专题01 概率、统计和计数原理（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（贵州专用）

专题01 概率，统计和计数原理 题型概览 题型01分类，分布计数原理 题型02排列组合问题 题型03二项式定理 题型04概率 题型05随机变量及其分布 题型06统计和统计案例 分类，分布计数原理题型01 1．（23-24高二下·贵州·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 2．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 3．（23-24高二下·贵州·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？ (1)老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．” (2)老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．” 4．（23-24高二下·贵州遵义·期中）杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为 ． 5．（23-24高二下·贵州铜仁·期中）从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有 种． 6．（23-24高二下·贵州毕节·期中）从名男生和名女生中，任取两名同学参加学校座谈会，至少有一名是男生的取法共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 7．（23-24高二下·贵州毕节·期中）从名男生和名女生中选出人去参加辩论比赛，人中既有男生又有女生的不同选法共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 8．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（    ） A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 9．（23-24高二下·贵州毕节·期中）从1，2，3，4，5这5个整数中，允许重复地取出3个数a，b，c，构成一个三位数X＝100a+10b+c． （1）X有多少个？其中偶数多少个？（均用数字作答） （2）将所有的X从小到大排列，第75个X是多少？ 10．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符"（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（    ） A． B． C． D． 排列组合问题题型02 11．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）若=2,则logn25的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．不确定 12．（23-24高二下·贵州遵义·期中）下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 14．（23-24高二下·贵州毕节·期中）现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为（    ） A．120 B．150 C．240 D．300 15．（23-24高二下·贵州遵义·期中）第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（    ） A．60种 B．74种 C．88种 D．120种 16．（23-24高二下·贵州铜仁·期中）如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 17．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 18． （23-24高二下·贵州毕节·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有 种． 19．（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 20．（23-24高二下·贵州安顺·期中）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ 21．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）现有编号为的5个不同小球. (1)若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且不相邻，则有多少种不同的排法？ (2)若将这些小球放入甲､乙､丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示） 22． （23-24高二下·贵州毕节·期中）甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排． (1)若甲、乙不相邻，则有多少种不同排法？ (2)若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则有多少种不同的排法？ (3)若甲不在最左，乙不在最右，则有多少种不同的排法？ 二项式定理题型03 23．（23-24高二下·贵州·期中）在的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C．240 D．60 24．（23-24高二下·贵州毕节·期中）若的展开式中的系数为40，则（    ） A．2 B． C．4 D． 25．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 26．（23-24高二下·贵州毕节·期中）在的展开式中，的系数为15，则实数（    ） A．5 B．3 C．1 D． 27．（23-24高二下·贵州安顺·期中）关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 28．（23-24高二下·贵州遵义·期中）二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则的展开式中x的系数为（    ） A． B． C．28 D．56 29．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知的展开式中第3项的二项式系数为28，且展开式中各项系数和为256，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为128 C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为70 30．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解九章算法》一节中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”.在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·贵州毕节·期中）（x2 +2x+y）5的展开式中,x4y2的系数为 . 32．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为 . 33．（23-24高二下·贵州卓越联盟·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值． 34．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知的展开式中的所有二项式系数之和为32． (1)求的值； (2)求展开式中的系数． 35． （23-24高二下·贵州铜仁·期中）已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含的项． 概率题型04 36．（23-24高二下·贵州毕节·期中）下列命题，其中正确命题的个数有（    ）  ①有一大批产品，已知次品率为，从中任取件，必有件次品； ②做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此正面出现的概率是； ③若事件为随机事件，则； ④若，则，是对立事件． A． B． C． D． 37．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件“取出的牌有两张6”，事件“取出的牌至少有一张黑桃”，事件“取出的牌有一张大王”，事件“取出的牌有一张红桃6”，则（   ） A．事件A与事件互斥 B．事件与事件互斥 C．事件与事件互斥 D．事件A与事件互斥 38．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月3日，由中国田径协会技术认证，贵州省体育局、黔西南州人民政府共同主办的“加油奔跑·兴义真好”2024万峰林马拉松赛鸣枪开跑.近2万名选手穿行城市间，奔跑峰林中，尽享“万峰成林处、阳光黔西南”的山水画卷.本次马拉松共设置了4个服务站点（真实数据是16个，本题设置为4个），某参赛运动员在第1个服务点停留的概率为，在其他服务点停留的概率均为．用随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，则下列正确的是（    ） A． B． C．一次都不停留的概率为 D．至多停留一次的概率为 40．（23-24高二下·贵州·期中）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二下·贵州卓越联盟·期中）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（   ） A．打满三局结束比赛的概率为 B．的常数项为4 C．函数在上单调递增 D． 42．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）10张奖券中只有三张有奖，现五人购买，每人只买一张，则至多有一人中奖的概率为 . 43．（23-24高二下·贵州卓越联盟·期中）每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为 . 随机变量及其分布题型05 44．（23-24高二下·贵州遵义·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为 ， ． 45．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数. （1）求的分布列； （2）求的数学期望； （3）求“所选3人中女生人数”的概率. 46．（23-24高二下·贵州·期中）设是不等式的解集，整数． (1)设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点． (2)设，写出随机变量X的分布列，求． 47．（23-24高二下·贵州遵义·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表． 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． (1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； (2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望． 统计和统计案例题型06 48．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（    ）． A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7 49．（23-24高二下·贵州遵义·期中）某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表． 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 保有量(万辆) 18 20 23 25 29 (1)请用相关系数说明与的线性相关程度； (2)求关于的回归直线方程，并预测2025年该地新能源汽车保有量． 附：相关系数． 在回归直线方程中，．取． 50．（23-24高二下·贵州遵义·期中）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船把三名航天员送入太空．空间站开展的公益活动是与大众比较接近的．为了解学生对空间站开展的公益活动是否感兴趣，某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，得到如下列联表中的部分数据． 对空间站开展的公益活动感兴趣 对空间站开展的公益活动不感兴趣 合计 男生 150 女生 50 合计 已知从这300名学生中随机抽取男生和女生各1人，抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为． (1)将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为学生对此项活动感兴趣与性别有关； (2)该学校对参与问卷调查的学生按性别采用分层随机抽样的方法，从对空间站开展的公益活动感兴趣的学生中抽取8人，组成一个宣传小组，从这8人中任选3人担任宣传小组的主讲人，设随机变量X表示这3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望． 附表及公式：． 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 概率，统计和计数原理 题型概览 题型01分类，分布计数原理 题型02排列组合问题 题型03二项式定理 题型04概率 题型05随机变量及其分布 题型06统计和统计案例 分类，分布计数原理题型01 1．（23-24高二下·贵州·期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（    ） A．54 B．12 C．8 D．81 【答案】B 【分析】直接由分步计数原理求解即可． 【详解】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式， 乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同， 可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式， 共分步计数原理可得共有种． 故选：B． 2．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有 . 【答案】48 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】根据题意，对于区域A，有4种涂色方法，对于区域B，有3种涂色方法， 对于区域C，有2种涂色方法，对于区域D，有2种涂色方法， 则由分步乘法计数原理可得种涂色方法. 故答案为：48 3．（23-24高二下·贵州·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列名次）．甲、乙两名同学去询问成绩，请你根据下面老师的回答分析，分别求5人的名次排列可能有多少种不同情况？ (1)老师对甲说：“很遗憾，你没有得到第一名”，对乙说：“你当然不会是最差的．” (2)老师说：“你们都没有得到第一名，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．” 【答案】(1)78 (2)24 【分析】（1）利用间接法，结合排列组合知识求解； （2）甲、乙两人名次为2，3或3，4，，再用分步乘法计数原理求解. 【详解】（1）由题意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情况有（种）． （2）由题意得，甲、乙两人名次为2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情况有（种）． 4．（23-24高二下·贵州遵义·期中）杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为 ． 【答案】114 【分析】以第一棒完成人分类计数，当A完成第一棒时，最后一棒没有限制条件，从剩下5人中选2人， 再排中间三棒即可；当B完成第一棒时，最后一棒不能是AC完成，故最后一棒完成数为种，再排中间三棒即可． 【详解】当A完成第一棒时，有种不同的传递方案； 当B完成第一棒时，有种不同的传递方案． 故共有种不同的传递方案． 故答案为：114. 5．（23-24高二下·贵州铜仁·期中）从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有 种． 【答案】12 【分析】由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）． 故答案为：12. 6．（23-24高二下·贵州毕节·期中）从名男生和名女生中，任取两名同学参加学校座谈会，至少有一名是男生的取法共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】D 【分析】分一名男生、两名男生两种情况讨论，利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意，若有一名男生，则有种取法； 若有两名男生，则有种取法； 综上可得一共有种取法. 故选：D 7．（23-24高二下·贵州毕节·期中）从名男生和名女生中选出人去参加辩论比赛，人中既有男生又有女生的不同选法共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】在没有任何限制的情况下减去全是男生和全是女生的选法种数，可得出所求结果. 【详解】全是男生的选法种数为种，全是女生的选法种数为种， 因此，人中既有男生又有女生的不同选法为种，故选C. 【点睛】本题考查排列组合问题，可以利用分类讨论来求解，本题的关键在于利用间接法来求解，可避免分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（    ） A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】分3类，买1本书，买2本书，买3本书， 各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种). 故选：C 9．（23-24高二下·贵州毕节·期中）从1，2，3，4，5这5个整数中，允许重复地取出3个数a，b，c，构成一个三位数X＝100a+10b+c． （1）X有多少个？其中偶数多少个？（均用数字作答） （2）将所有的X从小到大排列，第75个X是多少？ 【答案】（1）125，50，（2）355 【分析】（1）a，b，c各有5种取法，按分步乘法原理求解即可X的个数，先对c取值有2种，a，b各5种，按分步乘法原理求解即可得偶数的个数， （2）求出百位为1的个数，百位为2的个数，百位为3的个数，可求得第75个X 【详解】（1）由题意可得a，b，c各有5种取法，所以分步乘法原理可得3个数a，b，c，构成一个三位数X有个， 其中偶数有c取值有2种，a，b各5种，按分步乘法原理可得个， （2）当百位为1时的三位数有， 当百位为2时的三位数有， 当百位为3时的三位数有， 所以将所有的X从小到大排列，第75个X是百位数字为3的组成的最大的三位数为355 10．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符"（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，共有种不同的领取方案，其中们三人领取的礼品种类都不相同的有种，进而根据古典概型即可得答案. 【详解】根据题意，3名顾客都领取一件礼品，基本事件总数共有：种， 他们三人领取的礼品种类都不相同的基本事件有种， 故根据古典概型公式得他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是 故选：A 排列组合问题题型02 11．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）若=2,则logn25的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．不确定 【答案】B 【分析】根据排列数公式与对数性质计算即可． 【详解】由=2,得=2 解得n=5,所以logn25=log525=2. 故选B 【点睛】本题考查了排列数公式的应用问题，考查对数的运算性质，是基础题． 12．（23-24高二下·贵州遵义·期中）下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】AB选项，利用排列知识进行求解；CD选项，根据组合公式计算出答案. 