专题03 数列（3大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（贵州专用）

专题03 数列 题型概览 题型01数列的概念和简单表示法 题型02等差数列和等比数列 题型03数列求和 数列的概念和简单表示法题型01 1．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知数列，则是这个数列的（　　） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 等差数列和等比数列题型02 2．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）在等差数列中，，则 . 3．（23-24高二下·贵州毕节·期中）在等差数列{an}中，a3，a8是方程x2-3x-5=0的两个根，则a1+a10= . 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=（  ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）以下关于数列的结论正确的是（    ） A．若数列的前n项和，则数列为等差数列 B．若数列的前n项和，则数列为等比数列 C．若数列满足，则数列为等差数列 D．若数列满足．则数列为等比数列 数列求和题型03 7．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）等比数列的前n项和，则（    ） A．-2 B． C．0 D． 8．（23-24高二下·贵州毕节·期中）在等比数列中，，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B．45 C．75 D．150 10．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为： C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列 11．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知等差数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 12．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知等差数列的公差为d（），前n项和为，且满足；，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 13．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知数列满足：，且.设的前项和为，. (1)证明：是等差数列； (2)求； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 14．（23-24高二下·贵州毕节·期中）设等差数列的公差不为，，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值. 15．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知数列满足：,数列的前n项和 (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前n项和． 16．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为. (1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离； (2)记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值； (3)记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数列 题型概览 题型01数列的概念和简单表示法 题型02等差数列和等比数列 题型03数列求和 数列的概念和简单表示法题型01 1．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知数列，则是这个数列的（　　） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 【答案】D 【分析】由即可得. 【详解】，故为第23项. 故选：D. 等差数列和等比数列题型02 2．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）在等差数列中，，则 . 【答案】9 【分析】根据等差数列的性质可得的值. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：9 3．（23-24高二下·贵州毕节·期中）在等差数列{an}中，a3，a8是方程x2-3x-5=0的两个根，则a1+a10= . 【答案】3 【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论. 【详解】a3，a8是方程x2-3x-5=0的两个根， {an}是等差数列， ， 故答案为：3. 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=（  ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【详解】D.由，公差，得，从而，所以，解得k=5 5．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每份面包从小到大为等差数列，公差为，解方程即可得解. 【详解】设每份面包从小到大为等差数列，公差为， 可得， 所以， 解得. 故选：B. 6．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）以下关于数列的结论正确的是（    ） A．若数列的前n项和，则数列为等差数列 B．若数列的前n项和，则数列为等比数列 C．若数列满足，则数列为等差数列 D．若数列满足．则数列为等比数列 【答案】AC 【分析】利用、等差数列和等比数列的知识求得正确答案. 【详解】A．，时，， 时，，， 当时，上式也符合，所以成立，A选项正确. B．，时，， 时，，， 所以，数列不是等不数列，B选项错误. C．由等差中项定义知C选项成立； D．若，则不成立，D选项错误. 故选：AC 数列求和题型03 7．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）等比数列的前n项和，则（    ） A．-2 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】由计算出，，，从而根据等比中项列出方程，求出，得到答案. 【详解】，当时，， 当时，，故， 当时，， 从而， 由于是等比数列，故，解得， 故． 故选：C． 8．（23-24高二下·贵州毕节·期中）在等比数列中，，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等比数列的通项公式列式求出，可得，再根据对数知识可得，最后根据等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，. ∵，即，∴.又，∴. ∴， ∴. ∴数列的前项和为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据等比数列的通项公式求解是解题关键. 9．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B．45 C．75 D．150 【答案】C 【分析】先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前项和公式求和即可. 【详解】由行列式的定义有，即， 所以. 故选：C. 10．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为： C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列 【答案】ACD 【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性. 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 又因为当时，满足上式， 所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误， ， 所以 ， 故C正确； 因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列， 故D正确. 故选:ACD. 11．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知等差数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件列出方程组求解出，，代入通项公式即可求解； (2)根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解. 【详解】（1）设公差为d，由得， 解得 故； （2）因为，由（1）可得：， 故． 12．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知等差数列的公差为d（），前n项和为，且满足；，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列前项和公式求得，结合等差数列、等比数列性质求得公差即可得解； （2）由裂项相消法即可求解. 【详解】（1），得，即． 由，，成等比数列，得，，即． 所以，故． （2）， ∴ . 13．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知数列满足：，且.设的前项和为，. (1)证明：是等差数列； (2)求； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的定义证明 （2）由已知得，再通过错位相减法求解出； （3）不等式化简为，把问题转化为对恒成立，然后分别求出当、和时，t满足的条件即可 【详解】（1）因为，所以， ， 且，所以是以-2为首项，且公差为1的等差数列，即. （2）由（1）知，，所以. 则， 于是， 两式相减得 ， 因此. （3）由，得， 依题意，对恒成立， 当时，，则； 当时，不等式恒成立； 当时，， 则，于是， 综上,实数的取值范围是. 14．（23-24高二下·贵州毕节·期中）设等差数列的公差不为，，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）设等差数列的公差为，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到所求通项； （2）运用等差数列的求和公式，再由二次不等式的解法，即可得到所求最小值. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以，即 ， 解得，或（舍去）， 所以的通项公式为； 所以 （2）解：因为， 所以， 依题意有，解得， 使成立的的最小值为8. 15．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知数列满足：,数列的前n项和 (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据数列的递推关系式判断数列类型求出通项公式,根据的前n项和,利用,求出数列的通项公式即可,注意检验; (2)根据数列通项公式的特殊性,利用错位相减法,求出其前n项和即可. 【详解】（1）解:由题知 , 是以2为公比的等比数列, , 的前n项和, 时, 当时,, 故, 综上:; （2）由(1)知, , ,① ,② ②-①可得: 故. 16．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为. (1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离； (2)记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值； (3)记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16. 【答案】(1)7 (2)3469 (3)证明见详解 【分析】（1）由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离； （2）由题意分析可知 A中数列项的周期性，可得结合周期性求得m的最大值； （3）假设T中的元素个数大于等于17个，设出，最终求得和中必有一个成立，与已知矛盾即可得解. 【详解】（1）由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为. （2）设，其中，且， 因为，则，，，， 则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次， 在数列中，； 在数列中，； 因为，可知， 即项数m越大，数列和的距离越大， 由得：， 可知：若时，； 又因为， 可知：若时，； 综上所述：所以m的最大值为3469. （3）假设T中的元素个数大于等于17个，在数列中，， 则仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个： ， 那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的， 设这个数列分别为； ； ， 其中， 因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，则在和中，中至少有三个成立， 不妨设，由题意，中一个等于0，而另一个等于1， 又因或1，于是得和中必有一个成立， 同理可得：和中必有一个成立，和中必有一个成立， 即“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立， 从而得和中必有一个成立，与T中任何两个元素的距离大于或等于3矛盾，即假设不成立， 所以T中的元素个数小于或等于16. 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并合理地运用计算、分析、推理等方法综合解决. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$