1.3 不等式及其性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

高考一轮复习考点通关 【专题1.3不等式及其性质】 一：考纲要求 1. 理解不等式的性质及其证明：要求考生深入理解不等式的各种性质，如对称性、传递性、加法单调性、乘法单调性等，并能够对这些性质进行证明。这是解不等式和证明不等式的理论基础。 2. 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式：切实掌握这三种证明方法的步骤及适用范围，提高数学式的变形能力。比较法是证明不等式最基本的方法，包括作差比较法和作商比较法；分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件；综合法是从已知条件出发，利用不等式的性质和已知的不等式，逐步推导出要证明的结论。 二．考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 1. 不等式性质：理解对称性、传递性、加法与乘法单调性等性质，能准确判断命题真假，运用性质推导不等式。 2. 比较大小：掌握作差法、作商法，通过变形判断差或商与0或1的关系，确定大小。 2024年：全国新Ⅰ卷第18题（1），4分；上海卷）。 2023年：全国新Ⅰ卷第22题（2），8分。 2022年：新Ⅰ卷第18题（2），6分；新Ⅱ卷第12题，5分。 2021年：新Ⅰ卷第5题，5分；全国乙卷第8题，5分。 2020年：新Ⅰ卷第20题（2），6分；天津卷第14题，5分 考查形式多样：在高考中，不等式及其性质的考查涉及选择题、填空题和解答题等多种题型。这要求考生对不等式的知识有全面且深入的理解，能够灵活运用不同的方法解决各种类型的问题。 知识点覆盖广泛：考查内容涵盖不等式的基本性质、基本不等式、不等式的解法等。其中，基本不等式在求最值、证明不等式等方面应用频繁，不等式的解法则常与其他知识结合，考查学生的综合运算能力。 注重知识综合运用：常与函数、数列、几何等内容相结合。例如与函数结合，利用函数的单调性解不等式，或通过不等式求函数的最值；与数列结合，根据数列的通项公式或前$n$项和公式建立不等式求解参数范围或判断数列的单调性；与解析几何结合，通过建立不等式求解参数取值范围或解决最值问题。 难度逐渐提升：对学生的逻辑思维和推理能力要求较高。题目往往需要考生进行复杂的变形、推理和分析，不仅要熟练掌握不等式的基本性质和定理，还需具备较强的数学思维能力和解题技巧，能够在多种条件和限制下准确找到解题思路。 三：考点梳理 【题型一：比较大小】 【知识讲解】 比较大小的方法 作差法：通过判断与的大小关系来确定与的大小关系。若，则；若，则；若，则。步骤为作差、变形、定号、结论。 作商法：当，均为正数时，通过判断与的大小关系来确定与的大小关系。若，则；若，则；若，则。步骤为作商、变形、与比较大小、结论。 特殊值法：对于一些选择题或填空题，可选取符合条件的特殊值代入进行计算和比较，从而快速得出答案。 利用函数单调性法：构造函数，根据函数的单调性来比较大小。若函数在区间上单调递增，且，，，则；若函数在区间上单调递减，且，，，则。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（2020·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】多选题（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（2022·山东滨州·二模）（多选）若实数a，b满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】多选题（2024·安徽·模拟预测）若，则（    ）． A． B． C． D． 【相似题3】多选题（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【题型二：不等式的基本性质】 【知识讲解】 不等式的基本性质 对称性：若，则；反之，若，则。 传递性：若且，那么。 加法性质：若，则。 乘法性质：若，，那么；若，，则 例题精选 【例题1】（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）设，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 【例题3】（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【相似题2】多选题（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）下列命题中，真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型三：不等式性质的应用】 例题精选 【例题1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2024高三下·全国·专题练习）记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为 ． 【相似题2】（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【相似题3】 （2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 课后针对训练 一、单选题 1．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 2．（2018·全国III卷·高考真题）设，，则 A． B． C． D． 3．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高三上·贵州·阶段练习）下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建泉州·一模）若实数，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2025·海南·三模）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江温州·模拟预测）已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西新余·模拟预测）若实数满足：，则下列不等式一定成立的是：（     ）. A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）设，是非零实数，若，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川德阳·模拟预测），则下列命题中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【专题1.3不等式及其性质】 一：考纲要求 1. 理解不等式的性质及其证明：要求考生深入理解不等式的各种性质，如对称性、传递性、加法单调性、乘法单调性等，并能够对这些性质进行证明。这是解不等式和证明不等式的理论基础。 2. 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式：切实掌握这三种证明方法的步骤及适用范围，提高数学式的变形能力。比较法是证明不等式最基本的方法，包括作差比较法和作商比较法；分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件；综合法是从已知条件出发，利用不等式的性质和已知的不等式，逐步推导出要证明的结论。 二．考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 1. 不等式性质：理解对称性、传递性、加法与乘法单调性等性质，能准确判断命题真假，运用性质推导不等式。 2. 比较大小：掌握作差法、作商法，通过变形判断差或商与0或1的关系，确定大小。 2024年：全国新Ⅰ卷第18题（1），4分；上海卷）。 2023年：全国新Ⅰ卷第22题（2），8分。 2022年：新Ⅰ卷第18题（2），6分；新Ⅱ卷第12题，5分。 2021年：新Ⅰ卷第5题，5分；全国乙卷第8题，5分。 2020年：新Ⅰ卷第20题（2），6分；天津卷第14题，5分 考查形式多样：在高考中，不等式及其性质的考查涉及选择题、填空题和解答题等多种题型。这要求考生对不等式的知识有全面且深入的理解，能够灵活运用不同的方法解决各种类型的问题。 知识点覆盖广泛：考查内容涵盖不等式的基本性质、基本不等式、不等式的解法等。其中，基本不等式在求最值、证明不等式等方面应用频繁，不等式的解法则常与其他知识结合，考查学生的综合运算能力。 注重知识综合运用：常与函数、数列、几何等内容相结合。例如与函数结合，利用函数的单调性解不等式，或通过不等式求函数的最值；与数列结合，根据数列的通项公式或前$n$项和公式建立不等式求解参数范围或判断数列的单调性；与解析几何结合，通过建立不等式求解参数取值范围或解决最值问题。 难度逐渐提升：对学生的逻辑思维和推理能力要求较高。题目往往需要考生进行复杂的变形、推理和分析，不仅要熟练掌握不等式的基本性质和定理，还需具备较强的数学思维能力和解题技巧，能够在多种条件和限制下准确找到解题思路。 三：考点梳理 【题型一：比较大小】 【知识讲解】 比较大小的方法 作差法：通过判断与的大小关系来确定与的大小关系。若，则；若，则；若，则。步骤为作差、变形、定号、结论。 作商法：当，均为正数时，通过判断与的大小关系来确定与的大小关系。若，则；若，则；若，则。步骤为作商、变形、与比较大小、结论。 特殊值法：对于一些选择题或填空题，可选取符合条件的特殊值代入进行计算和比较，从而快速得出答案。 利用函数单调性法：构造函数，根据函数的单调性来比较大小。若函数在区间上单调递增，且，，，则；若函数在区间上单调递减，且，，，则。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用作差法证明充分性成立，根据赋值法判断必要性不成立，即可求解. 【详解】当时，， ， 所以成立，即充分性成立， 取，，此时满足，但不成立，即必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例题2】（2020·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作商法判断A；利用特值法判断BD；利用作差法判断C. 【详解】选项A中，若，则, 由于，所以成立，故A正确； 选项B中，，，由，取， 则，此时，，即，故B错误； 选项C中，若，则， 由于，则，故C错误； 选项D中，令，则，故D错误. 故选：A. 【例题3】多选题（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作差判断A；举例说明判断BD；利用不等式的性质判断C. 【详解】， 对于A，，则，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，，因此，C正确； 对于D，，取，满足，而，D错误. 故选：AC 相似练习 【相似题1】多选题（2022·山东滨州·二模）（多选）若实数a，b满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据对数函数单调性性质得到，运用不等式性质判断A，作差法判断B，运用对数函数和幂函数性质判断C，D. 【详解】因，则，于是有，A不正确； ，即，B正确； 由，得，因此，，C正确； 因，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则，D正确. 故选：BCD. 【相似题2】多选题（2024·安徽·模拟预测）若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于选项A：利用作差法分析判断即可；对于B：举反例说明即可；对于C：根据对数函数单调性分判断；对于D：构建函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 若，则， 可得， 所以，故A正确； 对于选项B：例如，则， 即，不合题意，故B错误； 对于选项C：因为，则， 即，故C错误； 对于选项D：设，则， 可知在内单调递增， 若，则，即， 所以，故D正确； 故选：AD. 【相似题3】多选题（23-24高二下·宁夏银川·期末）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，显然，即，则，故B正确； 对于C，若，且，则，故C正确； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：BCD. 【题型二：不等式的基本性质】 【知识讲解】 不等式的基本性质 对称性：若，则；反之，若，则。 传递性：若且，那么。 加法性质：若，则。 乘法性质：若，，那么；若，，则 例题精选 【例题1】（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD利用不等式性质无法推出，都可举出反例进行否定；C可借助于指数函数的单调性，结合不等式的性质得到证明. 【详解】选项A： 举反例：取，，，，则 ，，显然 不成立，因此A不恒成立； 选项B： 举反例：取 ，，，，则 ，，显然 不成立，故B不恒成立； 选项C： 由于指数函数 是严格递增函数， 和 分别推出 和 ，因此 恒成立，因此C恒成立； 选项D： 举反例：取，，，，则 ，，显然 不成立，因此D不恒成立. 【例题2】（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）设，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】B 【分析】由不等式的性质可判断A，B；由基本不等式可判断C；由在上单调递增可判断D. 【详解】对于A，若，则，则，正确； 对于B，若，则，则，不正确； 对于C，若，则，正确； 对于D，因为函数在上单调递增， ，，正确. 故选：B. 【例题3】（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质以及作差法可求得结果. 【详解】对于A：因为，利用不等式的性质得，故A错误； 对于B：根据不等式可加性可知：，则，故B错误； 对于C：作差可得，因为，所以，则，故C正确； 对于D：，则，根据不等式可加性可知：，故D错误. 故选：C. 相似练习 【相似题1】多选题（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又因为，所以，而，即，， 所以，故C正确； 对于D，设，即， 则，解得，所以， 又，则，且， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD 【相似题2】多选题（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）下列命题中，真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例可判断A；利用作差法可判断B；利用不等式的基本性质可判断C；结合对数函数的性质可得，进而判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由，则， 所以，故B正确； 对于C，由，得，所以， 又，所以，因此，故C正确； 对于D，由，得，即， 当时，命题不成立，故D错误． 