第三单元 长方体 正方体复习知识清单-五年级下册数学（西师大版）

【单元复习知识清单】2024-2025学年西师大版数学五年级下册 第三单元：长方体 正方体 知识点01：长方体的认识及特征 1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2、长方体特点： （1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。 （2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。 知识点02：正方体的认识及特征 1、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 2、正方体特点： （1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。 （2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。 （3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 知识点03：正方体和长方体的相同点及不同点 1、相同点：都有都有6个面、12条棱，8个顶点。 2、不同点：（1）长方体6个面都是长方形（有可能有两个相对的面是正方形），相对的棱的长度都相等。 （2）正方体 6个面都是正方形， 12条棱都相等。 知识点04：长方体、正方体有关棱长计算公式： (a：长 b：宽 c:高 L：棱长总和 S：表面积 V：体积) 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4 用字母表示为：L=（a＋b＋h）×4 长=棱长总和÷4－宽－高 宽=棱长总和÷4－长－高 高=棱长总和÷4－长－宽 正方体的棱长总和=棱长×12 用字母表示为： L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 知识点05：长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的面积之和叫做它的表面积。 2、长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 3、无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 4、无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 5、正方体的表面积=棱长×棱长×6 6、生活实际： 油箱、罐头盒等都是6个面 游泳池、鱼缸等都只有5个面 水管、烟囱等都只有4个面。 7、 注意： （1）用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加） （2）长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。 （如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。 知识点06：体积与容积的概念及单位换算 1、 体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。(从外部测量) 2、 容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。(从内部测量) 3、 注意： （1）同一个容器，体积大于容积；当容器壁很薄时，容积近等于体积。如果容器壁忽略不计时，容积等于体积。 （2）几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变(它们占空间的大小没有发生变化) 4、常用的体积单位：立方米()、立方分米(d)、立方厘米(c) 5、常用的容积单位：升、毫升 6、体积、容积单位之间的进率：相邻体积、容积单位间进率为1000 1=1000d 1d=1000c 1L=1d 1mL=1c 1L=1000mL 7、体积、容积单位之间的换算方法：体积、容积单位之间的换算，由高级单位化成低级单位乘进率，由低级单位化成高级单位除以进率。 知识点07：长方体及正方体体积计算 1、长方体的体积=长×宽×高 V=abh 长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h 宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h 高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b 2、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a= a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a） 3、长方体或正方体底面的面积叫做底面积。 长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=S h （横截面积相当于底面积，长相当于高）。 知识点08：不规则物体体积 1、不规则物体体积的测量方法：一般都是把不规则物体的体积转化成可通过测量计算的水的体积(注意液面是“升高了”还是"升高到“) 注意：在测量体积较小的不规则物体的体积时，要先测量出一定数量物体的体积，再算出一个物体的体积 2、不规则物体体积的计算方法：现在液体体积减去原来液体体积 考点01：长方体和正方体的特征 【典例分析01】长方体和正方体都有 个面， 条棱．长方体最多有 个面是正方形． 【答案】 6 12 2 【分析】围成封闭几何体的平面多边形称为多面体的面； 多面体上两个面的公共边称为多面体的棱。 【详解】长方体和正方体都有6个面，12条棱。长方体最多有2个面是正方形。 【点睛】这是关于长方体与正方体的概念解读，一定要掌握好。 【变式训练01】（判断）长方体的6个面不可能有正方形。( ) 【答案】× 【分析】举例说明即可。 【详解】，如图，长方体的6个面有2个正方形。原题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】本题考查了长方体的特征，特殊的长方体会有两个相对的面是正方形，另外四个面是完全相同的长方形。 【变式训练02】如果一个长方体有两个相对的面是正方形，那么其余的面（    ）。 A．面积一定相等 B．面积不相等 C．有的相等，有的不相等 【答案】A 【分析】长方体面的特征：有6个面，每个面都是长方形，相对的面完全相同，特殊情况下，有两个相对的面是正方形，其余的四个面完全相同，据此解答即可。 【详解】如果一个长方体有两个相对的面是正方形，那么其余的面面积一定相等； 故答案为：A。 【点睛】熟记长方体的特征是解答本题的关键。 【变式训练03】用棱长为2cm的小正方体拼成一个大正方体，至少需要( )个这样的小正方体。 【答案】8 【分析】用相同的小正方体块拼成一个较大的正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，由此即可解答。 【详解】2×2×2＝8（块） 【点睛】此题主要考查学生对正方体的特征的认识，正方体的每条棱都相等。 【变式训练04】（判断）有6个面，12条棱，8个顶点的立体图形一定是长方体或正方体。( ) 【答案】× 【分析】不一定，还有是梯柱或不规则立方体等；进而得出结论。 【详解】长方体或正方体的特征是：有6个面，12条棱，8个顶点，但是有6个面，12条棱，8个顶点的立体图形不一定是长方体或正方体。 如图还有这种不规则图形： 所以原题说法错误； 故答案为：× 【点睛】此题应结合图形，根据长方体和正方体的有关知识进行解答。 考点02：有关长方体棱长的计算及应用 【典例分析02】用铁丝焊成一个长24厘米、宽15厘米、高10厘米的长方体框架，至少需要铁丝( )厘米。 【答案】196 【分析】根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（24＋15＋10）×4即可求出铁丝的长度。 【详解】（24＋15＋10）×4 ＝49×4 ＝196（厘米） 至少需要铁丝196厘米。 【点睛】本题考查了长方体棱长和公式的灵活应用。 【变式训练01】求如图的棱长总和。   【答案】104厘米 【分析】根据长方体的棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，把数据代入棱长总和公式解答即可。 【详解】（14＋5＋7）×4 ＝26×4 ＝104（厘米） 【变式训练02】用一根包装绳捆扎一种礼品盒（如图）。如果打结处的绳长20cm，至少需要包装绳多少厘米？ 【答案】122厘米 【分析】看图可知，包装绳长度包括2条长、2条宽、4条高和打结处长度，因此包装绳长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处长度，据此列式解答。 【详解】16×2＋15×2＋10×4＋20 ＝32＋30＋40＋20 ＝122（厘米） 答：至少需要包装绳122厘米。 【变式训练03】长方体的长是1.5厘米，宽1.2厘米，高1厘米，它的棱长总和是( )。 【答案】14.8厘米/14.8cm 【分析】根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（1.5＋1.2＋1）×4即可求出长方体的棱长和。据此解答。 【详解】（1.5＋1.2＋1）×4 ＝3.7×4 ＝14.8（厘米） 它的棱长总和是14.8厘米。 【点睛】本题考查了长方体棱长和公式的应用，熟记相关公式是解答本题的关键。 考点03：有关正方体棱长的计算及应用 【典例分析03】有一根铁丝，恰好可以围成长6厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体框架，这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架，则围成的正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此求出铁丝的长度，铁丝的长度也是正方体框架的总棱长，再根据正方体的总棱长公式：L＝12a，用铁丝的长度除以12即可求出正方体框架的棱长。 【详解】（6＋3＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 48÷12＝4（厘米） 则围成的正方体框架的棱长是4厘米。 故答案为：B 【变式训练01】做一个棱长为5分米的正方体灯笼框架，至少需要多长的铁丝？ 【答案】60分米 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，用5×12即可求出铁丝的长度。据此解答。 【详解】5×12＝60（分米） 答：至少需要60分米长的铁丝。 