精品解析：2025年湖南省长沙市长沙县湘珺未来学校中考全真模拟数学试题（三）

2025年春季九年级毕业会考模拟练习卷（三） 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项）． 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ） A. 3，3，6 B. 6，6，3 C. 4，4，4 D. 3，4，5 5. 2024年巴黎奥运会首次设立“碳预算”，控制整个赛事的碳排放不超过1580000吨二氧化碳当量，这是对环保的一次重要尝试，为“环保奥运”，“绿色奥运”积累丰富的经验．其中数据1580000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 7. 在某次射击选拔比赛中，某队员10次射击的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列错误的是（ ） A. 最高成绩是9 B. 这组成绩的中位数是9 C. 这组成绩的众数是9 D. 这组成绩的平均数为9 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数的图象如图，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 随的增大而减小 D. 图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小 10. 某商场开业设置游戏规则如下：在10个商标牌中，有4个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，无奖金．有包含甲、乙两名幸运顾客在内的10名顾客参与这个游戏，并有如下两种游戏方式．方式一：10名顾客轮流取走10个商标牌（不用放回），其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．方式二：10名顾客轮流上台取一个商标牌，每位顾客登记结果后放回商标卡，其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．下列对甲、乙获得奖金的概率表述正确的是（ ） A. 在方式一中，甲获得奖金的概率大于乙获得奖金的概率 B. 甲在方式一中获得奖金的概率大于在方式二中获得奖金的概率 C. 甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的 D. 甲、乙在两种方式中获得奖金的概率不确定，与另外8名顾客有关 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：____________． 12. 在“讲好数学故事”的比赛中，个评委老师给小明的打分成绩如下表所示，按照规则：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余评委的平均分即为选手的最后得分．则小明的最后得分是______． 评委编号 成绩 13. 如图，点都在上，，则的度数等于______． 14. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________． 15. 如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为点．如果，，那么________． 16. “黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是________厘米． 三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 18. 先化简，再求值：（2x+1）（1﹣2x）﹣2（x+2）（x﹣4）+（2x﹣1）2，其中x＝﹣． 19. 银盆岭大桥，原名“湘江二桥”“北大桥”．年月日建成通车，是长沙市第二座沟通湘江两岸的大型桥梁，如图，小刚想利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面． （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，，） 20. 某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，全面抓好学生社团工作，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，下面是小组通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图； （2）全市举行学生乒乓球比赛，该学校要推选5位乒乓球社团同学参加，其中有2名七年级同学和3名八年级同学，现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法表示出所有的结果，并求出恰好抽到七、八年级同学各1名的概率． 21. 如图，在四边形中，，过点D作于E，若． （1）求证：； （2）连接交于点，若，求DF的长． 22. 袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． （1）求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ 23. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，，，求，的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点为线段上一动点，以点M为圆心，为半径作圆，与x轴另一交点为F．过点C作的切线与x轴相交于点D，切点为E，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，若D，B点重合时，求的值； （3）如图2，若，点Q是抛物线上的点，满足，求点Q的坐标． 25. 若函数“”图象上存在一点向左平移2个单位长度，正好落在函数“”图象上，则称函数“”是函数“”的“遥感函数”，这个点称为函数“”关于函数“”的“遥感点”． （1）点是函数“”：关于函数“”：的“遥感点”，求函数“”的解析式． （2）函数“”： 是函数“”： 的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“”： 关于函数“”：有两个不同的“遥感点”，设它们为，．当为等边三角形时，求的面积． （3）函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”．设抛物线与函数“”：的交点为，，抛物线顶点为．当四边形为矩形时，求函数“”的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季九年级毕业会考模拟练习卷（三） 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项）． 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的意义是解题的关键． 根据无理数的意义，逐一判断即可解答． 【详解】A、，是有理数，故A不符合题意； B、是有理数，故B不符合题意； C、是有理数，故C不符合题意； D、是无理数，故D符合题意； 故选：D． 2. 