专题02 函数和导函数（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（贵州专用）

专题02 函数和导函数 题型概览 题型01导函数的概念及其运算 题型02利用导函数求解函数的单调性和最值 题型03导函数的几何意义 题型04函数的零点问题 题型05导数综合应用 题型06导函数的新定义 导函数的概念及其运算题型01 1．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知函数在处的导数为3，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解. 【详解】因为函数在处的导数为3， 所以， 所以． 故选：B. 2．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）若上的可导函数在处满足，则 ． 【答案】6 【分析】导数的定义可得答案. 【详解】， 则. 故答案为：. 3．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数满足，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】求导函数，然后令列式求解可得. 【详解】， . 故选：C. 4．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）下列函数求导错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：ACD. 5．（23-24高二下·贵州毕节·期中）下列式子正确的有（    ） A． B． C． D．， 【答案】CD 【分析】利用基本初等函数的导数和导数的运算法则，逐一对各选项进行求导判断即可得出结论. 【详解】对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误. 对于选项C，，所以选项C正确； 对于选项D，，所以选项D正确； 故选：CD. 6．（23-24高二下·贵州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】运用导数的加法和乘法运算法则求解即可. 【详解】， 故答案为：. 7．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）函数的导函数满足关系式，则 ． 【答案】 【分析】对函数两边求导，然后赋值，解得代入即可求解. 【详解】由，函数两边求导得：， 令，则，所以 代入函数得：． 故答案为： 利用导函数求解函数的单调性和最值题型02 8．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】求导，利用导函数求出函数的递减区间. 【详解】的定义域是，， 令，解得， 故的单调递减区间是. 故答案为： 9．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）函数在区间上的最大值为 A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】求出导数，求出函数的单调区间，根据单调性判定最值. 【详解】解：由题意可得 当时，；当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以 故选：B. 【点睛】求函数区间上的最值的步骤： （1）求导数，不要忘记函数的定义域； （2）求方程的根； （3）检查在方程的根的左右两侧的符号，确定函数的极值. （4）求函数区间端点函数值，将区间端点函数值与极值比较，取最大的为最大值，最小的为最小值. 10．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知函数，则的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的定义域为R，求导得，分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案． 【详解】解：的定义域为R， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 在上，单调递增， 所以是的极小值点， 故选：B． 11．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）函数图象连续的函数在区间上（    ） A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大值小 【答案】C 【分析】根据函数最值和极值的定义即可得解. 【详解】由函数的最值与极值的概念可知在上一定存在最大值． 故选：C． 12．（23-24高二下·广东·阶段练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，进而求出其单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，因此函数的递增区间是， 依题意，，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C 13．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案. 【详解】因为的定义域为R， ， 令得：或， 所以在区间，上单调递增． 故选：AC． 14．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得单调递减区间，问题等价于单调递减区间与区间的交集为非空区间，从而可以求参. 【详解】由，可得． ①当时，，此时函数单调递减， 所以当时，函数在区间内存在单调递减区间. ②当时，令，可得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以函数的减区间为，增区间为， 若函数在区间内存在单调递减区间， 只需，得. 综上所述，． 故选：C 15．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．， D．， 【答案】ACD 【分析】求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系可判断A、B；求出函数在区间上的最小值可判断C；取特殊值可判断D. 【详解】由，则， 当时，则，函数为增函数，故A正确、B错误； ， 当时，，，所以， 所以函数在上单调递增，所以，故C正确； 当时，不妨取，则，故D正确. 故选：ACD 16．（23-24高二下·贵州毕节·期中）函数的图象可能是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】考查图像识别，常用排除法，根据函数解析式特征分段讨论，讨论时分别从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和特殊值等入手研究，排除不符合答案即可得出结果. 【详解】解法一： 由题意得当时，， 因为函数，在上都单调递减， 所以函数在上单调递减，排除C，D； 因为，所以排除A， 故选：B. 解法二：当时，则， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以B正确. 故选：B． 17．