【详解】A选项，因为，所以A错误； B选项，因为， 所以，故B正确； C选项，因为，所以C正确； D选项，因为， 所以 ，故D正确． 故选：BCD 13．（23-24高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 【答案】A 【分析】分最高位是5和最高位是4两种情况，结合排列组合知识求解． 【详解】若最高位是5，则个位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有种， 若最高位是4，则个位可以是0或2，其它位任意排列，共有种， 所以比400000大的偶数的排列方法一共有种． 故选：A． 14．（23-24高二下·贵州毕节·期中）现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为（    ） A．120 B．150 C．240 D．300 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，利用分步计数原理以及分类计数原理得到结果． 【详解】有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动， 要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人， 包括两种情况： 一是按照2，2，1分配，有种结果， 二是按照3，1，1分配，有种结果． 不同分配方案的总数为， 故选：B. 15．（23-24高二下·贵州遵义·期中）第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（    ） A．60种 B．74种 C．88种 D．120种 【答案】B 【分析】按照A场地承办1个竞赛项目还是2个竞赛项目分类讨论，结合排列组合知识进行求解. 【详解】当A场地承办1个竞赛项目时，分和两种情况，共有种安排； 当A场地承办2个竞赛项目时，分和两种情况，有种安排． 故不同的安排方法共有种． 故选：B. 16．（23-24高二下·贵州铜仁·期中）如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 【答案】A 【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数. 【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为； 若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为； 则不同的信号总数为. 故选：A． 17．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【分析】计算出从七个点中任意选两个点的总条数，再减去四点共线重复的直线条数，可得结果. 【详解】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有种， 其中四点中任意选两点只能作一条直线，有种重复， 所以所得直线的条数为种. 故选：C 18． （23-24高二下·贵州毕节·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有 种． 【答案】54 【分析】根据甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，分甲是第5名和甲不是第5名分类求解. 【详解】解：因为甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名， 当甲是第5名时，则乙可以为第2，3，4名，有3种情况， 剩下的3人全排列有种， 此时，由分步计数原理得共有种情况； 当甲不是第5名时，则甲乙排在第2，3，4名，有种情况， 剩下的3人全排列有种， 此时，由分步计数原理得共有种情况； 综上：甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有18+36=54种情况， 故答案为：54 19．（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 【答案】43200 【分析】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，甲和丙不能相邻，采用插空法，结合圆排列，再根据分步乘法原理计算即可. 【详解】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他6人排成一圈，共有种排列. 甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7个空，但甲与丙丁不能相邻，故丙丁只有6个空位可选，有种选择， 根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为. 故答案为：43200    . 20．（23-24高二下·贵州安顺·期中）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ 【答案】(1)种； (2)种. 【分析】（1）先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），结合插空法可求得结果； （2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻， 只需先将支不同的铅笔进行全排，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的4个空位中（含两端）， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. （2）随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔，则铅笔的支数可以是或或， 由分类加法计数原理知，不同的取笔种数为种. 21．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）现有编号为的5个不同小球. (1)若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且不相邻，则有多少种不同的排法？ (2)若将这些小球放入甲､乙､丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示） 【答案】(1)16种 (2)150种 【分析】（1）根据特殊优先的原则先安排小球，然后安排，最后安排其它小球即可； （2）利用先分组后排序的方法，先将5个小球分成3组，然后再放到三个不同的盒子里即可. 【详解】（1）将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且不相邻， 则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入，其余小球任意排，方法有种. （2）将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球， 则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中. 