下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义来判断，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故本题答案为B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，熟记以上基础的运算的运算法则是解本题的关键． 根据合并同类项可判断A，同底数幂的乘法可判断B，根据积的乘方运算可判断C，根据同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：与不是同类项，求和不能继续计算，故A不符合题意； ，故B选项计算准确符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B． 4. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ） A. 3，3，6 B. 6，6，3 C. 4，4，4 D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系：两条较短边的和大于最长边，由此进行求解． 【详解】解：A、，所以不能构成三角形，故符合题意； B、，所以能构成三角形，故不符合题意； C、，所以能构成三角形，故不符合题意； D、，所以能构成三角形，故不符合题意； 故选A． 5. 2024年巴黎奥运会首次设立“碳预算”，控制整个赛事的碳排放不超过1580000吨二氧化碳当量，这是对环保的一次重要尝试，为“环保奥运”，“绿色奥运”积累丰富的经验．其中数据1580000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 6. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质和平行线性质，由三角形外角性质可得，再由两直线平行，同位角相等即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选D． 7. 在某次射击选拔比赛中，某队员10次射击的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列错误的是（ ） A. 最高成绩是9 B. 这组成绩的中位数是9 C. 这组成绩的众数是9 D. 这组成绩的平均数为9 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了折线统计图，中位数，众数和平均数，根据折线图得到这组数据是解题关键．根据题意分别求出这组数据的中位数、众数和平均数即可判断． 【详解】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，选项A结论错误，符合题意 这组成绩由小到大排列为： 8.4，8.6，8.8，9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，第五、六个是9，9，故中位数为环，故选项B结论正确，不合题意； 9出现次数为3次，最多，故这组成绩的众数是9环，故选项C结论正确，不合题意； 这组成绩的平均数是，故选项D结论正确，不合题意； 故选：A． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示． 【详解】解：此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示；当；当； 当； 当解集不存在； 分别对应下图中的图1、2、3、4； 此题中原不等式组可以化为：，所以由图3可知，故选B． 【点睛】考核知识点：不等式组的解集． 9. 已知一次函数的图象如图，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 随的增大而减小 D. 图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，﹥，且随的增大而增大，故选项A结论正确，符合题意，C选项错误，不符合题意； 图象与轴交于负半轴，所以，B选项错误，不符合题意； 图形向上平移，与坐标轴围成的三角形的面积会逐渐变小，当过原点后，与坐标轴围成的三角形的面积会逐渐变大，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 10. 某商场开业设置游戏规则如下：在10个商标牌中，有4个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，无奖金．有包含甲、乙两名幸运顾客在内的10名顾客参与这个游戏，并有如下两种游戏方式．方式一：10名顾客轮流取走10个商标牌（不用放回），其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．方式二：10名顾客轮流上台取一个商标牌，每位顾客登记结果后放回商标卡，其中甲第一个取商标牌，乙最后一个取商标牌．下列对甲、乙获得奖金的概率表述正确的是（ ） A. 在方式一中，甲获得奖金的概率大于乙获得奖金的概率 B. 甲在方式一中获得奖金的概率大于在方式二中获得奖金的概率 C. 甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的 D. 甲、乙在两种方式中获得奖金的概率不确定，与另外8名顾客有关 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，根据两种方式游戏规则计算甲、乙在两种方式中获得奖金的概率即可． 【详解】解：在方式一中，甲获得奖金的概率为，乙获得奖金的概率为，A选项错误； 在方式二中，甲获得奖金的概率为，乙获得奖金的概率为，B选项错误； 即甲、乙在两种方式中获得奖金的概率都是一样的，C选项正确，D选项错误； 故选C． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 在“讲好数学故事”的比赛中，个评委老师给小明的打分成绩如下表所示，按照规则：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余评委的平均分即为选手的最后得分．则小明的最后得分是______． 评委编号 成绩 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数，掌握平均数的计算公式是解题的关键． 根据题意去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后算平均数即可． 【详解】解：∵去掉一个最高分，去掉一个最低分， ∴小明的最后得分是， 故答案为：． 13. 如图，点都在上，，则的度数等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAB=|k|， ∴|k|=2， ∵k＜0， ∴k=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 15. 如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为点．如果，，那么________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由垂径定理可得，，然后根据勾股定理求得半径，再根据，即可解答． 【详解】解：∵在中，半径垂直于弦，垂足为点， ∴，， 又∵ 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 16. “黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它是用半径不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的．如图，第五步是由半径分别为1，1，2，3，5厘米，圆心角是的弧线组成；则画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形的弧长以及图形规律，先找出每一步的半径，再运用扇形弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵“黄金螺旋线”是半径大小不同，圆心角是的扇形的弧线画出来的， 第一步中的扇形的半径是1厘米， ∴（厘米）， ∴它的弧线长是厘米； 结合图形，得第二步中所画的弧线长也是厘米； 第三步，半径是（厘米）， ∴第三步中所画的弧线长为（厘米）； 第四步，半径是（厘米）， ∴第四步中所画的弧线长为（厘米）； 第五步，半径是（厘米）， ∴第五步中所画的弧线长为（厘米）； ∴画完第五步后这条“黄金螺旋线”的长度是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 【答案】6 【解析】 【分析】先运用负整数指数幂、特殊角的三角函数、化简绝对值及零指数幂运算，再根据二次根式乘法计算，去括号，最后运用二次根式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数、化简绝对值、零指数幂运算、二次根式乘法及减法运算，熟练掌握实数相关运算法则求解是解决问题的关键． 18. 先化简，再求值：（2x+1）（1﹣2x）﹣2（x+2）（x﹣4）+（2x﹣1）2，其中x＝﹣． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式，进行化简，再将字母的值代入求解即可 【详解】解：原式 当时， 原式 【点睛】本题考查了整式的化简求值，代数式求值，实数的运算，正确的计算是解题的关键． 19. 银盆岭大桥，原名“湘江二桥”“北大桥”．年月日建成通车，是长沙市第二座沟通湘江两岸的大型桥梁，如图，小刚想利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面． （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）大桥立柱在桥面以上的高度为米； （2）大桥立柱在水面以上的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （）先证明米，然后根据正弦的定义求出； （）根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴（米）， 在中，（米） 答：大桥立柱在桥面以上的高度为米； 【小问2详解】 解：在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴(米) , 答：大桥立柱在水面以上的高度为米． 20. 某校为进一步活跃校园文化活动，促进学生体育社团活动向健康、文明、向上的方向发展，优化育人环境，全面抓好学生社团工作，更加合理地安排体育社团活动，学校请某班数学兴趣小组就本班同学“我最想加入的体育社团”进行了一次调查统计，下面是小组通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）该班共有多少名学生？在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是多少度？请补全条形统计图； （2）全市举行学生乒乓球比赛，该学校要推选5位乒乓球社团同学参加，其中有2名七年级同学和3名八年级同学，现从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法表示出所有的结果，并求出恰好抽到七、八年级同学各1名的概率． 【答案】（1）50名，； 补全的条形统计图如图所示：   （2） 由题意可得，     根据上图可得，总共有20种情况，恰好选出七、八年级同学各1名组成双打组合的有12种， ∴恰好选出七、八年级同学各1名的概率是． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图中想参加篮球的人数除以扇形统计图中篮球部分的占比，即可算出该班的总人数；再通过计算想参加足球的人数，计算出其他部分的人数，即可算出其他部分所对应的圆心角度数；统计图如图所示，即可解答． （2）按题意画出树状图，即可求出恰好抽到七、八年级同学各1名的概率． 【小问1详解】 解：由统计图可得，该班共有学生：（名）， 想加入足球社团的学生有：（名）， 想加入其他社团的学生有：（名）， 在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数为：． 答：该班共有50名学生，在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角度数是72度． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，结合图形得出相关的数据是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，过点D作于E，若． （1）求证：； （2）连接交于点，若，求DF的长． 【答案】 （1）证明：过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD， ∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE， ∴四边形BEDG为正方形， ∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°， ∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°， ∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°， ∴△ADE≌△CDG（ASA）， ∴AD=CD； 2） 【解析】 【分析】（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，证明四边形BEDG为正方形，得到条件证明△ADE≌△CDG，可得AD=CD； （2）根据∠ADE=30°，AD=6，得到AE，DE，从而可得BE，BG，设DF=x，证明△AEF∽△ABC，得到比例式，求出x值即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠ADE=30°，AD=6， ∴AE=CG=3，DE=BE==， ∵四边形BEDG为正方形， ∴BG=BE=， BC=BG-CG=-3， 设DF=x，则EF=-x， ∵DE∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴，即， 解得：x=， 即DF的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 22. 袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． （1）求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ 【答案】（1）购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元； （2）方案一：甲3件，乙7件，方案二：甲4件，乙6件，方案三：甲5件，乙5件；购买方案三所需资金最少，最少资金是10万元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的应用． （1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得，进而求解即可； （2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具件，得，然后求解即可得出方案；再根据总价=单价×数量，分别计算出各方案所需的资金数，比较后可得答案． 【小问1详解】 解：设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元． 根据题意得： ， 解得： ， 答：购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元； 【小问2详解】 设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具件， 根据题意得： ， 解得：． ∵m为整数， ∴m可取3、4、5， 方案一：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件，所需资金：（万元）； 方案二：购买甲种农机具4件，乙种农机具6件，所需资金：（万元）； 方案三：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件，所需资金：（万元）； 购买方案三所需资金最少，最少资金是10万元． 23. 如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点，若，，，求，的长． 【答案】（1） 证明: ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵ ∴四边形为平行四边形； （2），的长为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，，再由勾股定理求出，，最后由平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解: 由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 即的长为． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点为线段上一动点，以点M为圆心，为半径作圆，与x轴另一交点为F．过点C作的切线与x轴相交于点D，切点为E，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，若D，B点重合时，求的值； （3）如图2，若，点Q是抛物线上的点，满足，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，可得到关于系数的方程组求解，求得，从而可得出其解析式； （2）先根据切线的性质得出，从而可得，再根据等边对等角得出，从而可得，再根据直径所对的圆周角是直角，得出，从而可得，根据同角的余角相等可得，从而可利用证明，根据全等三角形的性质可得，，进而求得 ，设，用分别表示出，进而可表示出，再求得，就可得出； （3）先证明，根据相似三角形的性质列出比例式，设，用分别表示出，，再利用勾股定理求得与，再通过解直角三角形分别求得，，再根据，分“点Q在A处”、“点Q是直线与抛物线的交点”两种情况，分别求出Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图1， 连接，，，在上截取， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图2，连接，，，设，，交于N， 由（2）知， ∵，与是的切线 ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴、、、在同一个圆上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴， 又， ， ， ， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴当点Q在A处时，符合条件， ∴， 当点Q是直线与抛物线的交点时，符合条件， 设直线的解析式为， ∵，, ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 由， 解得：，， 当时，， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，切线的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． 25. 若函数“”图象上存在一点向左平移2个单位长度，正好落在函数“”图象上，则称函数“”是函数“”的“遥感函数”，这个点称为函数“”关于函数“”的“遥感点”． （1）点是函数“”：关于函数“”：的“遥感点”，求函数“”的解析式． （2）函数“”： 是函数“”： 的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”，函数“”： 关于函数“”：有两个不同的“遥感点”，设它们为，．当为等边三角形时，求的面积． （3）函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点”．设抛物线与函数“”：的交点为，，抛物线顶点为．当四边形为矩形时，求函数“”的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，把点代入函数“”： 得，，再代入函数“”： ，即可求解； （2）由新定义可得， 函数“”： ，即，函数“”： ；再分情况：当时，此时不符合题意；当时，如图，再进一步结合反比例函数，等边三角形的性质，勾股定理求解即可； （3）如图，求解，，设，，可得，，而，，由，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵点是函数“”：关于函数“”：的“遥感点” ∴ ∴向左平移2个单位长度得到，正好落在函数“”图象上， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵函数“”： 是函数“”： 的“遥感函数”，且有无数个“遥感点”， ∴，且向左平移2个单位得到， ∴函数“”：，即， ∴函数“”：； 如图，当时，不符合题意； 当时，如图， ∵， ∴，整理得：， 设， ∵等边三角形，反比例函数都关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵是的根， ∴，即， ∴， ∵不符合题意， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴等边三角形的面积为：； 【小问3详解】 解：函数“”：（其中为常数，且）的顶点恰为函数“”关于函数“”：的“遥感点” ∴向左平移两个单位后的点在上， 如图，为的顶点，则 ∵抛物线， ∴顶点横坐标为，纵坐标为， ∴， 设，， ∵当时， ∴， ∴，， 而 ， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴，经检验符合题意；且互相平分， ∴向左平移两个单位后的点为，代入 得，， 解得：， ∴直线“”的解析式为． 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，函数图象的平移，本题的难度很大，数形结合，计算是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $