2024年广东省茂名市信宜市平塘中学九年级中考数学一模试卷

2024年信宜市平塘中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）﹣2的相反数是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．﹣3 2．（3分）如图图形中，是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6 C．（a3）2＝a6 D．a6÷a2＝a3 4．（3分）一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）在下面的四个几何体中，它们各自的三视图相同的是（　　） A．B．C．D． 6．（3分）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，如果点都在抛物线上，那么（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 8．（3分）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 9．（3分）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比，p关于V的函数图象如图所示．若压强由100kPa减压至75kPa，则气体体积的变化情况是（　　） A．增大，增大了40mL B．减小，减小了40mL C．增大，增大了25mL D．减小，减小了25mL 10．（3分）如图，将一张长方形纸片，分别沿着EP，FP对折，使点B落在点B'，点C落在点C'，点P、B'、C'不在同一直线上，若∠EPF+∠B'PC'＝111°，则∠B'PC'的度数为（　　） A．10° B．8° C．12° D．14° 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）的值为 　 　 ． 12．（3分）据国家邮政局公布：2023年我国累计完成快业务量1320.7亿件，平均每个人收发了约94个快递包裹，将数据“1320.7亿”件用科学记数法表示为 　 　 件． 13．（3分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 　 　 ． 14．（3分）物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 　 　 （填“大”或“小”）． 15．（3分）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝　 　 m/s． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）计算：． 17．（8分）如图所示，在△ABC的边AC上取一点D，连接BD，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AB，BD，BC于点E，O，F，连接DE，DF． （1）若ED∥BC，判断四边形BEDF的形状并说明理由； （2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求四边形BEDF的面积． 18．（8分）过年包饺子是中国新年传统习俗之一，在中国，饺子不仅仅是一种食物，它还象征着团圆、和谐和幸福．大年三十当天，小美的爸爸、妈妈一起为全家制作美味的饺子，小美的爸爸擀皮，妈妈包饺子，一共制作了80个饺子，小美发现爸爸每分钟擀皮的个数是妈妈包饺子的4倍，爸爸擀面皮的时间比妈妈包饺子的时间少用了20分钟，请你根据以上信息，求出爸爸每分钟擀皮的个数和妈妈每分钟包饺子的个数． 19．（9分）在某档歌唱比赛中，由10位专业评审和10位大众评审对甲、乙两位参赛歌手进行评分（单位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示；10位大众评审的评分折线统计图如图②所示． （1）填空： 歌手 专业评分 大众评分 平均数/分 中位数/分 众数/分 平均数/分 方差/分2 甲 8 　 　 8.9 6.8 3.36 乙 7.9 8 　 　 7 s乙2 （2）计算乙的大众评分的方差s乙2； （3）若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按7：3的比例计算参赛歌手的最终得分，哪位选手的得分更高？ 20．（9分）如图，BC为圆O的直径，已知AD⊥BC，点P在CB延长线上，AB平分∠PAD． （1）求证：PA是圆O的切线； （2）若，圆的半径为5，求PA，PB的长． 21．（9分）根据以下素材，探索完成任务 如何设计纸盒 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子． 问题解决 任务1 初步探究：折一个底面积为484cm2无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 22．（12分）综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE． 猜想证明： （1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由； （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长． 23．（12分）综合与探究 如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标； （2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B． B C A B A A C A D 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．【解答】解：﹣2的相反数是2． 故选：B． 2．【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 3．【解答】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意； C、（a3）2＝a6，故此选项符合题意； D、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．【解答】解：∵不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球，1个黄球， ∴从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为． 故选：A． 5．【解答】解：A．圆锥的左视图和主视图都是相同的等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B．正方体的三视图都是正方形，故本选项符合题意； C．该三棱柱的主视图一个矩形，俯视图是一列两个相邻的矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意； D．圆柱的左视图和主视图都是相同的长方形，俯视图是圆，故本选项不合题意； 故选：B． 6．【解答】解：如图， ∵AB＝BC，∠C＝25°， ∴∠C＝∠BAC＝25°， ∵l1∥l2，∠1＝60°， ∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°， ∵∠BEA＝∠C+∠2， ∴∠2＝95°﹣25°＝70°． 故选：A． 7．【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为y轴， ∴x＞0时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴a＜b＜c． 故选：A． 8．【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴∠AOC∠BOC， ∴∠BOC180°＝135°． ∴所对的圆心角度数为135°． 故选：C． 9．【解答】解：设反比例函数解析式为：P，点（200，60）在反比例函数图象上， ∴k＝200×60＝12000， ∴反比例函数解析式为P，由图象可知，P随V的增大而减小， 当P＝100时，V＝120；当P＝75时，V＝160， ∴若压强由100kPa减压至75kPa，则气体体积的变化情况是增大了40（ml）， 故选：A． 10．【解答】解：由折叠得∠BPE＝∠B′PE∠BPB′，∠CPF+∠C′PF∠CPC′， ∵∠B′PE+∠C′PF+∠B'PC'＝∠EPF，且∠EPF+∠B'PC'＝111°， ∴∠B′PE+∠C′PF+∠B'PC'+∠B'PC'＝111°， ∴∠BPE+∠CPF＝∠BPE'+∠C'PF＝111°﹣2∠B'PC'， ∵∠BPE+∠CPF+∠BPE'+∠C'PF+∠B'PC'＝180°， ∴111°﹣2∠B'PC'+111°﹣2∠B'PC'+∠B'PC'＝180°， ∴∠B'PC'＝14°， 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．【解答】解：， 故答案为：4． 12．【解答】解：1320.7亿＝132070000000＝1.3207×1011． 故答案为：1.3207×1011． 13．【解答】解：， ∵解不等式①得：x≥3， 又∵不等式组无解， ∴a≤3， 故答案为：a≤3． 14．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0， ∴动力随动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，β的度数越来越大，此时cosβ的值越来越小， ∴阻力臂越来越小，阻力不变， ∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大， ∴此时动力越来越小， 故答案为：小． 15．【解答】解：设反比例函数解析式为v， ∵机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s； ∴k＝60×6＝360， ∴反比例函数解析式为v， 当m＝90kg时，v4（m/s）， 答：当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝4m/s． 故答案为：4． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．【解答】原式＝221 ． 17．【解答】解：（1）四边形BEDF是菱形． 理由：∵EF垂直平分线段BD， ∴OD＝OB， ∵DE∥BF， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△EOD和△FOB中， ， ∴△EOD≌△FOB（SAS）， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BD⊥EF， ∴四边形BEDF是菱形； （2）过点D作DH⊥BC于点H． ∵∠C＝45°，CD＝6， ∴DH＝CH＝3， ∵四边形BEDF是菱形， ∴BE∥DF， ∴∠DFH＝∠ABC＝60°， ∴∠FDH＝30°， ∴DF＝2FH， ∵DF2＝FH2+（3）2， ∴3FH2＝18， ∴FH，DF＝BF＝2， ∴菱形BEDF的面积＝﹣BF•DH＝2312． 18．【解答】解：设妈妈每分钟包饺子x个，则爸爸每分钟擀皮4x个， 由题意知，． 解得x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意． ∴4x＝12． 答：妈妈每分钟包饺子3个，则爸爸每分钟擀皮12个． 19．【解答】解：（1）把歌手甲的专业评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、8，故中位数为8； 歌手乙的专业评分中8出现的次数最多，故众数为8． 