若按311分配，方法有种， 若按221分配，方法有种. 综上可得，方法共有种. 22． （23-24高二下·贵州毕节·期中）甲、乙、丙、丁、戊5人并排站成一排． (1)若甲、乙不相邻，则有多少种不同排法？ (2)若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则有多少种不同的排法？ (3)若甲不在最左，乙不在最右，则有多少种不同的排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）丙、丁、戊三人排列后甲、乙插入可得； （2）按甲左乙右把甲乙捆绑算作一人与丙、丁、戊三人全排列； （3）分两类，一类是甲站在最右位置，另一类是甲站在中间某个位置，乙再选一个位置，其他三人全排列，相加可得． 【详解】（1）丙、丁、戊三人排列后甲、乙插入，方法数是； （2）甲、乙捆绑算作一人与丙、丁、戊三人全排列，甲乙之间只有一种排法，方法数是； （3）分两类，甲站在最右位置，共有种排法，甲站在中间某个位置，乙再选一个位置，其他三人全排列：，总方法数为． 二项式定理题型03 23．（23-24高二下·贵州·期中）在的展开式中含项的系数是（    ） A． B． C．240 D．60 【答案】C 【分析】运用二项式定理，结合组合数公式求解即可. 【详解】， 要得到含项，只需要找出展开式的，即可. 二项式的展开式中含的项为，没有含的项. 故含项为，含项的系数是240. 故选：C. 24．（23-24高二下·贵州毕节·期中）若的展开式中的系数为40，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】直接利用二项展开式和组合数公式求出结果． 【详解】的展开式的项为, 因为的展开式中的系数为40， 所以，解得. 故选:B． 25．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据二项展开式的通项求解，BC选项根据赋值法解决，D选项根据不等式法结合组合数性质确定系数的最大项. 【详解】A选项，根据二项展开式的通项，，A选项正确； B选项，取代入等式，得到，B选项正确； C选项，取代入等式，得到， 结合B选项， 两式相加得，故C选项错误； D选项，根据二项展开式的通项，，令，即， 解得，又，故，即最大，D选项正确. 故选：ABD 26．（23-24高二下·贵州毕节·期中）在的展开式中，的系数为15，则实数（    ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用乘法运算以及二项式定理列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意的系数为， 即， 即. 故选：A 27．（23-24高二下·贵州安顺·期中）关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 【答案】ABC 【分析】原二项式可以化为，再根据二项式展开式的性质求解即可. 【详解】，得二项式的系数和为，故A正确； 令得所有项的系数和为0，故B正确； 常数项，故C正确； 由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误. 故选：ABC 28．（23-24高二下·贵州遵义·期中）二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则的展开式中x的系数为（    ） A． B． C．28 D．56 【答案】A 【分析】由二项式的展开式中仅有第5项系数最大，求出，然后求出的通项，再分别乘以和1，由的指数为1求出，则可以得到x的系数. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第5项系数最大，所以， 因为的通项， 所以，当时，， 或，此时，， 所以的展开式中x的系数为． 故选：A. 29．（23-24高二下·贵州毕节·期中）已知的展开式中第3项的二项式系数为28，且展开式中各项系数和为256，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为128 C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为70 【答案】ABD 【分析】由第3项的二项式系数求得，由系数和求得，然后根据二项式定理，二项式系数的性质求解判断． 【详解】由题意，解得（负数舍去）， 令得，又，所以．A正确； 所有项的二项式系数和，所以偶数项的二项式系数和为，B正确； ，第5项的二项式系数最大，C错误； 由，令，， 则常数项为，D正确． 故选：ABD． 30．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解九章算法》一节中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”.在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为，化简即可得到答案. 【详解】当时，第行的第斜列项为， 故该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为， 根据以及组合数的性质， 化简可得：. 故选：C 31．（23-24高二下·贵州毕节·期中）（x2 +2x+y）5的展开式中,x4y2的系数为 . 【答案】120 【分析】灵活利用二项展开式的通项公式，即可求出正确的答案． 【详解】解：（x2+2x+y）5展开式的通项为 Tr+1＝， 令r＝2，则（x2+2x）3的通项为 •（x2）3﹣k• ＝•， 令6﹣k＝4，则k＝2， ∴（x2+2x+y）5的展开式中，x4y2的系数为 ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用问题以及计算能力与推理能力． 32．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，，然后利用展开式的通项公式得到有理项项数，再利用古典概型的概率求解. 【详解】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式的总项数为7项，故， 展开式的通项， 当是偶数时该项为有理项， 时，项为有理项，共有4项， 所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为. 故答案为： 33．（23-24高二下·贵州卓越联盟·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)729 【分析】（1）先求出，再将改为后令即可得答案； （2）设，通过计算可得答案. 【详解】（1）令得，再将改为， 则 再令，得， 所以； （2）设， 则 . 34．（23-24高二下·贵州镇宁·期中）已知的展开式中的所有二项式系数之和为32． (1)求的值； (2)求展开式中的系数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）由二项式定理求解． 【详解】（1）由题意可得，，解得； （2）， 二项展开式的通项为 由，得． 展开式中的系数为． 35． （23-24高二下·贵州铜仁·期中）已知二项式的展开式中共有10项． (1)求展开式的第5项的二项式系数； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1)126 (2) 【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可； （2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可. 【详解】（1）解：因为二项式的展开式中共有10项，所以， 所以第5项的二项式系数为； （2）由（1）知，记含的项为第项， 所以， 取，解得，所以， 故展开式中含的项为. 概率题型04 36．（23-24高二下·贵州毕节·期中）下列命题，其中正确命题的个数有（    ）  ①有一大批产品，已知次品率为，从中任取件，必有件次品； ②做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此正面出现的概率是； ③若事件为随机事件，则； ④若，则，是对立事件． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用次品率的意义判断①；利用频率、概率的意义判断②；利用概率的性质，结合互斥、对立判断③④. 【详解】对于①，次品率为，从中任取件，不一定有件次品，①错误； 对于②，做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此正面出现的频率是， 若是质地均匀的硬币，正面出现的概率是，②错误； 对于③，若事件为随机事件，则，③正确； 对于④，由及， 得，则事件互斥，又，因此对立，④正确， 所以正确命题的个数为2. 故选：C 37．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件“取出的牌有两张6”，事件“取出的牌至少有一张黑桃”，事件“取出的牌有一张大王”，事件“取出的牌有一张红桃6”，则（   ） A．事件A与事件互斥 B．事件与事件互斥 C．事件与事件互斥 D．事件A与事件互斥 【答案】D 【分析】根据互斥事件的定义作出判断. 【详解】ABC选项，因为事件A与事件，事件与事件，事件与事件都可以同时发生，所以A，B，C错误. D选项，因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王，所以事件A与事件C互斥. 故选：D 38．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件“选中第一袋”，事件“选中第二袋”，事件“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各一份”， 则，且，，， 所以. 故选：C. 39．（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月3日，由中国田径协会技术认证，贵州省体育局、黔西南州人民政府共同主办的“加油奔跑·兴义真好”2024万峰林马拉松赛鸣枪开跑.近2万名选手穿行城市间，奔跑峰林中，尽享“万峰成林处、阳光黔西南”的山水画卷.本次马拉松共设置了4个服务站点（真实数据是16个，本题设置为4个），某参赛运动员在第1个服务点停留的概率为，在其他服务点停留的概率均为．用随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，则下列正确的是（    ） A． B． C．一次都不停留的概率为 D．至多停留一次的概率为 【答案】BC 【分析】运用相互独立事件概率乘法公式，结合组合数公式逐个计算即可 【详解】的所有可能为. ，， ，. 则选项中，错误，正确. 故选：BC 40．（23-24高二下·贵州·期中）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，再利用独立事件的概率乘法公式求解． 【详解】设事件表示“小球落入2号容器”， 若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右， 所以． 故选：B． 41．（23-24高二下·贵州卓越联盟·期中）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（   ） A．打满三局结束比赛的概率为 B．的常数项为4 C．函数在上单调递增 D． 【答案】C 【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项. 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为， 所以， ， 因此三局结束比赛的概率为，则A不正确； 故 ， 由知常数项为2，故B不正确； 由，故D不正确； 由二次函数的性质可得函数在上单调递增， 而，所以函数在上单调递增，C正确. 故选：C. 42．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）10张奖券中只有三张有奖，现五人购买，每人只买一张，则至多有一人中奖的概率为 . 【答案】/ 【分析】分别求出基本事件的总数和所求事件的个数，再根据古典概型即可得解. 【详解】由题意，至多有一人中奖的概率为. 故答案为：. 43．（23-24高二下·贵州卓越联盟·期中）每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为 . 【答案】 【分析】直接由古典概型概率公式即可求解. 【详解】由古典概型概率计算公式可知，所求即为. 故答案为：. 随机变量及其分布题型05 44．（23-24高二下·贵州遵义·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为 ， ． 【答案】 3 1 【分析】根据题意分析可知：向左的次数，，根据二项分布的期望和方差公式结合相应性质运算求解. 【详解】由题意可知：白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为， 则向左的次数，可知，， 又因为，所以，. 故答案为：3；1. 45．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数. （1）求的分布列； （2）求的数学期望； （3）求“所选3人中女生人数”的概率. 【答案】（1）分布列见解析；（2）1；（3）. 【分析】(1)的可能取值为，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列;（2）结合(1)利用期望公式可得的数学期望；（3）利用互斥事件概率的加法公式可得结果. 【详解】（1）可能取的值为0，1，2.. 所以，的分布列为 0 1 2 P （2）由（1），的数学期望为; （3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为 . 