专题04 圆锥曲线（3大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（贵州专用）

专题04 圆锥曲线 题型概览 题型01直线和圆 题型02焦点三角形和离心率问题 题型03圆锥曲线 直线和圆题型01 1．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知直线：的倾斜角为，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角为得直线与轴垂直，从而得系数关系. 【详解】由题意直线倾斜角为，则直线轴， 故方程中，的系数为， 即，解得．此时，直线符合题意. 故选：D． 2．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用绝对值的性质化简，确定其表示的图形并作出图形，根据直线与圆的位置关系、双曲线的性质，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由，得 当时，方程为，图形为单位圆在第一象限的部分（含端点）； 当时，方程为，图形为双曲线在第四象限的部分； 当时，方程为，图形为双曲线在第二象限的部分； 当时，方程为，没有意义，不表示任何图形. 作出的图形，如图， 设点为曲线上的一个动点， 则A到直线的距离为， 由图可知，当A在圆心O到直线的垂线段上时， 即时，，达到最小值； 又双曲线、的一条渐近线方程为， 所以小于直线与的距离，而这两直线的距离为， 故，解得， 即的取值范围为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题问题的关键是确定方程表示的图形，以及通过A到直线的距离为的取值范围，间接求解的取值范围. 3．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知点分别在圆与圆上，则两点之间的最短距离为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆心距可判断出两圆相离；从而可知最短距离为圆心距与半径和的差值. 【详解】两圆心之间的距离为： 两圆相离    两点之间的最短距离为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据圆与圆的位置关系求解距离的最值问题，关键是明确两圆相离的情况下，两圆上点距离的最小值为圆心距与半径和的差值. 4．（23-24高二下·贵州·期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】运用导数几何意义，结合导数运算，点斜式可解. 【详解】求导得，设切点为， 则，切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，解得或. 当时，，切线方程为. 当时，，切线方程为. 故选：BC. 5．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）在平面直角坐标系xOy中，过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法正确的是（    ） A．当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为 B．的取值范围为 C．不可能为钝角 D．当为等边三角形时，点P的坐标为 【答案】ABC 【分析】首先结合点到直线的距离公式分析出的取值范围，进而数形结合分析可得和的范围，从而可判断ABC的正误，然后设出点P的坐标，结合等边三角形的性质以及两点间的距离公式求出点P的坐标，即可判断D的正误. 【详解】 到直线的距离为，当垂直于直线时，可求得点，此时，所以当点自由移动时，的最小值为，当且仅当垂直于直线时，取得最小值，所以对于任意的点，有，因为，所以，所以，同理，所以，，故，而，趋于0时，趋于，故的取值范围为，当四边形为正方形时，，可求得，点的坐标有唯一解，故A、B、C正确；当为等边三角形时，，所以，设，因为点在直线上，则，解得或，即或，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 焦点三角形和离心率问题题型02 6．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所以，两式相减化简即得解. 【详解】解：设 所以，两式相减得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 7．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，利用中位线的性质可求出，可得出，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理可求得的值，进而利用椭圆的离心率公式可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，    由圆的几何性质可知， 易知、分别为、的中点，则，且， 所以，，由椭圆的定义可得， 由勾股定理可得，即， 整理可得，可得， 因此，该椭圆的离心率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 8．（23-24高二下·贵州遵义·期中）经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，是右焦点，则的周长为 . 【答案】20. 【分析】根据椭圆的定义，有 ，，则的周长为. 【详解】因为椭圆方程， 所以， 根据椭圆的定义： ，， 的周长为. 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 9．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知点是椭圆上的两点.且直线恰好平分圆，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，，则.由已知可推得，根据，可得出，然后即可求出离心率. 【详解】设，. 依题意有，两式相减得，所以. 因直线恰好平分圆，则， 则，. 由已知，， 所以，，即. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 10．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知两定点，动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据椭圆的定义即可求P的轨迹方程； (2)在中利用余弦定理和椭圆定义即可求出，再根据三角形面积公式求其面积. 【详解】（1）依题意知， ∴P点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且． 故所求点的轨迹方程为； （2）设，则． 在中，由余弦定理得， ， 解得． ． 圆锥曲线题型03 11．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知曲线，则（    ） A．若，，则曲线C表示椭圆 B．若，则曲线C表示双曲线 C．若，，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率 【答案】BC 【分析】利用曲线的方程逐项分析即得. 