（23-24高二下·贵州·期中）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】运用导数判断函数单调性，又可得，从而可得，代入式子，综合基本不等式可解. 【详解】，求导恒成立， 即在定义域内单调递增，因为， 若，则，则，所以. ，当且仅当，即取等号. 故选：A. 18．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（    ） A． B．0是的极值点 C．在上单调递增 D．的最小值为0 【答案】ABC 【分析】根据题意，令，易得，是单调递增函数且是奇函数，从而求出，可判定A；利用导函数研究函数单调性及极值点，最小值，可判定其他选项. 【详解】由， 则， 令，易得，是单调递增函数且是奇函数， 由上可得， ，则，故A正确； ， 由恒成立， 所以时，，则单调递减， 时，，则单调递增， 且0是的极值小点，， 所以最小值为，故BC正确，D错误. 【点睛】关键点点睛：根据方程的对称性转化为，从而，由函数的单调性可解函数. 19．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知函数在处取得极大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由以及导数、极大值等知识对问题进行分析，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】的定义域是， ， 由于函数在处取得极大值， 所以， 且在上单调递增， 在上单调递减， 所以单调递减， 所以， 所以，构造函数，显然， ，所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 所以是的极大值也即是最大值， 所以，也即的取值范围是. 故答案为： 20．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数在处的切线方程． （1）求，的值； （2）求的单调区间与极小值． 【答案】（1）；（2）在单调递减，在单调递增，的极小值为． 【分析】（1）根据导数的几何意义，有，又，联立方程组即可求解. （2）求函数的导函数，然后令导函数大于0，可得增区间，令导函数小于0，可得减区间，从而可得函数的极小值． 【详解】解：（1），由已知可得，解得. （2）由（1）可得， ∴， 令，解得；令，解得， ∴在单调递减，在单调递增， ∴当时，的极小值为． 21．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知函数． (1)若，证明：： (2)若，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由导数判断单调性后求最小值证明， （2）转化为在上单调递增，分类讨论单调性后求解． 【详解】（1）证明：若， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故； （2）不妨设，所以，即， 所以函数在上单调递增， 令在上恒成立， 令． 当时，在上恒成立，又，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此种情况无解， 当时，在上单调递增，， 在上恒成立， 综上所述，的取值范围为． 导函数的几何意义题型03 22．（23-24高二下·贵州·期中）若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】运用导数几何意义得答案. 【详解】曲线在处的切线方程为， 则运用导数几何意义，知道. 故选：D. 23．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）曲线在点处的切线的一般式方程为 ； 【答案】 【分析】根据导数的运算以及几何意义，即可求切线方程. 【详解】，， 根据导数的几何意义可知，切线方程是， 整理为. 故答案为： 24．（2023·山东·一模）过点与曲线相切的直线方程为 ． 【答案】 【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程. 【详解】设切点坐标为，，. 则切线方程为，因为在切线上， 所以，即 又，所以， 令，，当时，， 所以在上单调递增， 所以方程只有唯一解为. 即切点坐标为，故所求切线方程为，即. 故答案为： 25．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】由整理可得，然后由基本不等式可得. 【详解】由，得， 则， 依题意可得，且， 整理得， 所以，所以， 经验证，当分别取2，时，满足题意. 故选：D. 函数的零点问题题型04 26．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设函数，，将函数的零点问题转化为与的图象仅有两个交点，通过研究与的图象相切的情况，可得实数的取值范围. 【详解】设函数，， 由在上仅有两个零点，即在上仅有两个根， 即与的图象在上仅有两个交点， 先研究与的图象相切的情况，如图，设公切点， 即点同时在函数，图象上，在点处的切线斜率相等， 就有， ， 则，有， 函数的图象向右平移便可知，仅有两个零点， 根据图象，可知实数的取值范围介于当或者1时， 即. 故答案为： 27．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断. 【详解】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 28．（23-24高二下·贵州·期中）已知函数，，，则下列说法中正确的是（    ） A．函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点． B．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数． C．，且，都有． D．，，使得成立，则实数． 【答案】BD 【分析】先分别求出函数和的单调性，对于A，直接解和时的最小值即可判断得解；对于B，根据函数的单调性结合函数的最小值和值的正负分布情况即可得解；对于C，根据函数的单调性即可得解；对于D，先由条件得到，再根据单调性确定并求解即可得解. 【详解】由题意， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 定义域为，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 对于A，令，故函数只有1个零点； 当时，，故没有零点，故A错误； 对于B，，时，，时，， 故有两个不相等的实数根，则实数，故B正确； 对于C，在上单调递减，故C错误； 对于D，，，成立，则， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：恒成立和有解问题通常转化成最值问题来求解，解决本题可先利用导数求出函数的单调性，从而可求出函数值正负分布情况和最值，进而可依次求解各选项. 导数综合应用题型05 29．（23-24高二下·贵州毕节·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据题意，利用导数研究函数的单调性，构造函数即可判断AB，构造函数即可判断CD. 【详解】令，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，即，故A正确，B错误； 令，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，所以当时，， 即，故C错误，D正确. 