故答案为：8，8； （2）乙的大众评分的方差s乙2[4×（8﹣7）2+3×（7﹣7）2+2×（6﹣7）2+（5﹣7）2]＝1； （3）歌手甲的最终得分为：7.64（分）， 歌手乙的最终得分为：7.63（分）， ∵7.64＞7.63， ∴甲的得分更高． 20．【解答】（1）证明：连接OA，则∠AOB＝2∠C， ∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC， ∴，∠AEC＝90°， ∴∠DAB＝∠C， ∵AB平分∠PAD， ∴∠PAD＝2∠DAB＝2∠C， ∴∠PAD＝∠AOB， ∴∠OAP＝∠PAD+∠OAD＝∠AOB+∠OAD＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且PA⊥OA， ∴PA是⊙O的切线． （2）解：∵∠BAC＝90°，∠PAB＝∠DAB＝∠C， ∴tanC＝tan∠PAB， ∵∠PAB＝∠C，∠P＝∠P， ∴△PAB∽△PCA， ∴， ∴PC＝2PA，PA＝2PB， ∴PC＝4PB， ∵⊙O的半径为5， ∴BC＝2×5＝10， ∴PB+10＝4PB， ∴PB， ∴PA＝2， ∴PA的长为，PB的长为． 21．【解答】解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体盒子的底面边长为（40﹣2x）cm， 根据题意可列方程得：（40﹣2x）2＝484， 解得：x1＝9，x2＝31， ∵40﹣2x＞0，即x＜20， ∴x＝9， 答：剪掉的小正方形的边长为9cm； 任务2：设剪掉的小正方形的边长为a cm，折成的无盖长方体盒子的侧面积为S cm2， 根据题意可得：S＝a•（40﹣2a）＝﹣2（a﹣10）2+200， ∵﹣2＜0，且0＜a＜20， ∴当a＝10时，S有最大值，最大值为200， 答：当剪掉的小正方形的边长为10cm时，折成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值，最大面积为200cm2． 22．【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形， 理由如下： ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°， 又∵∠BEF＝90°， ∴四边形BE'FE是矩形， 又∵BE＝BE'， ∴四边形BE'FE是正方形； （2）CF＝E'F； 理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H， ∵DA＝DE，DH⊥AE， ∴AHAE， ∴∠ADH+∠DAH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠EAB＝90°， ∴∠ADH＝∠EAB， 又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°， ∴△ADH≌△BAE（AAS）， ∴AH＝BEAE， ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴AE＝CE'， ∵四边形BE'FE是正方形， ∴BE＝E'F， ∴E'FCE'， ∴CF＝E'F； （3）如图①，过点D作DH⊥AE于H， ∵四边形BE'FE是正方形， ∴BE'＝E'F＝BE， ∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2， ∴225＝E'B2+（E'B+3）2， ∴E'B＝9＝BE， ∴CE'＝CF+E'F＝12， 由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12， ∴HE＝3， ∴DE3． 23．【解答】解：（1）由 y＝﹣x2+4x 得，当 y＝0 时，﹣x2+4x＝0， 解得 x1＝0，x2＝4， ∵点A在x轴正半轴上． ∴点A的坐标为（4，0）． 设直线AB的函数表达式为 y＝kx+b（k≠0）． 将A，B两点的坐标 （4，0），（1，3）分别代入 y＝kx+b， 得 ， 解得， ∴直线AB的函数表达式为 y＝﹣x+4． 将x＝0代入 y＝﹣x+4，得 y＝4． ∴点C的坐标为（0，4）； （2）①解：∵点P在第一象限内二次函数 y＝﹣x2+4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m． ∴点P，D的坐标分别为 P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4）， ∴PE＝﹣m2+4m．DE＝﹣m+4，OE＝m， ∵点C的坐标为（0，4）， ∴OC＝4． ， ∴PD＝2． 如图1，当点P在直线AB上方时，PD＝PE﹣DE＝﹣m2+4m﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4， ∵PD＝2， ∴﹣m2+5m﹣4＝2， 解得 m1＝2．m2＝3． 如图2，当点P在直线AB下方时，PD＝DE﹣PE＝﹣m+4﹣（﹣m2+4m）＝m2﹣5m+4， ∵PD＝2， ∴m2﹣5m+4＝2， 解得 ， ∵0＜m＜1，m． 综上所述，m的值为2或3或； ②解：如图3， 由（2）①得，OE＝m，PE＝﹣m2+4m，DE＝﹣m+4． ∵BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为（1，3）， ∴OQ＝1， ∵点P在直线AB上方， ∴EQ＝m﹣1． ∵PE⊥x轴于点E， ∴∠OQF＝∠OEP＝90°， ∴FQ∥DE，∠FOQ＝∠POE， ∴△FOQ∽△POE， ∴， ∴， ∴， ∴FQ＝DE， ∴四边形FQED为平行四边形， ∵PE⊥x轴， ∴四边形FQED为矩形． ∴S＝EQ•FQ＝（m﹣1）（﹣m+4），即S＝﹣m2+5m﹣4， ∵﹣1＜0，1＜m＜4， ∴当m时，S的最大值为； 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$