【详解】对于A，若，，当时，则曲线C表示圆，故A错误； 对于B，若，当时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，当时曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，所以若，则曲线C表示双曲线，故B正确； 对于C，若，，则，， 所以曲线C表示双曲线，方程为， 令，得，即，故其渐近线方程为，故C正确； 对于D，若，，则曲线C方程为，即， 因为，所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故D错误. 故选：BC. 12．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的渐近线方程公式求解即可. 【详解】由双曲线的方程为知，双曲线焦点在轴，且， 又焦点在轴的双曲线渐近线方程为，所以渐近线方程为. 故选：C. 13．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据焦半径公式得到方程，求出. 【详解】因为点到C的准线的距离为4，所以，解得． 故选：C 14．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长. 【详解】根据题意，椭圆中， 根据椭圆定义，的周长为 . 故选：C 15．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线C：相切. (1)求m的值； (2)已知点，在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意联立方程结合判别式分析求解即可； （2）设直线的方程为，，联立方程可得韦达定理，结合求得，进而可得四边形面积为，换元结合函数单调性分析求解. 【详解】（1）因为直线与抛物线C：相切， 所以方程组有唯一解，所以有唯一解， 所以，且，解得． （2）设直线的方程为，， 因为点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限， 联立方程，消去x得， 则，可得， 因为，即， 整理得， 即，解得， 可知直线的方程为，可知，，符合题意， 则四边形的面积为 ． 令， 所以， 因为在上恒成立， 可知在上单调递增， 当且仅当，即时，， 所以四边形面积的最小值为，此时直线的方程为. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法： （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 16．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设点，点，利用点差法即可求得直线方程的斜率，从而解决问题． （2）由（1），联立直线方程和抛物线方程，消元得一元二次方程，再结合根系数的关系和弦长公式即可得解. 【详解】（1）设点，点，线段所在的直线方程的斜率为k 1°当斜率k不存在时，线段所在的直线方程为， 解方程得 所以，或， 此时，线段的中点坐标为，不合题意； 2°当斜率k存在时，，在抛物线上，，． 两式相减，得． ∵点是的中点，∴，即 ， 直线的方程为，即； 综上，线段所在的直线方程为. （2）由（1）知，直线方程为：，与抛物线方程联立得： 消元得， ，， ． 17．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为． (1)求双曲线C的方程； (2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，从而得到双曲线的方程； （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直曲联立表示出，再表示出原点O到直线l的距离，即三角形的高，进而求出的面积为，从而证得结论成立. 【详解】（1）因为虚轴长为，所以， 因为，且，所以， 故双曲线C的方程为． （2） 当直线l的斜率不存在时，l的方程为， 此时， 当直线l的斜率存在时，不设直线，且， 联立方程组得， 由，得， 不妨设l与的交点为P，则，得， 同理可得， 所以， 因为原点O到直线l的距离， 所以， 因为，所以， 综上，的面积为定值，定值为． 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数的关系. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆锥曲线 题型概览 题型01直线和圆 题型02焦点三角形和离心率问题 题型03圆锥曲线 直线和圆题型01 1．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知直线：的倾斜角为，则（    ） A． B．0 C． D． 2．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知点分别在圆与圆上，则两点之间的最短距离为 A． B． C． D． 4．（23-24高二下·贵州·期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）在平面直角坐标系xOy中，过直线上任一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A、B，则下列说法正确的是（    ） A．当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为 B．的取值范围为 C．不可能为钝角 D．当为等边三角形时，点P的坐标为 焦点三角形和离心率问题题型02 6．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·贵州遵义·期中）经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，是右焦点，则的周长为 . 10．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知两定点，动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积． 圆锥曲线题型03 11．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知曲线，则（    ） A．若，，则曲线C表示椭圆 B．若，则曲线C表示双曲线 C．若，，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率 12．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ） A．6 B． C．8 D． 14．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 15．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线C：相切. (1)求m的值； (2)已知点，在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程. 16．（23-24高二下·贵州黔南·期中）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 17．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为． (1)求双曲线C的方程； (2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$