【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤： ①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义； ②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； ③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； ④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望. 46．（23-24高二下·贵州·期中）设是不等式的解集，整数． (1)设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点． (2)设，写出随机变量X的分布列，求． 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由一元二次不等式求解，即可求解， （2）由古典概型概率公式求解概率，即可得分布列，进而求解. 【详解】（1）由，解得． 故 整数m，且 A包含的事件为，，，，． 整数m，且 B包含的事件为、、、、、． （2）由于m的所有不同取值为，1，0，1，2，3 故的所有不同取值为0，1，4，9． ，， ，． 故X的分布列为： X 0 1 4 9 P 47．（23-24高二下·贵州遵义·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表． 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． (1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； (2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，． 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：且，求解分布列和数学期望 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B， 由测试结果知， 所以． 记“测试的2个问题都回答正确”为事件，“测试的2个问题中恰有1个存在语法错误”为事件． 则，， 所以． （2）易知， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故． 统计和统计案例题型06 48．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（    ）． A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排列，结合数据的中位数、众数的概念，即可求解. 【详解】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8， 因此，这组数据的众数为8，中位数为7． 故选：D． 49．（23-24高二下·贵州遵义·期中）某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表． 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 保有量(万辆) 18 20 23 25 29 (1)请用相关系数说明与的线性相关程度； (2)求关于的回归直线方程，并预测2025年该地新能源汽车保有量． 附：相关系数． 在回归直线方程中，．取． 【答案】(1)与的线性相关程度较强； (2)，33.8万辆． 【分析】（1）根据题干数据求出，，，，，即可求出相关系数，即可判断； （2）根据所给数据求出，，即可求出，，从而得到回归直线方程，再令求出，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以 ， ， ， 所以． 因为的值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强， 所以与的线性相关程度较强． （2）因为，， ， ， 所以，， 所以回归直线方程为． 当时，， 所以预测2025年该地新能源汽车保有量为万辆． 50．（23-24高二下·贵州遵义·期中）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船把三名航天员送入太空．空间站开展的公益活动是与大众比较接近的．为了解学生对空间站开展的公益活动是否感兴趣，某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，得到如下列联表中的部分数据． 对空间站开展的公益活动感兴趣 对空间站开展的公益活动不感兴趣 合计 男生 150 女生 50 合计 已知从这300名学生中随机抽取男生和女生各1人，抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为． (1)将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为学生对此项活动感兴趣与性别有关； (2)该学校对参与问卷调查的学生按性别采用分层随机抽样的方法，从对空间站开展的公益活动感兴趣的学生中抽取8人，组成一个宣传小组，从这8人中任选3人担任宣传小组的主讲人，设随机变量X表示这3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望． 附表及公式：． 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析，有99.9%的把握认为学生对该项目感兴趣与性别有关 (2)分布列见解析，． 【分析】（1）根据抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率得到方程，求出抽取的300名学生中男生有200人，女生有100人，得到分布列，计算出卡方，与比较后得到结论； （2）用分层随机抽样的方法抽取的8人中，男生有6人，女生有2人，得到X可能的取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【详解】（1）设抽取的300名学生中男生的人数为x，则女生的人数为． 因为抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为， 所以，解得或（舍去）， 所以抽取的300名学生中男生有200人，女生有100人， 所以列联表为 对空间站开展的公益活动感兴趣 对空间站开展的公益活动不感兴趣 合计 男生 150 50 200 女生 50 50 100 合计 200 100 300 因为， 所以有99.9%的把握认为学生对该项目感兴趣与性别有关． （2）用分层随机抽样的方法抽取的8人中，男生有6人，女生有2人， 所以随机变量X可能的取值为1，2，3， 则， X的分布列为 X 1 2 3 P 故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$