【点睛】本题考查了正方体棱长和公式的应用，熟记相关公式是解答本题的关键。 【变式训练02】一个正方体棱长之和是72dm，这个正方体的一条棱长是( )dm。 【答案】6 【分析】正方体棱长和＝棱长×12，所以用正方体的棱长和除以12，即可求出它的一条棱长。 【详解】72÷12＝6（dm） 所以，这个正方体的一条棱长是6dm。 【点睛】本题考查了正方体的棱长和，掌握并灵活运用棱长和公式是解题的关键。 【变式训练03】用一根铁丝刚好焊成一个棱长10厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽6厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】正方体棱长和＝棱长×12，据此求出铁丝的长度。长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，将铁丝的长度除以4，再减去长和宽，即可求出这个长方体的高。 【详解】10×12÷4－10－6 ＝30－10－6 ＝14（厘米） 答：它的高应该是14厘米。 【点睛】本题考查了长方体和正方体的棱长和，熟记棱长和公式是解题的关键。 考点04：长方体表面积计算及应用 【典例分析04】丽丽家有两块长6dm，宽5dm的玻璃和两块长5dm，宽4dm的玻璃，它再配上一块玻璃后，做成了一个无盖的鱼缸，这个无盖鱼缸的表面积是（     ）dm2。 A．100 B．124 C．148 【答案】B 【分析】丽丽家有两块长6dm，宽5dm的玻璃和两块长5dm，宽4dm的玻璃，它再配上一块玻璃后，做成了一个无盖的鱼缸，所以这个鱼缸的长宽高长度分别是：6dm，4dm，5dm，根据鱼缸表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此解答即可。 【详解】表面积： （dm2） 故答案为：B 【变式训练01】求下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】56平方厘米 【分析】根据长方体的表面积公式，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 【变式训练02】一个棱长总和是76cm的长方体，它的底面是边长为5cm的正方形，那么这个长方体的表面积是( )cm2。 【答案】230 【分析】长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此用棱长之和76cm除以4，即可求出长、宽、高之和。已知长方体的底面是边长为5cm的正方形，则用长、宽、高之和减去两个5cm，即可求出长方体的高。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算即可解答。 【详解】76÷4－5－5 ＝19－5－5 ＝9（cm） （5×5＋5×9＋5×9）×2 ＝（25＋45＋45）×2 ＝115×2 ＝230（cm2） 则这个长方体的表面积是230cm2。 【变式训练03】一个长方体正好可以切成两个棱长是3厘米的正方体，这个长方体的表面积是（    ）。 A．108平方厘米 B．54平方厘米 C．90平方厘米 【答案】C 【分析】根据题意可知，长方体的长为两个正方体的棱长之和，即（3＋3）厘米，宽和高均为正方体的棱长，即为3厘米，结合长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可得出答案。 【详解】3＋3＝6（厘米） 2×（6×3＋6×3＋3×3） ＝2×（18＋18＋9） ＝2×45 ＝90（平方厘米） 长方形的表面积是90平方厘米。 故答案为：C 【变式训练04】一间教室长10米，宽6.8米，高3.2米，门窗面积一共22平方米。现在要粉刷它的四壁和屋顶，要粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】153.52平方米 【分析】求粉刷的面积相当于求长方体表面积，地面不用粉刷，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗面积，据此列式解答。 【详解】10×6.8＋10×3.2×2＋6.8×3.2×2－22 ＝68＋64＋43.52－22 ＝153.52（平方米） 答：要粉刷的面积是153.52平方米。 考点05：正方体表面积计算 【典例分析05】一个正方体的棱长和是60厘米，这个正方体的棱长是( )厘米，这个正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 5 150 【分析】根据正方体的棱长和公式：棱长和＝棱长×12；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可。 【详解】60÷12＝5（厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 一个正方体的棱长和是60厘米，这个正方体的棱长是5厘米，这个正方体的表面积是150平方厘米。 【变式训练01】用一根60cm长的铁丝刚好做一个正方体框架，框架的棱长是( )cm；在这个框架的四周贴上纸（上、下底面不贴），至少要用( )cm2的纸。 【答案】 5 100 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，求出框架的棱长；需要的纸的面积＝棱长×棱长×4，据此列式计算。 【详解】60÷12＝5（cm） 5×5×4＝100（cm2） 用一根60cm长的铁丝刚好做一个正方体框架，框架的棱长是5cm；在这个框架的四周贴上纸（上、下底面不贴），至少要用100cm2的纸。 【变式训练02】正方体的棱长总和是48厘米，它每条棱长是( )厘米，每面面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 4 16 96 【分析】由正方体的特征可知：正方体有12 条棱长，且每条棱长都相等，于是可以求出正方体的棱长的长度，进而可以求出这个正方体每面的面积和表面积。 【详解】48÷12＝4（厘米） 4×4＝16（平方厘米） 16×6＝96（平方厘米） 它每条棱长是4厘米，每面面积是16平方厘米，表面积是96平方厘米。 【变式训练03】（判断）一个正方体的棱长增加3厘米，它的表面积增加54平方厘米。( ) 【答案】× 【分析】设正方体的棱长为2厘米。增加后正方体的棱长为2＋3＝5厘米，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，分别求出原来正方体表面积和增加3厘米后正方体的表面积，再用增加后正方体的表面积－原来正方体的表面积，即可解答。 【详解】设正方体的棱长为2厘米，则增加后正方体的棱长是2＋3＝5（厘米） 5×5×6－2×2×6 ＝25×6－4×6 ＝150－24 ＝126（平方厘米） 126≠54 所以一个正方体的棱长增加3厘米，它的表面积不是增加54平方厘米。 原题干说法错误。 故答案为：× 【变式训练04】用一根60cm长的铁丝刚好做一个正方体框架，框架的棱长是( )cm；在这个框架的四周贴上纸（上、下底面不贴），至少要用( )cm2的纸。 【答案】 5 100 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，求出框架的棱长；需要的纸的面积＝棱长×棱长×4，据此列式计算。 【详解】60÷12＝5（cm） 5×5×4＝100（cm2） 用一根60cm长的铁丝刚好做一个正方体框架，框架的棱长是5cm；在这个框架的四周贴上纸（上、下底面不贴），至少要用100cm2的纸。 考点06：体积与容积的换算 【典例分析06】吨＝ 千克    12立方厘米＝ 立方分米   时＝ 分      2.5升＝ 立方分米＝ 立方厘米 【答案】 800 0.012 24 2.5 2500 【分析】先把分数化成小数，用分子除以分母即可； 然后根据进率：1吨＝1000千克，1立方分米＝1000立方厘米，1时＝60分，1升＝1立方分米；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）＝4÷5＝0.8 0.8×1000＝800（千克） 吨＝800千克 （2）12÷1000＝0.012（立方分米） 12立方厘米＝0.012立方分米 （3）＝2÷5＝0.4 0.4×60＝24（分） 时＝24分 （4）2.5升＝2.5立方分米 2.5×1000＝2500（立方厘米） 2.5升＝2.5立方分米＝2500立方厘米 【点睛】本题考查分数与小数的互化以及单位的换算，掌握各单位之间的进率以及转换方向是单位换算的关键。 【变式训练01】金龙鱼牌花生油油桶的标签上印有“净含量5升”的字样，“5升”指的是（   ） A．油桶的容积 B．桶内花生油的体积C．油桶的体积 D．油桶的表面积 【答案】B 【详解】解：金龙鱼牌花生油油桶的标签上印有“净含量5升”的字样，“5升”指的是桶内花生油的体积，  故选B． 金龙鱼牌花生油油桶的标签上印有“净含量5升”的字样，“5升”指桶中油的体积． 【变式训练02】（判断）一个乒乓球的体积约是34dm3。( ) 【答案】× 【分析】根据生活经验以及对体积单位的认识和数据大小，可知计量一个乒乓球的体积要用体积单位，结合数据大小应选用cm3。 【详解】一个乒乓球的体积约是34cm3。原题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】此题要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小进行判断。 【变式训练03】3.04m3＝( )dm3      347cm3＝( )dm3       30.03m2＝( )cm2 282cm3＝( )mL       4L80mL＝( )L         3.8L＝( )dm3( )cm3 【答案】 3040 0.347 300300 282 4.08 3 800 【分析】根据1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3，1m2＝10000cm2，1cm3＝1mL，1dm3＝1L，1L＝1000mL，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可；单名数换复名数，只换算小数部分即可。 【详解】3.04×1000＝3040（dm3）；347÷1000＝0.347（dm3）； 30.03×10000＝300300（cm2） 282×1＝282（mL）； 80÷1000＝0.08（L），4＋0.08＝4.08（L）；0.8×1000＝800（cm3） 3.04m3＝3040dm3；347cm3＝0.347dm3；30.03m2＝300300cm2 282cm3＝282mL；4L80mL＝4.08L；3.8L＝3dm3800cm3 【变式训练04】0.36m3＝( )dm3　　　　　7.5dm3＝( )cm3 9000cm3＝( )dm3                 3.6L＝( )mL 4700mL＝( )L           2.07dm3＝( )L( )mL 【答案】 360 7500 9 3600 4.7 2 70 【分析】本题是体积或容积单位之间的换算，大单位变成相邻的小单位，乘进率1000；小单位变成相邻的大单位，除以进率1000。据此解答。 【详解】0.36m3＝（ 360 ）dm3 0.36×1000＝360（dm3） 7.5dm3＝（ 7500 ）cm3 7.5×1000＝7500 （cm3） 9000cm3＝（ 9 ）dm3   9000÷1000＝9（dm3） 3.6L＝（3600）mL 3.6×1000＝3600（mL） 4700mL＝（4.7）L 4700÷1000＝4.7（L） 2.07dm3＝（2）L（70）mL 2.07dm3＝2.07L＝2L＋0.07L 0.07×1000＝70（mL） 【点睛】明确相邻的体积或容积单位之间的进率及单位换算的方向，是解答本题的关键。 【变式训练05】在括号里填上“>”“<”或“=”。 6.5m3( )650dm3     28.5L( )2850mL 200mL( )20L  53cm3( )53mL 900dm3( )0.9L      0.6立方米( )60升 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＝ ＞ ＞ 【分析】（1）根据1立方米＝1000立方分米，将6.5立方米化为6500立方分米，再比较大小即可； （2）（3）1升＝1000毫升，分别将28.5升化为28500毫升、20升化为20000毫升，再比较大小即可； （4）根据1立方厘米＝1毫升，将53立方厘米化为53毫升，再比较大小即可； （5）1立方分米＝1升，将0.9升化为0.9立方分米，再比较大小即可； （6）0.6立方米＝600立方分米＝600升，再比较大小即可。 【详解】由分析知，6.5＝6500，6500＞650，所以6.5＞650 28.5L＝28500mL，28500＞2850，所以28.5L＞2850mL 20L＝20000mL，200＜2000，所以200mL＜20L 53＝53mL 900＞0.9，所以900＞0.9L 0.6立方米＝600立方分米＝600升，600＞60，所以 0.6立方米＞60升 考点07：长方体的体积及容积的应用 【典例分析07】一块长方体钢材，长30分米，宽6分米，高5分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，这块钢材的质量是多少吨？ 【答案】7.02吨 【分析】根据“长方体体积＝长×宽×高”求出长方体钢材的体积，再乘每立方分米钢材的质量即可。 【详解】30×6×5×7.8 ＝900×7.8 ＝7020（千克） 7020千克＝7.02吨 答：这块钢材的质量是7.02吨。 【点睛】熟练掌握长方体的体积计算公式是解答本题的关键。 【变式训练01】如图是全运会济南赛区奥体中心游泳馆的主游泳池，它长50米、宽25米、深2米。 （1）建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米？ （2）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米。需要几小时注完？ 【答案】（1）2500立方米 （2）15小时 【分析】（1）要求建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米，把这个中心游泳池看作一个无盖的长方体，相当于求这个长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算即可解答。 （2）根据长方体的体积公式，求出注入的水的总体积，再除以150，所得结果即为需要几小时注完。 【详解】（1）50×25×2＝2500（立方米） 答：建造奥体中心游泳池至少需要挖土2500立方米。 （2）50×25×1.8÷150 ＝2250÷150 ＝15（小时） 答：需要15小时注完。 【变式训练02】一个长方体油箱，从里面量它的长为4分米，宽为2分米，高为5.4分米，做这个油箱至少需要铁皮多少平方分米？这个油箱最多能装汽油多少千克？（1升汽油的重量是0.75千克） 【答案】80.8平方分米；32.4千克 【分析】求做油箱需要的铁皮面积，实际上是求油箱的表面积，利用长方体的表面积公式即可求解；每升汽油的重量已知，乘油箱的容积就是这个油箱所能装的油的重量，为此只要利用长方体的体积公式先求出油箱的容积，即可逐步求解。 【详解】2×（4×2＋4×5.4＋2×5.4） ＝2×40.4 ＝80.8（平方分米） 4×2×5.4 ＝8×5.4 ＝43.2（立方分米） ＝43.2（升） 43.2×0.75＝32.4（千克） 答：做这个油箱至少需要铁皮80.8平方分米，这个油箱最多能装汽油32.4千克。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法在实际中的应用，要注意单位要统一。 考点08：正方体体积及容积的应用 【典例分析08】两个棱长都是5分米的正方体，一个是木块，另一个是铁块，它们的体积相比（     ）大。 A．铁块 B．木块 C．同样 【答案】C 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出木块和铁块的体积，再进行比较即可。 【详解】木块和铁块的体积都为5×5×5＝125（立方分米），它们的体积相等； 故答案为：C。 【点睛】熟练掌握正方体的体积的计算公式是解答本题的关键。 【变式训练01】在一个长是6dm，宽是3dm，高是2dm的长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的体积是（     ）。 A．216dm3 B．27dm3 C．8dm3 【答案】C 【分析】长方体中割一个最大的正方体，正方体的棱长就是长方体中最短的棱长即2dm，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算即可。 【详解】2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方分米） 故选：C 【点睛】本题考查正方体的体积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。 【变式训练02】一个正方体的底面周长是，它的体积是（     ）。 A．9 B．27 C．36 【答案】B 【分析】根据底面周长求出正方体棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算即可。 【详解】12÷4＝3（厘米） 3×3×3＝27（立方厘米） 故答案为：B 【点睛】关键是确定正方体棱长，掌握正方体体积公式。 【变式训练03】把一个棱长为8厘米的大正方体切成棱长为2厘米的小正方体，可以切成( )个小正方体，每个小正方体的体积是原来大正方体的( )。 【答案】 64 【分析】先求出大正方体的体积，再求出小正方体的体积，然后用大正方体的体积除以小正方体的体积，就可以求出切的个数，用小正方体的体积除以大正方体的体积，即为每个小正方体的体积占大正方体体积的几分之几。 【详解】大正方体的体积：8×8×8＝512（立方厘米） 小正方体的体积：2×2×2＝8（立方厘米） 512÷8＝64（个），8÷512＝ 可以切成64个小正方体，每个小正方体的体积是原来大正方体的。 【点睛】此题考查了正方体的体积公式的灵活应用，需要牢记公式。 【变式训练04】在长8m、宽2.6m、高3m的集装箱中摆放棱长是8dm的正方体货箱，最多能摆（     ）个。 A．9 B．90 C．121 D．122 【答案】B 【分析】分别求出长方体的长、宽、高各包含正方体棱长的个数，就是说长、宽、高中最多有多少个正方体的棱长，再将长、宽、高包含的正方体的棱长个数相乘，即可解答。 【详解】8米＝80分米；2.6米＝26分米；3米＝30分米 80÷8＝10（个） 26÷8＝3（个）……2（分米） 30÷8＝3（个）……6（分米） 最多可装正方体货箱个数： 10×3×3 ＝30×3 ＝90（个） 故答案选：B 【点睛】本题考查长方体、正方体体积的计算的应用，关键是单位名数的互换，以及取整数。 考点09：组合体的表面积及体积 【典例分析09】计算下面图形的表面积和体积。 【答案】表面积：1700cm2；体积：4000cm3 【分析】根据图可知，表面积可以看作一个长方体和一个正方体拼在一起，由于拼在一起的地方会减少两个接触面的面积，即减少了2个边长是10cm的正方形面积，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，求出两个物体的表面积，再相加，之后减去2个接触面的面积即可；根据长方体的体积公式：长×宽×高；正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，分别求出两个物体的体积再相加即可。 【详解】表面积：（20×10＋20×15＋10×15）×2＋10×10×6－10×10×2 ＝（200＋300＋150）×2＋600－200 ＝650×2＋600－200 ＝1300＋600－200 ＝1700（cm2） 体积：20×10×15＋10×10×10 ＝3000＋1000 ＝4000（cm3） 表面积是1700cm2；体积是4000cm3。 【变式训练01】下图中甲的表面积（　　）乙的表面积。 A．大于 B．等于 C．小于 【答案】B 【分析】甲是一个完整的立体图形，乙在顶点处取掉了一个小正方体，露出了3个面，这3个面向外平移，正好补齐缺口，补成一个与甲一样的完整立体图形，所以两个物体的表面积一样大。 【详解】由分析可知，甲的表面积等于乙的表面积。 故答案为：B 【变式训练02】（判断）4块棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少8平方厘米。( ) 【答案】× 【分析】4个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体有2种拼法，一种是上面两个小正方体，下面两个小正方体，此时的长是2厘米，宽是1厘米，高是2厘米；另一种是排成一排，长是4厘米，宽是1厘米，高是1厘米，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体的表面积公式：棱长×棱长×6；把长方体的表面积以及4个小正方体表面积的和求出来，再判断即可。 