为， 最小正周期为. 23. 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）由三棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 如图所示，连接BD， 由是菱形，且知，是等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 因为平面，所以平面， 所以是三棱锥的高， 在等边三角形中，因为，所以， 所以， 所以. 24. 如图，平行四边形中，，，，点E、F分别为AD、DC边的中点，BE与AF相交于点O．记，． （1）用，表示，并求. （2）若，求实数的值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据平面向量的运算，及向量模的运算结合向量的数量积即可得解. （）设，结合向量的运算及向量的相等，列出方程组即可得解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 ，设， 在中有， 所以，又， 所以， 因为，不共线，则， 所以实数的值为. 25. 已知曲线C上一动点M到点和的距离之差的绝对值是8. （1）求曲线C的标准方程； （2）求以原点为顶点，以曲线C的顶点为焦点的抛物线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义确定和的值，再由的值即可确定曲线C的标准方程. （2）设抛物线的方程为或，再根据双曲线的顶点坐标，求出的值即可. 【小问1详解】 根据题意可知曲线为双曲线， 设曲线的标准方程为， 由题意得，解得， 曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）得曲线的左顶点为，右顶点为， 设抛物线的方程为或， 所以，，或，， 抛物线的方程为或. 26. 已知，且. （1）化简； （2）若是第二象限角，求的值； （3）已知向量，若向量与的夹角为锐角的3倍，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三角函数诱导公式，即可化简求解； （2）根据题意，结合三角函数诱导公式，和同角三角函数的平方关系，即可求解； （3）根据题意，先求出的值，继而求出向量的夹角，结合向量共线的坐标表示，即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由（1）知， 因为，即，所以， 因为是第二象限角，所以， 所以； 【小问3详解】 因为，即，所以， 又角是锐角，所以， 因为向量与的夹角为锐角的3倍，即向量与的夹角为， 所以向量与是共线向量，且方向相反， 又， 所以，即， 解得，此时， 此时反向，符合题意， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学2024-2025学年度第二期 第一学月测试卷 适用班级：23级本方班 （时间：120分钟；总分：150分） 一、单项选择题（每小题4分，共计60分） 1. 已知且，，则以下正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是的充要条件 D. 是的既不充分也不必要条件 2. 已知两点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数的共轭复数是（ ）． A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知点A，B和平面，若，，则（　　） A. B. C. D. 7. 与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 函数的最大值和最小正周期分别为（ ）． A. 2，π B. 2，2π C. 1，π D. 1，2π 9. 若复数为纯虚数，其中，则的模为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知，向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 11. 若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（　 ） A. 平行 B. 平行或相交 C. 平行或异面 D. 平行或相交或异面 12. 已知椭圆标准方程为 ，则其长半轴长和短半轴长分别是 （ ） A. 3 ， 2 B. 2， 3 C. ， D. ， 13. 二次函数的图像如图所示，则满足的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 14. 若，则（ ） A. B. C. D. 15. 函数的最小正周期为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、填空题（每小题4分，共计20分） 16. “”为“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）. 17. 若复数z满足，则___________． 18. 已知，则的值 _________． 19. 函数的最大值是__________. 20. 函数的周期是__________. 三、解答题（本大题共6个小题，其中21题10分，其余题各12分，共计70分） 21. 求取值何实数时，复数是： （1）实数； （2）纯虚数； （3）对应的点位于第二象限． 22. 已知函数.求： （1）的值； （2）函数的值域和最小正周期. 23. 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 24. 如图，平行四边形中，，，，点E、F分别为AD、DC边的中点，BE与AF相交于点O．记，． （1）用，表示，并求. （2）若，求实数的值． 25. 已知曲线C上一动点M到点和的距离之差的绝对值是8. （1）求曲线C的标准方程； （2）求以原点为顶点，以曲线C的顶点为焦点的抛物线方程. 26. 已知，且. （1）化简； （2）若是第二象限角，求的值； （3）已知向量，若向量与的夹角为锐角的3倍，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $