专题01 数列（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（内蒙古专用）

专题01 数列 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的通项 题型03等差数列前n项和 题型04等比数列的通项 题型05 等比数列前n项和 题型06 通项的求法 题型07 前n项和的求法 题型08 数学归纳法 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知数列满足，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据递推关系求出前几项可得出数列为周期数列即可得解. 【详解】因为数列满足， 所以， 所以， 所以是周期为3的周期数列， 又，所以． 故选：A． 2．（23-24高二上·山西晋城·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除选项即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； 对于C选项，当时，，故C错误； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：B. 3．（2024高二上·全国·期中）在数列中，， ，则通项公式 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用累加法即可求解. 【详解】∵， ∴， ， ， … . 以上个等式相加，得． ． 检验：当时，也成立. 所以，数列的通项公式. 故答案为：. 4．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前n项和. (1)求的通项公式； (2)试判断1262是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1) (2)1262是数列的项，是第15项 【分析】（1）利用之间的关系进行求解即可； （2）利用代入法，通过解一元二次方程进行求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时， 时，也符合. 综上，的通项公式是； （2）令，或， 所以1262是数列的项，是第15项. 5．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在①；②；③；④，，这四个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.问题：给定数列它的前项和为，，______，是否存在正整数，使得？（多种解答同时出现时，按第一种作答给分.） 【答案】答案见解析 【分析】对于①：由得，知为正项单调递增数列，，，所以不存在，使得； 对于②：由得，所以为常数列，无正整数餐，所以不存在； 对于③：由得，由解得，所以存在； 对于④：由得，所以为周期为4的周期数列，所以，即，所以存在. 【详解】选①：由，，得，，，， 可知为正项单调递增数列，所以， 即数列单调递增，而，，所以不存在； 选②：由得，所以为常数列， 因，所以所以得， 因为方程无正整数解，所以不存在； 选③：由得，两式作差得 所以为等比数列，且，， 由解得，所以存在； 选④：由得， 所以为周期为4的周期数列，由，，可得，，因为，， 所以，即，所以存在. 【点睛】根据①②③④中式子的特点，分析数列的特点，来判断是否存在正整数，使得.要求对数列的常见形式有一定的理解，能快速转化. 6．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）给定数列，它的前项和为. （1）若，求的通项公式； （2）若数列单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由求解即可； （2）由题意可得，从而可求出实数的取值范围 【详解】（1）由知S， 当时，， 当时，符合上式， 所以； （2）因为单调递增，所以， 即恒成立 解得 ( 题型02 ) 等差数列的通项 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期中）首项为的等差数列，中从第10项开始为正数，则公差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式列出关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为等差数列中从第10项开始为正数，， 所以，即，解得， 所以公差的取值范围为. 故选：D. 3．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知数列为等差数列，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列的性质可知，解得，从而得解. 【详解】由数列为等差数列，可知.所以，有. 所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·山东济南·期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【解析】根据题意转化为等差数列，求首项. 【详解】设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知，芒种的日影长为， ，解得：，， 所以冬至的日影长为尺. 故选：D 4．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知数列为等差数列，，，则 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，然后根据已知条件列方程组可求出，从而可求出. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，即，解得， 所以， 故答案为： 5．（23-24高二上·广西河池·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】 【分析】根据等差中项可判断为等差数列，进而根据等差数列的基本量求解. 【详解】因为，所以为等差数列，又，设的公差为，所以，解得，所以，所以. 故答案为： 6．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数列{}中，= 4. （1）若 ，求； （2）若数列为等差数列，且，求数列{}的通项公式. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，知为等差数列，由此能求出求. （2）若数列为等差数列，由，，得，由此能求出. 【详解】解：（1）由，知为等差数列，公差为， . （2）若数列为等差数列，由，，得， ， . ( 题型03 ) 等差数列的前n项和 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知等差数列的前n项和，且则（    ） A．10 B．15 C．30 D．3 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式与前项和公式即可得解. 【详解】因为是等差数列，， 所以，则， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期中）设等差数列{an}的前n项和为，且，则 . 【答案】4 【分析】先利用关系式，求出公差，进而用等差数列的通项公式和求和公式得到方程组，即可求出答案. 【详解】由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 解得：或（舍去）， 故答案为：4. 3．（23-24高二上·内蒙古兴安盟·期中） ． 【答案】/ 【分析】根据等差数列求和公式将原式整理为，然后，利用裂项相消的方法求和即可. 【详解】， 原式 . 故答案为：. 4．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）记是公差不为的等差数列的前项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据条件，建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，再根据题设得，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题知，解得， 所以. （2）由（1）知， 所以，由，得到，整理得到， 解得，又，所以使成立的的最大值为. 5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在数列中，，前项和. (1)求、； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据的关系即可逐一求解， （2）利用的关系，作差可得，进而利用累乘法即可求解， （3）由裂项求和即可求解. 【详解】（1）由及得， 由及、得； （2）当时，，整理得， ∴， 验证，当时符合，∴当时，； （3）由（2）可知， ∴， 6．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知数列与的前项和分别为，，且，． (1)求数列的通项公式； (2)，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系求出和，证明是等差数列，即可求出数列的通项公式. （2）化简，利用裂项相消法求出，再利用数列的单调性即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意， ， 在数列中， 当时，， 解得或． ∵ ∴． ∵ ∴． 两式相减得． ∴． ∵， ∴． 即数列是以3为首项，3为公差的等差数列， ∴ 即 （2）由题意及（1）得，， 在数列中， 在数列中， ∴． ∴． ∵恒成立， ∴． ∴的取值范围为 ( 题型04 ) 等比数列的通项 1．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）在数列及中，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列特征得到和为公比为2的等比数列，从而求出，，故求出，得到答案. 【详解】，， ， 故为公比为2的等比数列， ， 另一方面：， 故也是公比为2的等比数列， . ， . 故选：B 2．（23-24高二下·黑龙江佳木斯·期中）在等比数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质，可得，将所求变形可得，化简计算，即可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以， 所以 . 故选：B 3．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）等比数列中，，，数列，的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求出 【详解】由题意得，所以， 所以. 故选：B 4．（多选）（23-24高二上·山东临沂·期中）已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出的范围，即可得到所求． 【详解】∵数列是正项等比数列，，， 由， 当且仅当，即，时等号成立， 即，符合题意的有A，B，D． 故选：ABD． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）设是等比数列，且，，则 ． 【答案】16 【分析】利用等比数列通项的性质求解即可． 【详解】因为是等比数列，设其公比为， 所以，则， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高三上·内蒙古包头·期中）已知数列和满足.若为等比数列，且，. (1)求与； (2)设.记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知可求出，再由，可求出公比，从而可求出，再由可求出， （2）由（1）得，然后利用分组求和，裂项相消求和法可求得 【详解】（1）由题意，，， 知，， 又有，得公比或（舍去）， 所以数列的通项公式为， 所以， 故数列的通项公式为，； （2）由（1）知，， 所以， ( 题型0 5 ) 等比数列的前n项和 1．（20-21高三上·内蒙古赤峰·期中）已知数列的首项为，前项和为，若，（），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和的递推关系可得表达式，发现从第二项起，后面的数都与前面的数之比为定值，故可用分组求和、等比数列求和公式法即可得解. 【详解】由（），得（）， 两式作差得：（）， 即（）. ∵，（），∴， ∴，∴. 故选：C. 2．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知数列的前项和为，且．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用确定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式和求和公式计算即可. 【详解】由①得②， ①-②得， 即，又，得 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， . 故选：C. 3．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】对于A，根据条件可得是等比数列，从而可求出，对于B，根据条件可得为等差数列，从而可求出，对于C，根据条件构造等比数列求解，对于D，根据条件可得，结合从而可求得结果. 【详解】对于A，当，时，，所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以，所以A正确， 对于B，当，时，，即， 所以数列是以2为公差，1为首项的等差数列， 所以，所以B错误， 对于C，当，时，，所以， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以，所以，所以C正确， 对于D，当，时，，所以， 因为，所以，，，，，，， ，，所以D错误. 故选：AC 4．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则 . 【答案】3 【分析】设等比数列的公比为，由已知条件列方程组可求出，再由前项的和为127列方程可求出. 【详解】设等比数列的公比为，则由题意得 ， 所以，得， 所以比数列前项和为 ， 得， 所以，解得， 故答案为：3 5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知数列是等比数列，是常数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据给定条件，设，由等比中项列式求出及等比数列公比即可求出通项. （2）由（1）的结论，利用分组求和法求解即得. 【详解】（1）由是常数列，设，由数列是等比数列，得， 而，则，解得， 因此，等比数列的公比，， 所以. （2）由（1）知，， 所以. 6．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； (3)设求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）变形得到，裂项相消法求和； （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）根据题意，因为，，，成等比数列， 所以，又， 解得，， 故； （2）因为 ， 所以 ； （3）∵ ∴①， ②， ∴①-②得 ∴. ( 题型0 6 ) 通项的求法 1．（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值. 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2023. 故选：C 2．（24-25高三上·天津西青·期中）已知数列，下列结论不正确的是（） A．若为等比数列，则数列是等差数列 B．若，，则 C．若，，则 D．若为等差数列，则数列是等比数列 【答案】A 【分析】对于A，当是负数构成的等比数列时，此时没有意义；对于B，构造等比数列即可求解数列的通项；对于C，用累加法求解即可；对于D，根据等比数列的定义证明即可. 【详解】对于A，若是负数构成的等比数列，此时没有意义，故A错误； 对于B，等价于， 数列是以为首项，公比为2的等比数列， ，故B正确； 对于C，， ，故C正确； 对于D，若为等差数列，可设， （常数） 数列是等比数列，故D正确. 故选：A. 3．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知数列满足，（），的前项和为，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，利用构造法判断得是等比数列，进而利用等比数列的通项公式与求和公式，结合分组求和法即可得解. 【详解】对于AB，因为数列中，，（）， 则，， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确； 对于C，，即有，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 4．（23-24高二下·内蒙古·期中）若数列的前项和为，则 . 【答案】8 【分析】通过与的关系计算可得. 【详解】因为数列的前项和为， 所以， 故答案为：8. 5．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期中）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有. (1)求的通项公式. (2)求数列的前20项和.（设，计算结果用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合变形，再利用构造法求出通项公式. （2）由（1）求出，利用分组求和及错位相减法求求和即可. 【详解】（1）对于任意的正整数，，则， 两式相减，得，整理得， 于是，而当时，，解得， 因此数列是首项为，公比为2的等比数列，故， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，设数列的前项和为， 则， 令， 因此， 两式相减得：， 则，于是， 所以. 6．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）设为数列的前项和，已知，且为等差数列． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，且，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助等差数列的性质与与的关系计算即可得； （2）借助累乘法可计算出数列，借助裂项相消法可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即，① 因为，所以由，得．② 由①、②解得，所以，即， 当时，， 当时，，上式也成立， 所以，所以数列是等差数列； （2）由（1）可知， 当时，， 因为满足上式，所以． ． ( 题型0 7 ) 前n项和的求法 1．（23-24高三上·内蒙古巴彦淖尔·期中）设，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（ ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】D 【详解】由题可知函数的周期为则为该函数的两个周期，作函数的图象如下，数列的前项均为正数，第项到项也均为正数，第到项均为负数，第到项也均为负数，，当或时，，而，故，故均是正数.答案为D.    【点晴】本题是借助于三角函数的性质考察数列的题型，利用图像将正负值呈现出来，结果不难得出，但在做题的过程中要注意到问题的内容，容易误把数列前项和的正负与数列的项的正负混淆，从而误求为，其实根据三角函数的有关知识和数列的通项公式，可以求出数列的哪些项是正数，哪些项是正数，且可以判断数列的和均为正. 2．（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知向量，则（    ） A． B． C．数列是周期数列 D．数列的前100项和为200 【答案】ABD 【分析】由向量垂直的坐标表示得到，进而逐项判断即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，A，B正确. 由通项公式可知不是周期数列，C错误. 因为 ， 所以数列的前100项和为，D正确. 故选：ABD 3．（24-25高三上·山西大同·期中）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，称为数列的阶差分数列，其中．已知数列满足，且为的二阶差分数列，则数列的前项和 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，变形得到是首项为，公差为的等差数列， 从而求出，利用错位相减法求和，得到答案. 【详解】因为为的二阶差分数列，即， 由，故， 可知，即， 得， 所以，又， 故数列是首项为，公差为的等差数列， 因此，， 所以①， 得②， 得， 故． 故答案为： 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知数列满足，且 (1)证明：数列是等差数列； (2)求 的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将已知两边同时除以，结合等差数列的定义即可得证； （2）利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 则， 所以. 5．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）在各项均不相等的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用等比中项和等差数列的基本量法求出的通项，用和的关系作差求出的通项； （2）用错位相减法再结合对数的运算性质得到. 【详解】（1）各项均不相等的等差数列的公差为，且成等比数列， 可得， ，解得或（舍去）， . 数列的前项和， 可得. 当时，， 当时也成立， . （2）由上问得， 则前项和， ， 即， 所以 6．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）在等差数列中，为其前n项和，且. (1)求数列的通过项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件求出可得答案； （2）利用裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由已知条件得，解得， ； （2）由（1）得， . ( 题型0 8 ) 数学归纳法 1．（22-23高二下·河南驻马店·期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据归纳法即可得到答案. 【详解】解：根据数学归纳法可知： 当时， 当时， 相比从到，可知多增加的项为 故选：D 2．（22-23高二下·北京丰台·期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果. 【详解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和； 当时，等式左边等于，共项求和； 所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是. 故选：B. 3．（22-23高二下·陕西商洛·期中）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 【答案】C 【分析】 列出和的情况，比较得到答案. 【详解】 当时，， 当时，， 故增加了，但减少了. 故选：C. 4．（23-24高二下·北京·期中）用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式 ． 【答案】 【分析】由数学归纳法的定义，依次写出，时等号左边的情形，对比即可得解. 【详解】假设时成立，即， 当时，等号左边为， 对比可知，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式. 故答案为：. 1．（23-24高二上·内蒙古兴安盟·期中）已知为等差数列的前n项和，若，，则当取得最大值时，n的取值为（    ） A．7 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式，可推得，，从而得解． 【详解】因为等差数列中，，， 所以，，即，， 所以，，所以，， 由为等差数列，得时，；时，， 所以当时，取得最大值． 故选：B． 2．（22-23高三上·北京大兴·期末）设为等差数列的前n项和．已知，，则（　　） A．为递减数列 B． C．有最大值 D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式求得其首项和公差，再依次判断各选项. 【详解】∵数列为等差数列，，， ，，∴， 对于A，∵，∴数列为递增数列，故A错误； 对于B，∵，故B正确； 对于C，∵数列为递增数列，∴无最大值，故C错误； 对于D，∵，故D错误. 故选：B． 3．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）有1200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（    ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】D 【分析】由题意可知，第层的钢管数为，所以，解得，再求剩余钢管的根数. 【详解】由题意可知，第层的钢管数为，所以，解得，且，所以剩余钢管的根数为． 故选：D. 【点睛】方法点睛：（1）本题主要考查等差数列的前n项和，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式 4．（23-24高二下·内蒙古·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用已知条件得到，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和. 【详解】由得：， 即， 所以 . 故选：A. 【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法： 1.型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项； 2.形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 3.形如： 的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列， 4.形如： 的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式； 5.形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式. 5．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知数列满足（）,且，，则 A． B．       C． D． 【答案】C 【解析】由递推关系式可知数列为等差数列，根据和求得公差；利用求得结果. 【详解】由得： 为等差数列     本题正确选项： 【点睛】本题考查利用递推关系式证得等差数列，进而求解等差数列中的项的问题，关键是能够将递推公式化为符合等差数列定义的形式，证得数列为等差数列. 6．（24-25高二上·云南昭通·期中）有理数都能表示成（其中且与互质）的形式.任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如.已知构成无穷数列，令为数列的前项和，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列求和得到，然后由裂项相消法求和得到求解其取值范围即可. 【详解】 ， ， ， ， 随n的增大而增大，当时，取最小值， 所以. 故选：B. 7．（24-25高三上·河南周口·期中）若数列满足,，当时，，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，利用累加法求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出，解题中不等式即可. 【详解】因为数列满足,， 当时，，整理可得， 即，且， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 当时，， 此时， ， 也满足，故对任意的，. 当时，， 所以，，解得， 因此，的最大值为. 故选：B. 8．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论． 【详解】设等差数列公差为，由， 则，， ∴， 解得，． ∴， ∴当时，取得最大值． 故选：B． 9．（多选）（2025·河南郑州·一模）已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（      ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，由递推关系求出通项公式，运算判断；对B，将代入求出通项，求解判断；对C，根据，的通项公式计算判断；对D，根据与的通项公式，找出它们相同的项，从而可求的前10项的和. 【详解】对于A，因为，即， 所以， 故数列为等比数列，又，所以， 则，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ，，，， 又，，， 因为， 为正奇数组成，的项也是奇数， 由上面推理可得，…是由的前14项去掉的前4项余下的项组成， 所以 故D正确. 故选：ACD. 10（多选）．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为14 【答案】BCD 【分析】根据等差数列性质、前项和公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】在等差数列中，， ，，，， 公差，数列是递减数列，A错误； ，，B正确； ，，数列是递减数列， 当时，最大，C正确； ，，， ，， 当时，n的最大值为14，D正确． 故选：BCD 11．（23-24高一下·内蒙古包头·期中）已知等差数列的前项和分别为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列前项和性质即可得解. 【详解】由题 所以. 故答案为： 12．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知为等差数列的前项和，且，给出下列说法： ①为的最大值；②；③；④.其中正确的是 . 【答案】①② 【分析】,利用前项和公式得,可得，最大, 即可判断出正确命题． 【详解】 , 化为： 最大, ①为的最大值,正确; ②正确; ③,所以③不正确; ④,所以不正确. 综上可得：①②正确. 故答案为: ①②. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,等差数列的前n项和公式,难度一般. 13．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数列满足且. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由，构造出，再求出，可得结论； （2）由（1）和等比数列的通项公式可得解. 【详解】（1）证明：， 又， 是首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）知   . 【点睛】本题考查根据递推公式证明数列是等比数列和等比数列的通项公式，关键在于构造出所需的表达式，属于中档题. 14．（2024·四川成都·模拟预测）已知为数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义求通项公式. （2）利用错位相减法求和可得结果. 【详解】（1）当时，，可得， 当时，，可得，则， 是首项､公比都为的等比数列， 故. （2）由题设，， ， 则， 所以 ， 所以. 15．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知两个等比数列，，满足，，，. （1）若，求数列的通项公式； （2）若数列唯一，求的值和数列的前项和. 【答案】（1）或；（2），. 【分析】（1）设的公比为， 由，，成等比数列得，解得，可得的通项公式； （2）设的公比为，由，知方程必有一根为0代入得，再将代入解得，得数列的通项公式，再根据错位相减求和即可. 【详解】（1）设的公比为，，，， 由，，成等比数列得， 即解得，， 所以的通项公式为或. （2）设的公比为，则由， 得（*）， 由得，故方程（*）有两个不同的实根， 由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得， 将代入（*）解得，所以，，，所以数列的公比为，，所以， 所以①，②， 两式作差①-②得， 所以. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列求和，关键点是利用已知和方程有两个不同的实根得，考查了学生的分析问题、解决问题的能力. 16．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期中）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，若数列前n项为 求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】（1）根据等差数列的通项公式以及等比中项列式求得，可得数列的通项公式； （2）利用裂项求和方法求出，再根据数列的单调性求出最小值即可得解. 【详解】（1）设数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 所以，整理得， 因为，所以， 所以. （2）由（1），，所以， 所以， 显然为递增数列，所以. 【点睛】关键点点睛：对数列的通项进行裂项是解题关键，属于中档题. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的通项 题型03等差数列前n项和 题型04等比数列的通项 题型05 等比数列前n项和 题型06 通项的求法 题型07 前n项和的求法 题型08 数学归纳法 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知数列满足，则（   ） A． B．2 C．3 D． 2．（23-24高二上·山西晋城·阶段练习）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·全国·期中）在数列中，， ，则通项公式 ． 4．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列的前n项和. (1)求的通项公式； (2)试判断1262是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 5．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在①；②；③；④，，这四个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.问题：给定数列它的前项和为，，______，是否存在正整数，使得？（多种解答同时出现时，按第一种作答给分.） 6．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）给定数列，它的前项和为. （1）若，求的通项公式； （2）若数列单调递增，求实数的取值范围. ( 题型02 ) 等差数列的通项 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期中）首项为的等差数列，中从第10项开始为正数，则公差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知数列为等差数列，且，则的值为（    ）A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东济南·期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 4．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知数列为等差数列，，，则 . 5．（23-24高二上·广西河池·期末）在数列中，，且，则 . 6．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数列{}中，= 4. （1）若 ，求； （2）若数列为等差数列，且，求数列{}的通项公式. ( 题型03 ) 等差数列的前n项和 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知等差数列的前n项和，且则（    ） A．10 B．15 C．30 D．3 2．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期中）设等差数列{an}的前n项和为，且，则 . 3．（23-24高二上·内蒙古兴安盟·期中） ． 4．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）记是公差不为的等差数列的前项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值. 5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在数列中，，前项和. (1)求、； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前项和为，求. 6．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知数列与的前项和分别为，，且，． (1)求数列的通项公式； (2)，若恒成立，求的取值范围． ( 题型04 ) 等比数列的通项 1．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）在数列及中，，设，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江佳木斯·期中）在等比数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）等比数列中，，，数列，的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二上·山东临沂·期中）已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）设是等比数列，且，，则 ． 6．（23-24高三上·内蒙古包头·期中）已知数列和满足.若为等比数列，且，. (1)求与； (2)设.记数列的前项和为，求. ( 题型0 5 ) 等比数列的前n项和 1．（20-21高三上·内蒙古赤峰·期中）已知数列的首项为，前项和为，若，（），则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知数列的前项和为，且．则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则 . 5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知数列是等比数列，是常数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 6．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； (3)设求数列的前项和． ( 题型0 6 ) 通项的求法 1．（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．（24-25高三上·天津西青·期中）已知数列，下列结论不正确的是（） A．若为等比数列，则数列是等差数列 B．若，，则 C．若，，则 D．若为等差数列，则数列是等比数列 3．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知数列满足，（），的前项和为，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 5．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期中）设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有. (1)求的通项公式. (2)求数列的前20项和.（设，计算结果用含的式子表示） ( 题型0 7 ) 前n项和的求法 1．（23-24高三上·内蒙古巴彦淖尔·期中）设，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（ ） A．25 B．50 C．75 D．100 2．（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知向量，则（    ） A． B． C．数列是周期数列 D．数列的前100项和为200 3．（24-25高三上·山西大同·期中）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中，称为数列的阶差分数列，其中．已知数列满足，且为的二阶差分数列，则数列的前项和 ． 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知数列满足，且 (1)证明：数列是等差数列； (2)求 的前项和. 5．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）在各项均不相等的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 6．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）在等差数列中，为其前n项和，且. (1)求数列的通过项公式； (2)设，求数列的前项和. ( 题型0 8 ) 数学归纳法 1．（22-23高二下·河南驻马店·期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·北京丰台·期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·陕西商洛·期中）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 4．（23-24高二下·北京·期中）用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式 ． 1．（23-24高二上·内蒙古兴安盟·期中）已知为等差数列的前n项和，若，，则当取得最大值时，n的取值为（    ） A．7 B．9 C．16 D．18 2．（22-23高三上·北京大兴·期末）设为等差数列的前n项和．已知，，则（　　） A．为递减数列 B． C．有最大值 D． 3．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）有1200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（    ） A．60 B．48 C．36 D．24 4．（23-24高二下·内蒙古·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知数列满足（）,且，，则 A． B．       C． D． 6．（24-25高二上·云南昭通·期中）有理数都能表示成（其中且与互质）的形式.任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如.已知构成无穷数列，令为数列的前项和，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河南周口·期中）若数列满足,，当时，，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（多选）（2025·河南郑州·一模）已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（      ） A． B． C． D． 10（多选）．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为14 11．（23-24高一下·内蒙古包头·期中）已知等差数列的前项和分别为，若，则 ． 12．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知为等差数列的前项和，且，给出下列说法： ①为的最大值；②；③；④.其中正确的是 . 13．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知数列满足且. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式. 14．（2024·四川成都·模拟预测）已知为数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 15．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知两个等比数列，，满足，，，. （1）若，求数列的通项公式； （2）若数列唯一，求的值和数列的前项和. 16．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期中）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，若数列前n项为 求证：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$