【详解】当拼成长是2厘米，宽是1厘米，高是2厘米的长方体 表面积：（2×1＋2×2＋1×2）×2 ＝（2＋4＋2）×2 ＝8×2 ＝16（平方厘米） 当拼成长是4厘米，宽是1厘米，高是1厘米的长方体 表面积：（4×1＋4×1＋1×1）×2 ＝（4＋4＋1）×2 ＝9×2 ＝18（平方厘米） 4个小正方体的表面积和：1×1×6×4＝24（平方厘米） 24－16＝8（平方厘米） 24－18＝6（平方厘米） 4块棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少8平方厘米或者是6平方厘米，原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练03】用1cm3的小正方体拼成一个立体图形，从前面、右面、上面看到的图形如右图所示。这个立体图形体积最少是( )cm3。 【答案】11 【分析】根据从右面、上面和前面看到的形状，摆这样的立体图形可分为前、后两排，上、下两层，前排下层最少需要一行4个小正方体，前排上层最左边有1个小正方体，中间偏右有1个小正方体，最右边有1个小正方体；后排下层最少需要一行3个小正方体，后排上层最左边有1个小正方体（方法不唯一），这样最少需要11个小正方体，再用1个小正方体的体积×小正方体的数量，即可解答。 【详解】如图： ，搭成立体图形最少需要11个小正方体。 1×11＝11（cm3） 用1cm3的小正方体拼成一个立体图形，从前面、右面、上面看到的图形如右图所示。这个立体图形体积最少是11cm3。 【变式训练04】用若干个体积为1cm3的小正方体拼成一个立体图形，分别从它的前面、右面、上面看到的相应图形如图所示。这个立体图形的体积最多是（    ）cm3。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据立体图形的前面、右面、上面看到的平面图形可知，这个立体图形有两层，下层分两行，前一行有3个小正方体，后一行有2个小正方体，右齐，共有5个小正方体；上层分两行，前一行最多有3个小正方体，后一行最多有2个小正方体，共有5个小正方体；所以拼成这个立体图形最多用了10小正方体；最后用每个小正方体的体积乘小正方体的总个数，即是这个立体图形的体积。 【详解】拼成的立体图形如下图： 这个立体图形最多由10个小正方体拼成。 1×10＝10（cm3） 这个立体图形的体积最多是10cm3。 故答案为：B 【变式训练05】如图，在一个长方体的一角挖去一个小正方体后，得到一个新的立体图形。新的立体图形和原来长方体相比，下面说法正确的是（    ）。 A．体积变小，表面积不变 B．体积和表面积都变小 C．体积变小，表面积变大 D．体积和表面积都变大 【答案】A 【分析】新的立体图形的体积＝大长方体的体积－小正方体的体积，体积变小；在一个长方体的一角挖去一个小正方体后，看上去表面积减少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形的面，因此表面积不变，据此分析。 【详解】新的立体图形和原来长方体相比，根据分析，体积变小，表面积不变。 故答案为：A 考点10：长方体和正方体的切拼 【典例分析10】把3个棱长1cm的小正方体，拼成一个长方体，表面积与原来相比的结果是（     ）。 A．减少2cm2 B．减少4cm2 C．减少6cm2 D．大小不变 【答案】B 【分析】 三个棱长是1cm的小正方体拼成一个长方体，如图：，长方体的表面积与原来3个小正方体的表面积相比，减少了4个（1×1）cm2的面积，据此解答。 【详解】1×1×4＝4（cm2） 即表面积与原来相比的结果是减少4cm2。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，分析出表面积减少4个小正方形的面积是解答题目的关键。 【变式训练01】把一个棱长是10cm的正方体切成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和是（     ）。 A．400cm2 B．600cm2 C．800cm2 【答案】C 【分析】根据题意可知，正方体切成两个完全相同的长方体，表面积增加两个边长是10cm的正方形的面积，先根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，先求出原来正方体的表面积，再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出增加部分的面积，再把它们相加，即可解答。 【详解】10×10×6＋10×10×2 ＝100×6＋100×2 ＝600＋200 ＝800（cm2） 把一个棱长是10cm的正方体切成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和是800cm2。 故答案为：C 【变式训练02】（判断）把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。( ) 【答案】× 【分析】几何体在拼接的过程中，因为面的重合，会引起表面积的减少；而两个正方体拼接在一起，每个正方体所占空间的大小没有改变，只是合二为一了，所以体积不会减少；据此解答。 【详解】如图： 把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了两个面，体积还是两个正方体的体积之和，所以表面积减少了，体积不变，原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练03】把一个长120分米，宽是60分米，高是40分米的长方体锯成一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方米。 【答案】64 【分析】长方体锯成一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的最短的棱长，即这个正方体的棱长为40分米，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答 【详解】40分米＝4米 4×4×4＝64（立方米） 把一个长120分米，宽是60分米，高是40分米的长方体锯成一个最大的正方体，这个正方体的体积是64立方米。 【变式训练04】把2个棱长是4厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的表面积比原来2个小正方体表面积的和减少了( )平方厘米。 【答案】32 【分析】2个正方体拼成一个长方体后，表面积减少了两个正方形的面积，据此解答。 【详解】4×4×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 这个长方体的表面积比原来2个小正方体表面积的和减少了32平方厘米。 【变式训练05】把两个棱长相等的正方体拼成一个长方体，表面积减少了18dm2，一个正方体的棱长是( )dm，拼成的长方体体积是( )dm3。 【答案】 3 54 【分析】 如图，把两个棱长相等的正方体拼成一个长方体，表面积减少了2个面，减少的表面积÷2＝1个正方形面积，根据正方形面积＝边长×边长，确定一个正方体的棱长；拼成的长方体体积＝正方体体积×2，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【详解】18÷2＝9（dm2） 9＝3×3 3×3×3＝27（dm3） 27×2＝54（dm3） 一个正方体的棱长是3dm，拼成的长方体体积是54dm3。 【变式训练06】把两个长8厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体木块拼在一起，表面积比原来两个的和最多减少 平方厘米。 【答案】80 【分析】将两个长方体拼成一个长方体，减少的面积是接触的两个面，要使减少的面积最多，就要使接触的面积最大，此时减少的面积为（8×5×2）平方厘米。 【详解】8×5×2 ＝40×2 ＝80（平方厘米） 所以表面积比原来两个的和最多减少80平方厘米。 考点11：不规则物体的体积计算 【典例分析11】小实验：测量一块石头的体积。 步骤1：准备一个长方体玻璃缸，从里面测量长是25cm，宽是8cm，高是12cm。 步骤2：往玻璃缸中倒入1升水。 步骤3：把一块石头放入玻璃缸中，被水完全浸没。 步骤4：测出水面上升3cm。 （1）这块石头的体积是多少立方厘米？ （2）如果再往这个长方体玻璃缸中倒入1升的水，水会溢出吗？ 【答案】（1）600立方厘米 （2）水会溢出 【分析】（1）石头的体积等于放入石头后上升部分水的体积，上升部分水的体积＝玻璃缸的长×玻璃缸的宽×上升部分水的高度，据此解答。 （2）用水的体积除以玻璃缸的底面积，求出水的高度；2升水的高度和上升部分高度之和，与长方体玻璃缸高度进行比较，看是否会溢出即可。 【详解】体积： （立方厘米） 答：这块石头的体积是600立方厘米。 （2）1升＝1000立方厘米 水高： （厘米） （厘米）厘米 答：水会溢出。 【变式训练01】小明在一个底面积为90dm2的长方体鱼缸中放了一个假山石，水面上升了4cm．这个假山石的体积是多少立方分米？ 【答案】36立方分米 【分析】假山石是浸没在水中的，水面上升部分水的体积就是假山石的体积，由此用鱼缸的底面积乘水面上升的高度即可求出假山石的体积． 【详解】4cm=0.4dm，90×0.4=36(dm3) 答：这假山石的体积是36立方分米． 【变式训练02】数学课上，小华要测量一块不规则石块的体积，他将石块放入盛有水的长方体容器里，根据如图中的信息，石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】176立方厘米 【分析】石块完全浸没在水里后，石块的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为10厘米，宽为8厘米，高为7.5厘米的长方体的体积减去长为10厘米，宽为8厘米，高为5.3厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入即可求解。 【详解】10×8×7.5－10×8×5.3 ＝10×8×（7.5－5.3） ＝80×2.2 ＝176（立方厘米） 答：石块的体积是176立方厘米。 【变式训练03】在外婆家的院子里，乐乐看见舅舅制作的节水蓄水缸，将生活用水二次利用。制作方法：在长为2米，宽为1.8米的铁皮四个角上各裁剪掉一个边长60厘米的正方形，然后焊接而成（如图）。 （1）这个蓄水缸的占地面积是多少平方米？ （2）这个蓄水缸能蓄水多少升？ （3）乐乐想测量一块假山石的体积，先把假山石放在蓄水缸里，再往里面注入30厘米深的水，让假山石完全浸没。然后把假山石取出，发现水面下降了2厘米。这块假山石的体积是多大？ 【答案】（1）0.48平方米 （2）288升 （3）9.6立方分米 【分析】根据题意，在长为2米，宽为1.8米的铁皮四个角上各裁剪掉一个边长60厘米即0.6米的正方形，然后焊接而成一个长方体蓄水缸，那么这个长方体蓄水缸的长是2－0.6－0.6＝0.8米，宽是1.8－0.6－0.6＝0.6米，高是0.6米。 （1）这个蓄水缸的占地面积是一个长0.8米、宽0.6米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出它的占地面积。 （2）根据长方体的体积（容积）＝底面积×高，求出它能蓄水的体积，并根据进率“1立方米＝1000升”换算单位。 （3）根据题意，先把一块假山石放在蓄水缸里，再注入水把假山石完全浸没，取出假山石后，发现水面下降了2厘米即0.02米；那么水面下降部分的体积就是这块假山石的体积；根据长方体的体积＝底面积×高，求出这块假山石的体积，并根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位。 【详解】（1）60厘米＝0.6米 长：2－0.6－0.6＝0.8（米） 宽：1.8－0.6－0.6＝0.6（米） 占地面积：0.8×0.6＝0.48（平方米） 答：这个蓄水缸的占地面积是0.48平方米。 （2）0.48×0.6＝0.288（立方米） 0.288立方米＝288升 答：这个蓄水缸能蓄水288升。 （3）2厘米＝0.02米 0.48×0.02＝0.0096（立方米） 0.0096立方米＝9.6立方分米 答：这块假山石的体积是9.6立方分米。 1、 选择题 1．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的（     ）倍。 A．3 B．9 C．27 D．6 【答案】C 【分析】可以设原来的正方体的棱长是1厘米，棱长扩大到原来的3倍，棱长变成3厘米，利用正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，分别计算出前后的正方体的体积，比较即可。 【详解】假设原来的棱长是1厘米。 原来的正方体的体积：1×1×1＝1（立方厘米） 1×3＝3（厘米） 3×3×3＝27（立方厘米） 27÷1＝27 一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的27倍。 故答案为：C 2．一根长方体木料，它的横截面积是9cm2，把它截成3段，表面积增加（     ）。 A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 【答案】C 【分析】根据题意，把长方体木料截成3段，要截2次；每截一次增加2个截面，截2次增加4个截面，表面积会增加4个截面的面积；由此用长方体横截面的面积乘4，即可求出增加的表面积。 【详解】增加的截面个数： （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 增加的表面积：9×4＝36（cm2） 表面积增加36cm2。 故答案为：C 3． 一个长方体被挖掉一小块正方体（如图），下面说法完全正确的是（     ）。A．体积减少，表面积也减少 B． 体积减少，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 【答案】C 【分析】根据长方体的体积、表面积的意义，从长方体的顶点上挖掉一个小正方体，因为这个小正方体原来外露3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变，体积减少了，据此解答即可。 【详解】由分析可知：一个长方体被挖掉一小块正方体，则此时体积减少，表面积不变。 故答案为：C 4．把一根长的长方体木料锯成两段后，表面积增加了，原长方体木料的体积是（     ）cm3。 A．100 B．200 C．10000 【答案】C 【分析】根据题意可知，把这根木料锯成两段，表面积比原来增加两个截面的面积，据此可以求出长方体木料的底面积，再根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】2米厘米 （cm³） 故答案为：C 5．四个同样的礼品盒，每个长10cm，宽7cm，高2cm。下面四种不同的包装方式，（     ）最省包装纸。 A． B．C． D． 【答案】A 【分析】要想最省包装纸，就是求这四个长方体拼成大长方体后的表面积最小，即求出哪种包装方式下，拼成的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。 【详解】A．表面积减少了： 10×7×6 ＝70×6 ＝420（cm2） B．表面积减少了： 10×7×4＋7×2×4 ＝70×4＋14×4 ＝280＋56 ＝336（cm2） C．表面积减少了： 10×2×4＋7×2×4 ＝20×4＋14×4 ＝80＋56 ＝136（cm2） D．表面积减少了： 10×2×6 ＝20×6 ＝120（cm2） 420＞336＞136＞120 故答案为：A 二、填空题 6．一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 【答案】9 27 【分析】正方体棱长扩大几倍，表面积扩大倍数×倍数，体积扩大倍数×倍数×倍数，据此分析。 【详解】3×3＝9 3×3×3＝27 【点睛】正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 7．挖一个长方体的蓄水池，长15米，宽8米，深3米，这个水池的占地面积是( ) 平方米。 【答案】120 【分析】已知蓄水池的长15米，宽8米，深3米，要求其占地面积，就是求底面的面积，可依据长×宽来计算。 【详解】15×8＝120（平方米），这个水池的占地面积是120平方米。 【点睛】对于本题，深3米属于干扰项，因为求底面积与蓄水池的深度无关。 8．用铁丝焊接一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架，至少需要铁丝( )厘米。 【答案】60 【分析】求长方体的总棱长，根据长方体棱长的特征，四条相等的长、四条相等的宽和四条相等的高，它们的和，即（长＋宽＋高）×4，即可解答。 【详解】（6＋5＋4）×4 ＝（11＋4）×4 ＝15×4 ＝60（厘米） 至少需要铁丝60厘米。 【点睛】本题考查长方体棱长的计算，熟知长方体的特征，进行解答。 9．一个正方体的棱长总和是48dm，它的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】96 64 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，已知一个正方体的棱长总和是48dm，用48除以12求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，以及正方体的体积公式：V＝a3，代入数据即可求出它的表面积和体积。 【详解】48÷12＝4（dm） 6×42 ＝6×16 ＝96（dm2） 43＝4×4×4＝64（dm3） 即它的表面积是96dm2，体积是64dm3。 【点睛】解答此题的主要依据是：正方体共有12条棱长，且每条棱长都相等以及正方体的表面积公式、体积公式。 10．一根长方体木料长2米，宽和高都是2分米，把它锯成3段，表面积至少增加( )平方分米。 【答案】16 【分析】这根长方体木料长2米，宽和高都是2分米，要求的至少增加的面积，可沿着2×2的截面来锯；长方体木材锯一次则增加两个面的面积，根据题意可知长方体木材锯了两次，增加了四个面的面积。 【详解】 （平方分米） 【点睛】此题考查了长方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体表面积的计算公式。 11．一个长方体的棱长总和是80cm，其中长是10cm，宽是7cm，高是( )cm。 【答案】3 【分析】因为“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，所以先用“80÷4”求出长方体一条长、宽和高的和，用长、宽、高的和减去长和宽即可求出高。 【详解】80÷4－10－7 ＝20－10－7 ＝3（cm） 【点睛】此题考查的目的是掌握长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法进行解答。 12．单位换算。 4.5立方厘米＝( )立方分米      750立方厘米＝( )立方米 12立方分米＝( )立方厘米    4.07立方米＝( )立方米( )立方分米 【答案】0.0045 0.00075 12000 4 70 【分析】根据1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，进行换算即可。 【详解】4.5立方厘米÷1000＝0.0045立方分米； 750立方厘米÷1000000＝0.00075立方米 12立方分米×1000＝12000立方厘米； 0.07立方米×1000＝70立方分米， 4.07立方米＝4立方米70立方分米 【点睛】单位大变小乘进率，单位小变大除以进率。 13.用一根120厘米长的铁丝做成一个正方体框架，正方体框架的棱长是( )厘米，给它的6个面贴上纸，至少需要纸( )平方厘米。 【答案】10 600 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，用120÷12即可求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6求出至少需要多少平方厘米的纸。 【详解】120÷12＝10（厘米） 10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 正方体框架的棱长是10厘米，至少需要纸600平方厘米。 【点睛】本题考查了正方体棱长和公式和表面积公式的灵活应用。 14.将体积是1dm3的正方体木块切成体积为1cm3的小正方体，一共可以切( )块。将这些小正方体连成一排的长度是( )m。 【答案】1000 10 【分析】（1）先把1dm3换算成1000cm3，再用正方体木块的体积÷小正方体的体积，可求出一共可以切的小正方体的块数。 （2）体积为1cm3的小正方体的棱长是1cm，用1×小正方体的块数，可以求出将这些小正方体连成一排的长度。 【详解】1dm3＝1000cm3 1000÷1＝1000（块） 1×1000＝1000（cm） 1000cm＝10m 所以一共可以切1000块。将这些小正方体连成一排的长度是10m。 【点睛】将一个正方体切割成若干个小正方体，求切成的小正方体的个数，有两种方法：（1）用正方体的体积除以小正方体的体积；（2）用正方体的棱长除以小正方体的棱长，然后求得个数。 15.用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm，这个长方体的体积是( )cm3。如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，这个正方体框架的表面积是( )cm2。 【答案】108 600 486 【分析】根据题意，用一根铁丝围成一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即可求出这个铁丝的长度；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个长方体的体积。 