故选：BC． 【题型三：不等式性质的应用】 例题精选 【例题1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的同向可加性得到结果. 【详解】因为，得，，所以． 故选：B． 【例题2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 【例题3】（2024高三下·全国·专题练习）记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，所以，即，解不等式即可得到答案. 【详解】因为，所以，，所以， 所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：A 相似练习 【相似题1】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题设、，结合已知得、，即可得结果. 【详解】若，由，可得， 所以，即， 若，则有，所以，即， 故的最小值为． 故答案为： 【相似题2】（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 【相似题3】 （2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 若，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 综上可知的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在和前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”. 课后针对训练 一、单选题 1．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 2．（2018·全国III卷·高考真题）设，，则 A． B． C． D． 3．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高三上·贵州·阶段练习）下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建泉州·一模）若实数，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2025·海南·三模）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江温州·模拟预测）已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西新余·模拟预测）若实数满足：，则下列不等式一定成立的是：（     ）. A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）设，是非零实数，若，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川德阳·模拟预测），则下列命题中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D C D B AD ABC BC 题号 11 12 答案 ABD BC 1．C 【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错． 【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 2．B 【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果． 详解：. ,即 又 即 故选：B. 3．B 【分析】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】若，如，但不成立，充分性不成立； 若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．D 【分析】利用赋值法易判断ABC，利用函数在上单调递增，可判断D. 【详解】对于A，由，得， 反之，当时，不能推出， 故是成立的充分不必要条件，故A错误； 对于B，当时，不成立，故不是成立的充分条件， 反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件，故B错误； 对于C，当时，成立，但不成立，所以是成立的不充分条件， 反之，满足成立，但不成立，所以是成立的不必要条件， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由在上单调递增，可得是的充要条件，故D正确. 故选：D． 5．C 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D. 【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，，故C不正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：C. 6．D 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 7．B 【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可. 【详解】对于A，，故是的充要条件； 对于B，由得，能推出，反之不成立， 所以是的充分不必要条件； 对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是， 所以是的既不充分也不必要条件； 对于D，由不能推出，反之则成立，所以是的必要不充分条件． 故选：B． 8．AD 【分析】对于AD，可通过幂函数、指数函数的单调性判断；对于BC，可通过特殊值判断； 【详解】对于A，由函数单调递增，可知当，正确； 对于B，取，可得，错误； 对于C，取，显然不成立，错误； 对于D， 等价于，由指数函数单调递增可知：当，，所以成立，正确； 故选：AD 9．ABC 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由可知，，故AB正确， 由于，故，C正确， 时，故D错误， 故选：ABC 10．BC 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】A，，故，A错误； B，，，故单调递减，所以，B正确； C，由于，故，C正确； D，取可验证D不成立，D错误. 故选：BC． 11．ABD 【分析】举反例可得ABD错误；作差可得C正确； 【详解】A，若，则，故A错误； B，若，则，故B错误； C，因为，故，所以，故，故C正确； D，若，则，故D错误； 故选：ABD. 12．BC 【分析】赋值法可判断AD；利用在上为增函数可判断B；由不等式性质可判断C. 【详解】对于A，取，有，但显然，故A错误； 对于B，在上为增函数，又因为，所以，故B正确； 对于C，由，可得，故，所以，故C正确； 对于D，当，有，但，故D错误. 故选：BC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$