专题03 平面向量（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（贵州专用）

专题03 平面向量 题型概览 题型01平面向量的基本定理及坐标表示 题型02平面向量的夹角 题型03平面向量的数量积 题型04三角形四心的向量表示 题型05向量综合 平面向量的基本定理及坐标表示题型01 1．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知向量，，若，则 . 【答案】 【分析】利用向量平行的坐标公式求解即可. 【详解】若，则，解得. 故答案为： 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在中，点D是AB的中点，.设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意，点D是AB的中点，，可得，， 则 ， 故选：A 3．（23-24高一下·贵州·期中）在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】ABD 【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可判断AB，根据三点共线表示，再利用基底表示向量，再利用平面向量基本定理的推论，根据系数和为1，即可判断C，根据C的判断，即可判断D. 【详解】对于：根据，又因为点是线段的中点，，故，故A正确； 对于：因为，所以，，故正确； 对于，因为点是线段的中点，所以，设，则， ，又，则， 又因为三点共线，所以，解得，故错误； 对于D：由于，故，故D正确. 故选：ABD 4．（23-24高一下·贵州·期中）已知向量是平面内的一组基底，且与的夹角为锐角， (1)求证三点共线． (2)设，若的最小值是，求锐角的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合共线向量定理推理即得. （2）利用向量数量积的运算律及数量积的定义化简，再借助二次函数最值求解即得. 【详解】（1）由， 得，则， 即，又有公共点， 所以三点共线. （2）依题意， 令，函数是开口向上的二次函数， 则当时，，即， 整理得，则，所以锐角. 平面向量的夹角题型02 5．（23-24高一下·贵州·期中）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角余弦公式计算求值. 【详解】设与的夹角为，则， 因为，所以． 故选：C． 6．（23-24高一下·贵州毕节·期中）若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．1或4 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积定义以及运算律计算可得结果. 【详解】根据题意可知，平面向量两两夹角可以为或， 当夹角为时，可得， 当夹角为时，可得 ； 综上可得1或4. 故选：D 7．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知向量，． (1)若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标； (2)若向量，且，求向量，夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示求出，再求出投影向量的坐标. （2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求出，再求出向量夹角的余弦. 【详解】（1）由，，得，， 由，得，即，则， 所以向量在向量上的投影向量为，其坐标为． （2）依题意，，由，得，解得， 则，，，， 所以. 平面向量的数量积题型03 8．（23-24高一下·贵州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据三点共线的结论可得，结合数量积运算即可；方法二：作投影，结合数量积的几何意义运算求解；方法三：建系，可得，结合数量积的坐标运算求解. 【详解】方法一：因为共线， 设， 即， 则，解得， 所以 方法二：过点连接的中点，过点分别做边的垂线，垂足分别是， 易得， 则在边上的投影是， 所以； 方法三：以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系，    则， 设， 因为共线可得，解得， 即，可得， 所以. 故选：A. 9．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知平面向量，满足，，且与的夹角为120°. (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积求模长即可； （2）利用投影向量的公式求解即可. 【详解】（1），故， 所以， 故， （2）， 故向量在向量上的投影向量为： . 三角形四心的向量表示题型04 10．（23-24高一下·贵州铜仁·期中）已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为 ． 故选：D． 11．（23-24高一下·贵州遵义·期中）设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，延长交于点D，由三点共线可得，再由重心定理可得，列出方程，即可求得，再由向量数量积的运算即可得到结果. 【详解】 延长交于点D，则D是线段的中点，故． 因为三点共线，所以． 因为P是的重心，所以， 所以解得． 因为， 所以． 故答案为：； 12．（23-24高一下·贵州·期中）在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据单位向量的概念与数量积的定义，求出，结合在梯形中，，和圆内接四边形对角互补，可得梯形为等腰梯形，且中点为梯形的外接圆圆心，再建立平面直角坐标系进行求解即可. 【详解】    由，得，则， 又在梯形中，，则， 结合圆内接四边形对角互补可得，所以梯形是等腰梯形． 又，取中点，可得，， 即为梯形外接圆圆心， 所以，梯形外接圆以为圆心，2为半径的圆. 以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设是角的终边，又因为点在圆上，所以，即 又，， ， 由，则，故． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定梯形外接圆的圆心所在位置，主要考查了圆内接四边形的性质，平面向量的数量积的定义与运算性质，以及角的终边与圆交点的坐标表示，属于较难题. 13．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）在给出的下列命题中，正确的是（    ） A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线 B．若向量，是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C．若，，，则只有一解 D．已知平面向量，，满足，，则为等边三角形 【答案】AC 【分析】对A，化简得出，根据向量共线定理可判断；对B，根据平面向量基本定理可判断；对C，利用正弦定理求出即可判断，对D，首先可得，根据可得为的角平分线即可判断. 【详解】对于A，若，则， 即，则，且有公共点，故共线，故A正确； 对于B，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B错误； 对于C，由正弦定理，即，则， 又，所以，则，故只有一解，故C正确； 对于D，，，即，所以， 因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 则为的角平分线上的向量，又， 所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故D错误. 故选：AC 向量综合题型05 14．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，得到方程，求出，由诱导公式求出答案. 【详解】， 故， 所以，则. 故选：C 15．（23-24高一下·贵州毕节·期中）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．若的平分线与交于，则的长为 C．若为的中点，则的长为 D．若为的外心，则 【答案】ABD 【分析】依题意由正弦定理可得，根据余弦定理和三角形面积公式可求得，再由正弦定理可得A错误；根据等面积法可得角平分线的长为，即B正确；由可求得，即C错误；利用外接圆以及投影向量的几何意义可得D正确. 【详解】根据题意由，利用正弦定理可得， 设， 利用余弦定理可得， 又面积为，所以， 又，所以， 对于选项A，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，故A正确； 对于B，分别作垂直于，垂足为，如下图所示： 易知的面积为，可得，故B正确； 对于C，若为的中点，易知，如下图所示： 所以可得，可得，故C错误； 对于D，延长交外接圆于点，连接，如下图所示： 易知即为直径，所以可知，利用投影向量的几何意义可得， ，故D正确. 故选：ABD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量 题型概览 题型01平面向量的基本定理及坐标表示 题型02平面向量的夹角 题型03平面向量的数量积 题型04三角形四心的向量表示 题型05向量综合 平面向量的基本定理及坐标表示题型01 1．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知向量，，若，则 . 2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在中，点D是AB的中点，.设，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州·期中）在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 4．（23-24高一下·贵州·期中）已知向量是平面内的一组基底，且与的夹角为锐角， (1)求证三点共线． (2)设，若的最小值是，求锐角的值． 平面向量的夹角题型02 5．（23-24高一下·贵州·期中）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·贵州毕节·期中）若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．1或4 7．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知向量，． (1)若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标； (2)若向量，且，求向量，夹角的余弦值． 平面向量的数量积题型03 8．（23-24高一下·贵州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知平面向量，满足，，且与的夹角为120°. (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量. 三角形四心的向量表示题型04 10．（23-24高一下·贵州铜仁·期中）已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·贵州遵义·期中）设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则 ；若，，则 ． 12．（23-24高一下·贵州·期中）在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围 ． 13．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）在给出的下列命题中，正确的是（    ） A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线 B．若向量，是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C．若，，，则只有一解 D．已知平面向量，，满足，，则为等边三角形 向量综合题型05 14．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·贵州毕节·期中）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．若的平分线与交于，则的长为 C．若为的中点，则的长为 D．若为的外心，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$