如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出这个正方体的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出这个正方体框架的表面积。 【详解】长方体的棱长总和： （12＋10＋5）×4 ＝27×4 ＝108（cm） 长方体的体积： 12×10×5 ＝120×5 ＝600（cm3） 正方体的棱长： 108÷12＝9（cm） 正方体的表面积： 9×9×6 ＝81×6 ＝486（cm2） 至少需要铁丝108cm，这个长方体的体积是600cm3，这个正方体框架的表面积是486cm2。 【点睛】本题考查长方体棱长总和、正方体棱长总和、长方体体积、正方体表面积公式的灵活运用，明确用同一根铁丝围成长方体或正方体框架，那么铁丝的长度等于长方体或正方体的棱长总和。 三、判断题 16．把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状和体积都发生了改变。( ) 【答案】× 【分析】根据长方体的特征和长方体体积的计算方法，由题意知：把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状改变了，体积没有发生改变。 【详解】把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状改变了，体积没有发生改变。 故答案是：× 【点睛】能理解把不规则物体捏成长方体（均为实心），形状改变了，体积没有改变，是解决此题的关键。 17．从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少。( ) 【答案】√ 【分析】画图，从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，少了一部分，体积肯定是减少的，求表面积的话，可以画出现在这个图形的三视图，三视图的面积之和是不变的，所以表面积也是不变的。 【详解】如图所示： 从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少，题干阐述正确。 故答案为：√ 【点睛】从顶点处切，表面积不变，从棱上切，表面积增加两个小正方体的面，从面上切，表面积增加4个小正方体的面。 18．用4个棱长1厘米的正方体可以摆成2种不同形状的长方体，这两个长方体的表面积不相等，体积也不相等。( ) 【答案】× 【分析】如图所示，可以把4个小正方体摆成一行，此时长方体的长是4厘米，宽是1厘米，高是1厘米，也可以把4个小正方体摆成2行，每行2个小正方体，此时长方体的长是2厘米，宽是2厘米，高是1厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”“长方体的体积＝长×宽×高”分别求出长方体的表面积和体积，据此解答。 【详解】 表面积：（4×1＋1×1＋4×1）×2 ＝（4＋1＋4）×2 ＝9×2 ＝18（平方厘米） 体积：4×1×1＝4（立方厘米） 表面积：（2×2＋2×1＋2×1）×2 ＝（4＋2＋2）×2 ＝8×2 ＝16（平方厘米） 体积：2×2×1＝4（立方厘米） 由上可知，这两个长方体的表面积不相等，体积相等。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查立体图形的拼切，掌握长方体的表面积和体积计算公式是解答题目的关键。 19．体积相等的两个正方体，它们的表面积一定相等。( )。 【答案】√ 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此分析。 【详解】根据正方体的体积公式可知，体积相等的两个正方体棱长一定相等，所以它们的表面积也相等。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了正方体的体积与表面积公式的运用。 20．棱长是2cm的正方体，它的棱长总和与表面积大小相等。( ) 【答案】× 【分析】正方体共有12条棱，可求出总的棱长；正方体的表面积公式为棱长×棱长×6，可求出表面积，再对二者进行比较，需要注意单位的不同，即可解出本题。 【详解】正方体的棱长总和为：2×12=24（cm）； 正方体的表面积为：2×2×6=24（），二者虽然数字一样，但一个表示的是长度，另一个表示面积，度量单位不同，无法比较，故本题错误。 【点睛】本题主要考查的是正方体的棱长和表面积计算，需要注意的是两者单位并不同，是不同度量单位，无法直接比较。 四、计算题 21．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【分析】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算即可。 【详解】长方体的表面积： （8×3＋8×3＋3×3）×2 ＝（24＋24＋9）×2 ＝57×2 ＝114（） 正方体4个面的面积： 3×3×4 ＝9×4 ＝36（） 一共：114＋36＝150（） 图形的表面积是150。 22．求下面图形的体积。（单位：cm） 【分析】观察图形可知，该图形的体积等于长方体的体积减去顶点处的小正方体的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝，据此进行计算即可。 【详解】10×5×4－2×2×2 ＝200－8 ＝192（） 五、解答题 23．一个长方体水箱，里面长14厘米、宽10厘米、深16厘米，给里面加入10厘米深的水（如下图 a），贝贝将一块石头放入水中后，水面比原来上升2.5厘米（如下图 b）。求石头的体积是多少？ 【分析】根据题意，将一块石头放入水中后，水面比原来上升2.5厘米，那么石头的体积等于水面上升部分的体积；水面上升部分是一个长14厘米、宽10厘米、高2.5厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这块石头的体积。 【详解】14×10×2.5 ＝140×2.5 ＝350（立方厘米） 答：石头的体积是350立方厘米。 【点睛】本题考查不规则物体体积的求法，明确放入石头的体积等于水面上升部分的体积，然后利用长方体的体积公式解答。 24．有一块长方形铁皮（如图），长60分米，宽50分米。在铁皮的四个角分别剪去一个边长是5分米的正方形，然后焊成一个长方体容器。 （1）做这个无盖的长方体容器用了多少平方分米的铁皮？ （2）这个长方体容器的容积是多少升？ 【分析】（1）观察图形可知，做这个无盖的长方体容器所需铁皮的面积＝长方形的面积－4个正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解； （2）从图中可知，长方体的长是（60－5×2）分米，宽是（50－5×2）分米，高是5分米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1立方分米＝1升”求解。 【详解】（1）60×50－5×5×4 ＝3000－100 ＝2900（平方分米） 答：做这个无盖的长方体容器用了2900平方分米的铁皮。 （2）（60－5×2）×（50－5×2）×5 ＝（60－10）×（50－10）×5 ＝50×40×5 ＝10000（立方分米） 10000立方分米＝10000升 答：这个长方体容器的容积是10000升。 【点睛】本题考查长方体的表面积、体积公式的灵活运用，在求长方体的容积时，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 25．阅读材料，回答问题。 材料一国家游泳中心又名“水立方”，在2022年北京冬奥会变身成“冰立方”，成为国际首个泳池上架设冰壶赛道的“双奥场馆”。 材料二“水立方”拥有国际标准的游泳池，长50米，宽25米，池深3米，水深2米。 材料三冬奥会冰壶赛场通常每条赛道长45.72米，宽5米，铺设约4.5厘米厚度的冰面。 （1）在“水立方”的游泳池的四壁和底面贴瓷片，贴瓷片的面积至少是多少平方米？ （2）“冰立方”内有4条冰壶赛道，一共需要用冰大约多少立方米？ 【分析】（1）根据题意，在游泳池的四壁和底面贴瓷片，求贴瓷片的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可； （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，求出一条冰壶赛道用冰的体积，再乘4即可得解。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】（1）50×25＋50×3×2＋25×3×2 ＝1250＋300＋150 ＝1700（平方米） 答：贴瓷片的面积至少是1700平方米。 （2）4.5厘米＝0.045米 45.72×5×0.045 ＝228.6×0.045 ＝10.287（立方米） 10.287×4＝41.148（立方米） 答：一共需要用冰大约41.148立方米。 【点睛】本题考查长方体的表面积、体积公式的灵活运用，在求长方体的表面积时，要先弄清长方体缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 26．一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.2分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 【分析】（1）根据题意，长方体玻璃鱼缸（无盖）缺少上面（长和宽组成的长方形），所以玻璃的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）先求出水的体积与正方体铁块的体积之和，再计算鱼缸体积，如果水和铁块的体积比鱼缸体积大就会溢出，如果比鱼缸体积小则不会溢出，根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长； （3）根据（2）中计算可知水不会溢出，水深＝水与铁块的体积÷鱼缸底面积；据此解答。 【详解】（1）8×5＋（8×6＋5×6）×2 ＝40＋78×2 ＝40＋156 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。 （2）8×5×5.2＋3×3×3 ＝40×5.2＋27 ＝208＋27 ＝235（立方分米） 8×5×6 ＝40×6 ＝240（立方分米） 240＞235 答：鱼缸里的水不会溢出。 （3）235÷（5×8） ＝235÷40 ＝5.875（分米） 答：现在水深是5.875分米。 【点睛】此题考查了长方体的表面积、体积计算，关键灵活运用公式解答。 27．