故选：AD 30．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】逐项判断选项中的函数是否满足三个条件. 【详解】对于A，是偶函数，且最大值为，满足条件，故A正确； 对于B，最大值为，不满足条件②，故B错误； 对于C，无最大值，故C错误； 对于D，是偶函数，且最大值为，满足条件，故D正确. 故选：AD 31．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知函数，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的定义域，单调性和奇偶性解题，将等价转化为，列出不等式组求解即可. 【详解】因为，由，所以定义域为， ， 所以在定义域上为奇函数， 又在上单调递增， 故在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 所以在定义域上单调递增， 所以等价于． 由，解得，即． 故选：C. 32．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知为定义在上的偶函数，已知，当时，有，则使成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，由可得出，可得出，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，其中，因为函数为定义在上的偶函数， 则，所以，， 所以，函数为偶函数， 当时，， 所以，函数在上为减函数，且， 由可得，则， 所以，，解得或， 因此，使成立的的取值范围为. 故选：D. 33．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意不等式成立转化为，利用导数求最值解不等式即可. 【详解】由于，， ，， ，，即，在上单调递增， 由任意的，都有成立， 所以，即， ， ，又，得， 则实数的取值范围为， 故选：D． 34．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为. 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程； （2）利用列表法求出单调区间和极值. 【详解】（1）函数的定义域为R. 导函数. 所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）令，解得：或.列表得： x 1 3 + 2 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调增区间为，；单调减区间为； 的极大值为，极小值为. 35．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得最小值； （2）分类参数，设，利用导数求函数的最大值，即可得的取值范围. 【详解】（1）当时， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ； （2），， ， 令，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ， ，即的取值范围是. 36．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知． (1)若有最值，求实数a的取值范围； (2)若当时，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，分类讨论确定的单调性，进而确定的最值； （2）根据参变分离整理得，则，构建新函数，利用导数判断其单调性求最值. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，在上恒成立，则在上单调递增，无最值，不合题意，舍去 当时，令，则，令，则 ∴在上单调递减，在上单调递增，则在处取到最小值 所以，即实数a的取值范围为． （2）因为，，所以， 因为，所以成立． 令，则 令，则当时恒成立 ∴在上单调递增，则 则当时恒成立 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即实数a的取值范围为． 37．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知函数． (1)若，求函数在上的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)答案见解析. 【分析】（1）求导，利用导数研究函数在的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解； （2）对函数求导，根据未知数的不同范围，分别求出函数单调性. 【详解】（1）当时，，则， 令，得或， 由于， 所以当，，在单调递减， 所以当，，在单调递增， 所以在时取到极小值，且， 又因为，， 综上，函数在上的最大值为，最小值为. （2）因为，所以， 当，即时，， 在单调递增， 当，即时， 令，则， 所以当，，在单调递增， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增. 综上所述，当时，在单调递增， 当时，在，单调递增，在单调递减. 38．（23-24高二下·贵州·期中）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值0；无极大值． (2)． 【分析】（1）对求导，构建新函数，对求导，可判断单调性，根据题意知，可判断符号，即可确定单调性及极值点； （2）设新的函数，可转化为恒成立，即小于最小值，在构新的函数，，对求导，即可判断单调性，以及最小值点，即可求解. 【详解】（1）当时， 定义域为． ，． 令．则． 所以在上单调递增． 又因． 可知当时，；时，． 得时取极小值； 无极大值． （2）根据题意知当时，都有， ， 令，显然在上单调递增．则， 所以， 令， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 可得，所以， 即a的取值范围． 39．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导可得，分和进行讨论即可得解； （2）根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解. 【详解】（1）依题意，， 当时，显然，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，； 即在上单调递增，在上单调递减． （2）由题意得恒成立，等价于恒成立， 令，即时成立． 则，当时，，当时，， 那么在上单调递增，在上单调递增减，所以， 所以． 40．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知函数有两个不同的极值点，且. (1)求的取值范围； (2)求的极大值与极小值之和的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对求导，得到，根据条件，得到有两个不同的正根，再利用二次函数根的分布，即可求出结果； （2）根据（1）得到，从而得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出，即可求出结果. 