八年级数学期中模拟卷（长沙专用，测试范围：人教版八下第七章～第十章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期期中模拟考试

八年级数学下学期期中考试模拟卷 数学·答题卡 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答） 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15.______________ 16．______________ 17. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （6分） 19．（6分） 20．（8分） 21． （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012八下第十六章至第十九章。 5．难度系数：0.7。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列各图能表示y是x的函数的是(   ) A． B． C． D． 4．关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．图象过点 B．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C．随的增大而增大 D．图象经过一、二、三象限 5．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ）    A． B． C． D． 6．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）    A． B． C． D． 8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，以原点O为圆心，以长为半径作弧，那么点C表示的无理数是（　　）    A． B． C．7 D．29 9．下列说法错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．菱形的对角线互相垂直 10．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C．5 D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．化简 ． 12．已知，则 ． 13．若，是一次函数的图象上的两个点，则与的大小关系是 ．（填“>”，“=”或“<”） 14．如图，在平行四边形中，过点的直线，垂足为，若，则 度． 15．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为 ． 16．如图，正方形的边长为4，，为上一点，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）。 17．计算：． 18．先化简，再求值： ，其中 19．如图，已知平行四边形中，是它的一条对角线，过A、C两点作，，垂足分别为E、F，延长、分别交、于点G、H． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 20．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 (1)求直线 的解析式； (2)若直线上的点C 在第一象限，且 求点C的坐标． 21．如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 22．2024年4月长沙市某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需元． (1)求购买A，B两款帆布袋每个各需要多少元？ (2)某老师决定购买A，B两款帆布袋共个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，试问当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 23．实践探索 （1）如图1，中，，为斜边的中点． ①画出，使其与关于点成中心对称，其中与是一组对应点； ②线段与之间的数量关系为____________． 问题发现 （2）如图2，中，，于．已知，求线段长度的最大值． 问题解决 （3）如图3，中，，，．射线在上方，且．平面内有两点和，点在内（包括两条边）运动，且满足，，求封闭图形面积的最小值． 24．阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 25．如图1，在中，，以为边在其右侧作正方形， (1)求的长； (2)如图2，若E是线段上一动点，为等腰直角三角形，且为直角，当点E沿方向由P运动到C点时，求F点经过的路径长； (3)如图3，若E是线段上一动点，连接，与交于点G，判断是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中考试模拟卷 数学·答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B B B D B B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．2024 12． 13．> 14． 15．10 16．5 三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分 17. 【详解】解： ……3分 ． ……6分 18. 【详解】解： = = =， ……4分 当时，原式=． ……6分 19.【详解】（1）证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； ……3分 （2）由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴． ……6分 20.【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线过点、点， ， 解得， 直线的解析式为． ……4分 （2）解：设点的坐标为， ， ， 解得， ， 点的坐标是． ……8分 21.【详解】（1）证明：且， 四边形是平行四边形， 在中，，平分， ， ， 四边形是矩形； ……3分 （2）解：是等边三角形，边长为4， ，，， 四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，， ， ， ……5分 过作于， 则， ∵， ， ． ……8分 22.【详解】（1）解：由题意，设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元， 由题意得：， 解得：. ∴A，B两款帆布袋的单价分别为元，元. ……4分 （2）解：由题意，设购买A款帆布袋m件， ∴购买B款帆布袋件，设总费用为w元， ∴. ∵， ∴w随m的增大而增大. ……6分 ∵购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的， ∴. ∴且m为正整数. ∴当时，w有最小值，最小值为. 此时. ……9分 ∴购买A，B两款帆布袋分别为6件和9件时，总费用最低，最低费用为元. 23.【详解】（1）解：①如图，即为所作： ②∵为斜边的中点， ∴， 由作图可得，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ……3分 （2）解：取得中点记为点N，连接， ∵， ∴由上可得， ∵， ∴当点H与点N重合时，最大，且为3； ……6分 （3）解：过点A作于点F，连接，取中点，过点E作于点Q， ∵， ∴为等腰直角三角形，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，五边形内角和为 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，最小， 由上知：， ∴， ∴． ……9分 24.【详解】（1）解：∵与x轴和y轴分别相交于点A，B， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点、、， ∴，；， ∵， ∴是A、B“轴美点”的是D． 故答案为：D． ……3分 （2）解：①证明：设函数上一点M为， ∵、， ∴，， ∴， ∴G、H的“轴美点”在函数上； ……4分 ②由题意得：点， Ⅰ、， ∴或，解得：或； Ⅱ、， ∴或，解得：或无解； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：． 综上：m的值为7或或． ……6分 （3）解：∵“倍美函数”恰好具有三个“倍美点”， ∴与和恰好有3个交点， 如图：当时，恰好具有三个“倍美点”，分别是； 当时，恰好具有三个“倍美点”， 或，解得：或． ∴“倍美点”分别是． ……10分 25.【详解】（1）解：∵在中，， ∴∠PAB=30° ∵， ∴， ∴， ∵以为边在其右侧作正方形， ∴； ……3分 （2）如图所示，当点E与点P重合时，点F位置如图，过点F作，如图所示： ∴， ∴， 根据题意得为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点E移动到点B时，点F与点C重合，此时运动路径为线段， ∴， 当点E从点B开始到点C时，运动路径为线段， 此时， ∴F点经过的路径长为； ……6分 （3）连接，如图所示： ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G为中点， ∵， ∴， ∴． ……10分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012八下第十六章至第十九章。 5．难度系数：0.7。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列各图能表示y是x的函数的是(   ) A． B． C． D． 4．关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．图象过点 B．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C．随的增大而增大 D．图象经过一、二、三象限 5．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ）    A． B． C． D． 6．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）    A． B． C． D． 8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，以原点O为圆心，以长为半径作弧，那么点C表示的无理数是（　　）    A． B． C．7 D．29 9．下列说法错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．菱形的对角线互相垂直 10．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C．5 D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．化简 ． 12．已知，则 ． 13．若，是一次函数的图象上的两个点，则与的大小关系是 ．（填“>”，“=”或“<”） 14．如图，在平行四边形中，过点的直线，垂足为，若，则 度． 15．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为 ． 16．如图，正方形的边长为4，，为上一点，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）。 17．计算：． 18．先化简，再求值： ，其中 19．如图，已知平行四边形中，是它的一条对角线，过A、C两点作，，垂足分别为E、F，延长、分别交、于点G、H． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 20．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 (1)求直线 的解析式； (2)若直线上的点C 在第一象限，且 求点C的坐标． 21．如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 22．2024年4月长沙市某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需元． (1)求购买A，B两款帆布袋每个各需要多少元？ (2)某老师决定购买A，B两款帆布袋共个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，试问当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 23．实践探索 （1）如图1，中，，为斜边的中点． ①画出，使其与关于点成中心对称，其中与是一组对应点； ②线段与之间的数量关系为____________． 问题发现 （2）如图2，中，，于．已知，求线段长度的最大值． 问题解决 （3）如图3，中，，，．射线在上方，且．平面内有两点和，点在内（包括两条边）运动，且满足，，求封闭图形面积的最小值． 24．阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 25．如图1，在中，，以为边在其右侧作正方形， (1)求的长； (2)如图2，若E是线段上一动点，为等腰直角三角形，且为直角，当点E沿方向由P运动到C点时，求F点经过的路径长； (3)如图3，若E是线段上一动点，连接，与交于点G，判断是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012八下第十六章至第十九章。 5．难度系数：0.7。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项计算正确； 故选D． 2．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可得，，解得：，故选C； 3．下列各图能表示y是x的函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、B、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，C选项符合函数的概念， 故选C． 4．关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．图象过点 B．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C．随的增大而增大 D．图象经过一、二、三象限 【答案】B 【解析】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向上平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论正确； ，因此随的增大而减小，故C选项结论错误； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论错误； 故选B． 5．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形为菱形，故A不符合题意； B．由可以判定平行四边形为矩形，故B符合题意； C．由可以判定平行四边形为菱形，故C不符合题意； D．由可以判定平行四边形为菱形，故D不符合题意． 故选B． 6．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A． ，故可以构成直角三角形，不符合题意； B． ，故无法构成直角三角形，符合题意； C． ，故可以构成直角三角形，不符合题意； D． ，故可以构成直角三角形，不符合题意． 故选B 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺, ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选D． 8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，以原点O为圆心，以长为半径作弧，那么点C表示的无理数是（　　）    A． B． C．7 D．29 【答案】B 【解析】解：由图知，,∴．∴； ∵7，29均是有理数，∴点C表示的无理数只可能是． 故选B 9．下列说法错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．菱形的对角线互相垂直 【答案】B 【解析】解：A、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； B、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，原说法错误，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，原说法正确，不符合题意； 故选B． 10．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解析】解：过点E作交于点M，交于点N， ∵四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，， ∴，，， ∴四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∴，，, ∴．故选A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．化简 ． 【答案】2024 【解析】解：，故答案为：2024． 12．已知，则 ． 【答案】 【解析】解：由二次根式有意义的条件可得，解得， ，，故答案为：． 13．若，是一次函数的图象上的两个点，则与的大小关系是 ．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】> 【解析】解：一次函数中，，随着的增大而减小． ，是一次函数的图象上的两个点，，． 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，过点的直线，垂足为，若，则 度． 【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，∴， ，， ，． 故答案为：． 15．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为 ． 【答案】10． 【解析】依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2，∴BF=BG﹣BF=6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB===10．故答案为10． 16．如图，正方形的边长为4，，为上一点，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】解：根据题意，连接， ∵四边形是正方形，∴．∴． 当点B、N、M在同一条直线上时，有最小值． 在中，，， 根据勾股定理得， 即的最小值为5．故答案为：5． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）。 17．计算：． 【解析】解： ． 18．先化简，再求值： ，其中 【解析】解： = = =， 当时，原式=． 19．如图，已知平行四边形中，是它的一条对角线，过A、C两点作，，垂足分别为E、F，延长、分别交、于点G、H． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【解析】（1）证明：，，， 四边形是平行四边形，， 四边形是平行四边形； （2）由（1）得四边形是平行四边形，∴， ∵，∴， ∵平行四边形，∴． 20．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 (1)求直线 的解析式； (2)若直线上的点C 在第一象限，且 求点C的坐标． 【解析】（1）解：设直线的解析式为， 直线过点、点， ，解得， 直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， ，，解得， ， 点的坐标是． 21．如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 【解析】（1）证明：且， 四边形是平行四边形， 在中，，平分， ， ， 四边形是矩形； （2）解：是等边三角形，边长为4， ，，， 四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，， ， ， 过作于， 则， ∵， ， ． 22．2024年4月长沙市某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需元． (1)求购买A，B两款帆布袋每个各需要多少元？ (2)某老师决定购买A，B两款帆布袋共个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的，试问当购买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【解析】（1）解：由题意，设A，B两款帆布袋的单价分别为x元，y元， 由题意得：， 解得：. ∴A，B两款帆布袋的单价分别为元，元. （2）解：由题意，设购买A款帆布袋m件， ∴购买B款帆布袋件，设总费用为w元， ∴. ∵，∴w随m的增大而增大. ∵购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的， ∴. ∴且m为正整数. ∴当时，w有最小值，最小值为. 此时. ∴购买A，B两款帆布袋分别为6件和9件时，总费用最低，最低费用为元. 23．实践探索 （1）如图1，中，，为斜边的中点． ①画出，使其与关于点成中心对称，其中与是一组对应点； ②线段与之间的数量关系为____________． 问题发现 （2）如图2，中，，于．已知，求线段长度的最大值． 问题解决 （3）如图3，中，，，．射线在上方，且．平面内有两点和，点在内（包括两条边）运动，且满足，，求封闭图形面积的最小值． 【解析】（1）解：①如图，即为所作： ②∵为斜边的中点，∴， 由作图可得，而， ∴，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 故答案为：； （2）解：取得中点记为点N，连接， ∵，∴由上可得， ∵，∴当点H与点N重合时，最大，且为3； （3）解：过点A作于点F，连接，取中点，过点E作于点Q， ∵， ∴为等腰直角三角形，，， 由勾股定理得：，∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，， ∵，五边形内角和为 ∴， ∴，∴， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，最小， 由上知：， ∴，∴． 24．阅读理解：在平面直角坐标系中，给出如下定义： 定义一：若有三点，，，且，则称点是，的轴美点； 定义二：若函数图像上存在某点到轴和轴的距离中，其中一个距离是另一个距离的2倍，则称点为该函数的“倍美点”，此函数称为“倍美函数”，如点是函数图像上的点，所以函数是“倍美函数”，点是该函数的“倍美点”．像、等则是特殊的“倍美函数”． 根据以上材料，完成下列问题： (1)已知函数与轴和轴分别相交于点A，，若有三点、、，则其中是A、“轴美点”的是__________．（只填字母） (2)已知两点、． ①请说明点、的“轴美点”在函数上； ②在①的条件下，若“倍美函数”上存在点，使得点既是，“轴美点”，又是此函数的“倍美点”，求出的值． (3)已知“倍美函数”，是否存在整数使得该函数恰好具有三个“倍美点”？若存在，直接写出值和“倍美点”坐标；若不存在，简要说理． 【解析】（1）解：∵与x轴和y轴分别相交于点A，B， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点、、， ∴，；， ∵， ∴是A、B“轴美点”的是D． 故答案为：D． （2）解：①证明：设函数上一点M为， ∵、， ∴，， ∴， ∴G、H的“轴美点”在函数上； ②由题意得：点， Ⅰ、， ∴或，解得：或； Ⅱ、， ∴或，解得：或无解； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：； 当时，点P为， ∴，解得：． 综上：m的值为7或或． （3）解：∵“倍美函数”恰好具有三个“倍美点”， ∴与和恰好有3个交点， 如图：当时，恰好具有三个“倍美点”，分别是； 当时，恰好具有三个“倍美点”， 或，解得：或． ∴“倍美点”分别是． 25．如图1，在中，，以为边在其右侧作正方形， (1)求的长； (2)如图2，若E是线段上一动点，为等腰直角三角形，且为直角，当点E沿方向由P运动到C点时，求F点经过的路径长； (3)如图3，若E是线段上一动点，连接，与交于点G，判断是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【解析】（1）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵以为边在其右侧作正方形， ∴； （2）如图所示，当点E与点P重合时，点F位置如图，过点F作，如图所示： ∴， ∴， 根据题意得为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点E移动到点B时，点F与点C重合，此时运动路径为线段， ∴， 当点E从点B开始到点C时，运动路径为线段， 此时， ∴F点经过的路径长为； （3）连接，如图所示： ∵正方形，∴， ∵，∴， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∵，， ∴，∴， ∴，∴， ∴点G为中点， ∵，∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$