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成了一个正方体，表面积就比原来增加60平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的60平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长＝（60÷4）÷3＝5厘米，由于长比高多2厘米，那么高＝5－3＝2厘米，由此解答。 【详解】增加的1个面的面积：60÷4＝15（平方厘米） 长方体的长（宽）：15÷3＝5（厘米） 长方体的高：5－3＝2（厘米） 体积：5×5×2＝50（立方厘米） 答：原来长方体的体积是50立方厘米。 【点睛】理解增加的60平方厘米是4个同样的长方形的面积和，并知道长方体的体积公式是解决此题的关键。 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【单元复习知识清单】2024-2025学年西师大版数学五年级下册 第三单元：长方体 正方体 知识点01：长方体的认识及特征 1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2、长方体特点： （1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。 （2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。 知识点02：正方体的认识及特征 1、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 2、正方体特点： （1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。 （2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。 （3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 知识点03：正方体和长方体的相同点及不同点 1、相同点：都有都有6个面、12条棱，8个顶点。 2、不同点：（1）长方体6个面都是长方形（有可能有两个相对的面是正方形），相对的棱的长度都相等。 （2）正方体 6个面都是正方形， 12条棱都相等。 知识点04：长方体、正方体有关棱长计算公式： (a：长 b：宽 c:高 L：棱长总和 S：表面积 V：体积) 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4 用字母表示为：L=（a＋b＋h）×4 长=棱长总和÷4－宽－高 宽=棱长总和÷4－长－高 高=棱长总和÷4－长－宽 正方体的棱长总和=棱长×12 用字母表示为： L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 知识点05：长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的面积之和叫做它的表面积。 2、长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 3、无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2 4、无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 5、正方体的表面积=棱长×棱长×6 6、生活实际： 油箱、罐头盒等都是6个面 游泳池、鱼缸等都只有5个面 水管、烟囱等都只有4个面。 7、 注意： （1）用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加） （2）长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。 （如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。 知识点06：体积与容积的概念及单位换算 1、 体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。(从外部测量) 2、 容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。(从内部测量) 3、 注意： （1）同一个容器，体积大于容积；当容器壁很薄时，容积近等于体积。如果容器壁忽略不计时，容积等于体积。 （2）几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变(它们占空间的大小没有发生变化) 4、常用的体积单位：立方米()、立方分米(d)、立方厘米(c) 5、常用的容积单位：升、毫升 6、体积、容积单位之间的进率：相邻体积、容积单位间进率为1000 1=1000d 1d=1000c 1L=1d 1mL=1c 1L=1000mL 7、体积、容积单位之间的换算方法：体积、容积单位之间的换算，由高级单位化成低级单位乘进率，由低级单位化成高级单位除以进率。 知识点07：长方体及正方体体积计算 1、长方体的体积=长×宽×高 V=abh 长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h 宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h 高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b 2、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a= a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a） 3、长方体或正方体底面的面积叫做底面积。 长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=S h （横截面积相当于底面积，长相当于高）。 知识点08：不规则物体体积 1、不规则物体体积的测量方法：一般都是把不规则物体的体积转化成可通过测量计算的水的体积(注意液面是“升高了”还是"升高到“) 注意：在测量体积较小的不规则物体的体积时，要先测量出一定数量物体的体积，再算出一个物体的体积 2、不规则物体体积的计算方法：现在液体体积减去原来液体体积 考点01：长方体和正方体的特征 【典例分析01】长方体和正方体都有 个面， 条棱．长方体最多有 个面是正方形． 【变式训练01】（判断）长方体的6个面不可能有正方形。( ) 【变式训练02】如果一个长方体有两个相对的面是正方形，那么其余的面（    ）。 A．面积一定相等 B．面积不相等 C．有的相等，有的不相等 【变式训练03】用棱长为2cm的小正方体拼成一个大正方体，至少需要( )个这样的小正方体。 【变式训练04】（判断）有6个面，12条棱，8个顶点的立体图形一定是长方体或正方体。( ) 考点02：有关长方体棱长的计算及应用 【典例分析02】用铁丝焊成一个长24厘米、宽15厘米、高10厘米的长方体框架，至少需要铁丝( )厘米。 【变式训练01】求如图的棱长总和。   【变式训练02】用一根包装绳捆扎一种礼品盒（如图）。如果打结处的绳长20cm，至少需要包装绳多少厘米？ 【变式训练03】长方体的长是1.5厘米，宽1.2厘米，高1厘米，它的棱长总和是( )。 考点03：有关正方体棱长的计算及应用 【典例分析03】有一根铁丝，恰好可以围成长6厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体框架，这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架，则围成的正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．1 B．4 C．8 D．16 【变式训练01】做一个棱长为5分米的正方体灯笼框架，至少需要多长的铁丝？ 【变式训练02】一个正方体棱长之和是72dm，这个正方体的一条棱长是( )dm。 【变式训练03】用一根铁丝刚好焊成一个棱长10厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽6厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？ 考点04：长方体表面积计算及应用 【典例分析04】丽丽家有两块长6dm，宽5dm的玻璃和两块长5dm，宽4dm的玻璃，它再配上一块玻璃后，做成了一个无盖的鱼缸，这个无盖鱼缸的表面积是（     ）dm2。 A．100 B．124 C．148 【变式训练01】求下面图形的表面积。（单位：cm） 【变式训练02】一个棱长总和是76cm的长方体，它的底面是边长为5cm的正方形，那么这个长方体的表面积是( )cm2。 【变式训练03】一个长方体正好可以切成两个棱长是3厘米的正方体，这个长方体的表面积是（    ）。 A．108平方厘米 B．54平方厘米 C．90平方厘米 【变式训练04】一间教室长10米，宽6.8米，高3.2米，门窗面积一共22平方米。现在要粉刷它的四壁和屋顶，要粉刷的面积是多少平方米？ 考点05：正方体表面积计算 【典例分析05】一个正方体的棱长和是60厘米，这个正方体的棱长是( )厘米，这个正方体的表面积是( )平方厘米。 【变式训练01】用一根60cm长的铁丝刚好做一个正方体框架，框架的棱长是( )cm；在这个框架的四周贴上纸（上、下底面不贴），至少要用( )cm2的纸。 【变式训练02】正方体的棱长总和是48厘米，它每条棱长是( )厘米，每面面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 【变式训练03】（判断）一个正方体的棱长增加3厘米，它的表面积增加54平方厘米。( ) 【变式训练04】用一根60cm长的铁丝刚好做一个正方体框架，框架的棱长是( )cm；在这个框架的四周贴上纸（上、下底面不贴），至少要用( )cm2的纸。 考点06：体积与容积的换算 【典例分析06】吨＝ 千克    12立方厘米＝ 立方分米   时＝ 分      2.5升＝ 立方分米＝ 立方厘米 【变式训练01】金龙鱼牌花生油油桶的标签上印有“净含量5升”的字样，“5升”指的是（   ） A．油桶的容积 B．桶内花生油的体积C．油桶的体积 D．油桶的表面积 【变式训练02】（判断）一个乒乓球的体积约是34dm3。( ) 【变式训练03】3.04m3＝( )dm3      347cm3＝( )dm3       30.03m2＝( )cm2 282cm3＝( )mL   4L80mL＝( )L         3.8L＝( )dm3( )cm3 【变式训练04】0.36m3＝( )dm3　　　　　7.5dm3＝( )cm3 9000cm3＝( )dm3                 3.6L＝( )mL 4700mL＝( )L           2.07dm3＝( )L( )mL 【变式训练05】在括号里填上“>”“<”或“=”。 