【详解】（1），且定义域为， 因为有两个不同的极值点，且， 所以有两个不同的正根， 所以，解得， 所以的取值范围是. （2）由（1）可知，，不妨设， 所以， 所以 ， 令，则， 所以在上单调递增， 所以， 即的极大值与极小值之和的取值范围是. 41．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，直线与曲线，都相切. (1)求实数的值； (2)记，求的最值. 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值 【分析】（1）由题意，分别设出直线与曲线，相切的切点，对函数与进行求导，利用导数的几何意义，列出以及，分别求出切点，从而得到实数的值； （2）由（1）知，求出，利用导数得到函数的单调性，进而求得函数的最值. 【详解】（1）设直线与曲线的切点为， 因为，所以，故， 所以切点为，故， 设直线与曲线的切点为， 因为，所以，解得， 所以切点为，故，即. （2）由（1）知：， 则， 所以， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以有最小值，无最大值. 导函数的新定义题型06 42．（23-24高二下·贵州·期中）定义运算：，已知函数，． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)若函数存在两个极值点，，证明：； (3)证明：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可； （2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证， 即证，令求导确定函数的单调性，证明结论． （3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求和证明结论. 【详解】（1）由题意知： ， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为． ， ． （2） “函数存在两个极值点，”等价于 “方程有两个不相等的正实数根”； 故，解得． 要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． （3）由（1）知，，即， 当时， ． 【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了不等式的放缩，裂项相消求和知识，属于难题. 43．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹*布劳威尔.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（    ） A．函数只有一个不动点 B．若定义在R上的奇函数，图象上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 C．函数只有一个不动点 D．若函数在上存在两个不动点，则实数a满足 【答案】ABD 【分析】根据不动点函数和不动点的定义，将各选项的不动点问题转化为方程的解的问题来处理后可得正确的选项，ACD选项中的对应的方程的解的问题需结合导数来处，而B中则需结合奇函数的性质来处理. 【详解】对于A，令，因为，， 故在上存在零点，但， 故在上为减函数，故在上仅有一个零点， 故有且仅有一个实数解，即只有一个不动点，故A正确. 对于B，若为奇函数的非零不动点，则， 而，所以也为奇函数的非零不动点， 故的非零不动点成对出现，而，故为奇函数的不动点， 所以奇函数不动点个数是奇数，故B正确. 对于C，设，则， 时；时； 故在上递增，在上递减， 而，，， 故在有两个不同的零点，故， 故有两个不动点，故C错误. 对于D，若函数在上存在两个不动点， 则在上存在两个不同的解， 故在上存在两个不同的解， 设，， 若，则，故在上为增函数， 在上至多一个零点，与题设矛盾； 若，时；时； 故在上递增，在上递减， 因为在上存在两个不同的零点，故， 故. 此时，， 下证：当时，. 设，则， 故在上为减函数，故， 故在上恒成立，故在上恒成立， 故在上恒成立，令，则， 故当时，有， 故时，在上的确存在两个不同的零点，故D正确. 故选:ABD. 【点睛】思路点睛：导数背景下函数的零点问题，需要结合导数的符号讨论函数的单调性，并结合零点存在定理讨论零点的存在性问题，取点如果比较复杂，则可以利用放缩法把指对数函数转为多项式函数来讨论. 44．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）设实系数一元二次方程①，有两根， 则方程可变形为，展开得②， 比较①②可以得到 这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理. 事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理. 设方程有三个根，则有③ (1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； (2)已知函数恰有两个零点. （i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）将展开，对比两个方程即可得证； （2）（i）由一元三次方程的韦达定理可得两根关系，根据两根符号即可得证； （ii）利用两根表示出，消去，令可得，利用导数判断单调性，然后可得. 【详解】（1）证明：因为方程有三个根， 所以方程即为， 变形为， 比较两个方程可得. （2）（i）证明：有两个零点， 有一个二重根，一个一重根，且 由（1）可得，由可得. 由可得，. 联立上两式可得，解得， 又，综上. （ii）解：由（i）可得， . 令，则， ，当时，， 在上单调递增，， . 【点睛】思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点：（1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点；（2）利用好定义所给的表达式及相关条件；（3）含有参数时要注意分类讨论. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数和导函数 题型概览 题型01导函数的概念及其运算 题型02利用导函数求解函数的单调性和最值 题型03导函数的几何意义 题型04函数的零点问题 题型05导数综合应用 题型06导函数的新定义 导函数的概念及其运算题型01 1．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知函数在处的导数为3，则（    ） A．3 B． C．6 D． 2．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）若上的可导函数在处满足，则 ． 3．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数满足，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 4．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）下列函数求导错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·贵州毕节·期中）下列式子正确的有（    ） A． B． C． D．， 6．（23-24高二下·贵州·期中）若，则 ． 7．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）函数的导函数满足关系式，则 ． 利用导函数求解函数的单调性和最值题型02 8．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）的单调递减区间是 . 9．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）函数在区间上的最大值为 A．0 B． C． D． 10．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知函数，则的极小值点为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）函数图象连续的函数在区间上（    ） A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大值小 12．（23-24高二下·广东·阶段练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．， D．， 16．（23-24高二下·贵州毕节·期中）函数的图象可能是（    ） A．B． C．D． 17．（23-24高二下·贵州·期中）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B．3 C．2 D． 18．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（    ） A． B．0是的极值点 C．在上单调递增 D．的最小值为0 19．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知函数在处取得极大值，则的取值范围是 . 20．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数在处的切线方程． （1）求，的值； （2）求的单调区间与极小值． 21．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知函数． (1)若，证明：： (2)若，都有，求实数的取值范围． 导函数的几何意义题型03 22．（23-24高二下·贵州·期中）若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 23．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）曲线在点处的切线的一般式方程为 ； 24．（2023·山东·一模）过点与曲线相切的直线方程为 ． 25．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（    ） A． B．1 C．2 D． 函数的零点问题题型04 26．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是 . 27．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（23-24高二下·贵州·期中）已知函数，，，则下列说法中正确的是（    ） A．函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点． B．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数． C．，且，都有． D．，，使得成立，则实数． 导数综合应用题型05 29．（23-24高二下·贵州毕节·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 30．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知函数，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知为定义在上的偶函数，已知，当时，有，则使成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 35．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)，，求的取值范围. 36．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知． (1)若有最值，求实数a的取值范围； (2)若当时，，求实数a的取值范围． 37．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知函数． (1)若，求函数在上的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调性． 38．（23-24高二下·贵州·期中）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 39．（23-24高二下·贵州黔南州·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； 40．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知函数有两个不同的极值点，且. (1)求的取值范围； (2)求的极大值与极小值之和的取值范围. 41．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，直线与曲线，都相切. (1)求实数的值； (2)记，求的最值. 导函数的新定义题型06 42．（23-24高二下·贵州·期中）定义运算：，已知函数，． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)若函数存在两个极值点，，证明：； (3)证明：． 43．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹*布劳威尔.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（    ） A．函数只有一个不动点 B．若定义在R上的奇函数，图象上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 C．函数只有一个不动点 D．若函数在上存在两个不动点，则实数a满足 44．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）设实系数一元二次方程①，有两根， 则方程可变形为，展开得②， 比较①②可以得到 这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理. 事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理. 设方程有三个根，则有③ (1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； (2)已知函数恰有两个零点. （i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0； （ii）求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$