6.5m3( )650dm3     28.5L( )2850mL 200mL( )20L  53cm3( )53mL 900dm3( )0.9L      0.6立方米( )60升 考点07：长方体的体积及容积的应用 【典例分析07】一块长方体钢材，长30分米，宽6分米，高5分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，这块钢材的质量是多少吨？ 【变式训练01】如图是全运会济南赛区奥体中心游泳馆的主游泳池，它长50米、宽25米、深2米。 （1）建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米？ （2）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米。需要几小时注完？ 【变式训练02】一个长方体油箱，从里面量它的长为4分米，宽为2分米，高为5.4分米，做这个油箱至少需要铁皮多少平方分米？这个油箱最多能装汽油多少千克？（1升汽油的重量是0.75千克） 考点08：正方体体积及容积的应用 【典例分析08】两个棱长都是5分米的正方体，一个是木块，另一个是铁块，它们的体积相比（     ）大。 A．铁块 B．木块 C．同样 【变式训练01】在一个长是6dm，宽是3dm，高是2dm的长方体中割一个最大的正方体，这个正方体的体积是（     ）。 A．216dm3 B．27dm3 C．8dm3 【变式训练02】一个正方体的底面周长是，它的体积是（     ）。 A．9 B．27 C．36 【变式训练03】把一个棱长为8厘米的大正方体切成棱长为2厘米的小正方体，可以切成( )个小正方体，每个小正方体的体积是原来大正方体的( )。 【变式训练04】在长8m、宽2.6m、高3m的集装箱中摆放棱长是8dm的正方体货箱，最多能摆（     ）个。 A．9 B．90 C．121 D．122 考点09：组合体的表面积及体积 【典例分析09】计算下面图形的表面积和体积。 【变式训练01】下图中甲的表面积（　　）乙的表面积。 A．大于 B．等于 C．小于 【变式训练02】（判断）4块棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少8平方厘米。( ) 【变式训练03】用1cm3的小正方体拼成一个立体图形，从前面、右面、上面看到的图形如右图所示。这个立体图形体积最少是( )cm3。 【变式训练04】用若干个体积为1cm3的小正方体拼成一个立体图形，分别从它的前面、右面、上面看到的相应图形如图所示。这个立体图形的体积最多是（    ）cm3。 A．9 B．10 C．11 D．12 【变式训练05】如图，在一个长方体的一角挖去一个小正方体后，得到一个新的立体图形。新的立体图形和原来长方体相比，下面说法正确的是（    ）。 A．体积变小，表面积不变 B．体积和表面积都变小 C．体积变小，表面积变大 D．体积和表面积都变大 考点10：长方体和正方体的切拼 【典例分析10】把3个棱长1cm的小正方体，拼成一个长方体，表面积与原来相比的结果是（     ）。 A．减少2cm2 B．减少4cm2 C．减少6cm2 D．大小不变 【变式训练01】把一个棱长是10cm的正方体切成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和是（     ）。 A．400cm2 B．600cm2 C．800cm2 【变式训练02】（判断）把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。( ) 【变式训练03】把一个长120分米，宽是60分米，高是40分米的长方体锯成一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方米。 【变式训练04】把2个棱长是4厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的表面积比原来2个小正方体表面积的和减少了( )平方厘米。 【变式训练05】把两个棱长相等的正方体拼成一个长方体，表面积减少了18dm2，一个正方体的棱长是( )dm，拼成的长方体体积是( )dm3。 【变式训练06】把两个长8厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体木块拼在一起，表面积比原来两个的和最多减少 平方厘米。 考点11：不规则物体的体积计算 【典例分析11】小实验：测量一块石头的体积。 步骤1：准备一个长方体玻璃缸，从里面测量长是25cm，宽是8cm，高是12cm。 步骤2：往玻璃缸中倒入1升水。 步骤3：把一块石头放入玻璃缸中，被水完全浸没。 步骤4：测出水面上升3cm。 （1）这块石头的体积是多少立方厘米？ （2）如果再往这个长方体玻璃缸中倒入1升的水，水会溢出吗？ 【变式训练01】小明在一个底面积为90dm2的长方体鱼缸中放了一个假山石，水面上升了4cm．这个假山石的体积是多少立方分米？ 【变式训练02】数学课上，小华要测量一块不规则石块的体积，他将石块放入盛有水的长方体容器里，根据如图中的信息，石块的体积是多少立方厘米？ 【变式训练03】在外婆家的院子里，乐乐看见舅舅制作的节水蓄水缸，将生活用水二次利用。制作方法：在长为2米，宽为1.8米的铁皮四个角上各裁剪掉一个边长60厘米的正方形，然后焊接而成（如图）。 （1）这个蓄水缸的占地面积是多少平方米？ （2）这个蓄水缸能蓄水多少升？ （3）乐乐想测量一块假山石的体积，先把假山石放在蓄水缸里，再往里面注入30厘米深的水，让假山石完全浸没。然后把假山石取出，发现水面下降了2厘米。这块假山石的体积是多大？ 1、 选择题 1．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的（     ）倍。 A．3 B．9 C．27 D．6 2．一根长方体木料，它的横截面积是9cm2，把它截成3段，表面积增加（     ）。 A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 3． 一个长方体被挖掉一小块正方体（如图），下面说法完全正确的是（     ）。A．体积减少，表面积也减少 B． 体积减少，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 4．把一根长的长方体木料锯成两段后，表面积增加了，原长方体木料的体积是（     ）cm3。 A．100 B．200 C．10000 5．四个同样的礼品盒，每个长10cm，宽7cm，高2cm。下面四种不同的包装方式，（     ）最省包装纸。 A． B．C． D． 二、填空题 6．一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 7．挖一个长方体的蓄水池，长15米，宽8米，深3米，这个水池的占地面积是( ) 平方米。 8．用铁丝焊接一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架，至少需要铁丝( )厘米。 9．一个正方体的棱长总和是48dm，它的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 10．一根长方体木料长2米，宽和高都是2分米，把它锯成3段，表面积至少增加( )平方分米。 11．一个长方体的棱长总和是80cm，其中长是10cm，宽是7cm，高是( )cm。 12．单位换算。 4.5立方厘米＝( )立方分米      750立方厘米＝( )立方米 12立方分米＝( )立方厘米    4.07立方米＝( )立方米( )立方分米 13.用一根120厘米长的铁丝做成一个正方体框架，正方体框架的棱长是( )厘米，给它的6个面贴上纸，至少需要纸( )平方厘米。 14.将体积是1dm3的正方体木块切成体积为1cm3的小正方体，一共可以切( )块。将这些小正方体连成一排的长度是( )m。 15.用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm，这个长方体的体积是( )cm3。如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，这个正方体框架的表面积是( )cm2。 三、判断题 16．把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状和体积都发生了改变。( ) 17．从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少。( ) 18．用4个棱长1厘米的正方体可以摆成2种不同形状的长方体，这两个长方体的表面积不相等，体积也不相等。( ) 19．体积相等的两个正方体，它们的表面积一定相等。( )。 20．棱长是2cm的正方体，它的棱长总和与表面积大小相等。( ) 四、计算题 21．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 22．求下面图形的体积。（单位：cm） 五、解答题 23．一个长方体水箱，里面长14厘米、宽10厘米、深16厘米，给里面加入10厘米深的水（如下图 a），贝贝将一块石头放入水中后，水面比原来上升2.5厘米（如下图 b）。求石头的体积是多少？ 24．有一块长方形铁皮（如图），长60分米，宽50分米。在铁皮的四个角分别剪去一个边长是5分米的正方形，然后焊成一个长方体容器。 （1）做这个无盖的长方体容器用了多少平方分米的铁皮？ （2）这个长方体容器的容积是多少升？ 25．阅读材料，回答问题。 材料一国家游泳中心又名“水立方”，在2022年北京冬奥会变身成“冰立方”，成为国际首个泳池上架设冰壶赛道的“双奥场馆”。 材料二“水立方”拥有国际标准的游泳池，长50米，宽25米，池深3米，水深2米。 材料三冬奥会冰壶赛场通常每条赛道长45.72米，宽5米，铺设约4.5厘米厚度的冰面。 （1）在“水立方”的游泳池的四壁和底面贴瓷片，贴瓷片的面积至少是多少平方米？ （2）“冰立方”内有4条冰壶赛道，一共需要用冰大约多少立方米？ 26．一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.2分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。 （3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？ 27．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成了一个正方体，表面积就比原来增加60平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$