专题04 立体几何初步（3大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（贵州专用）

专题04 立体几何初步 题型概览 题型01点、直线、平面之间的位置关系 题型02求解几何体的体积和表面积 题型03空间几何体 点、直线、平面之间的位置关系题型01 1．（23-24高一下·贵州·期中）若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（    ） A．内存在与平行的直线 B．内所有直线都与异面 C．与有公共交点 D．内所有直线都与相交 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出下面三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若是两条异面直线，且，则. 其中正确结论的序号为 A．①② B．①③ C．②③ D．③ 求解几何体的体积和表面积题型02 3．（23-24高一下·贵州·期中）若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（    ） A．60.08斛 B．171.24斛 C．61.73斛 D．185.19斛 5．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·贵州毕节·期中）把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（　　）    A．   B．   C．   D．   7．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，是线段上的动点，则（    ）    A．不存在点，使四点共面 B．存在点，使平面 C．三棱锥的体积是定值 D．经过四点的球的表面积为 8．（23-24·高一下·贵州贵阳·期中）已知的顶点都是球的球面上的点，，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 . 9．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. (1)求圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 空间几何体题型03 10．（23-24高一下·贵州毕节·期中）下面关于空间几何体的表述,正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C．正四棱柱一定是长方体 D．用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台 11．（23-24高一下·贵州毕节·期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（    ）    A． B．2 C． D． 12．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 13．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证：平面． (2)求三棱锥的体积． 14．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）如图所示正四棱锥S-ABCD，，，P为侧棱SD上的点，且，求： (1)正四棱锥S-ABCD的表面积； (2)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 立体几何初步 题型概览 题型01点、直线、平面之间的位置关系 题型02求解几何体的体积和表面积 题型03空间几何体 点、直线、平面之间的位置关系题型01 1．（23-24高一下·贵州·期中）若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（    ） A．内存在与平行的直线 B．内所有直线都与异面 C．与有公共交点 D．内所有直线都与相交 【答案】C 【分析】利用线面的位置关系直接判断得解. 【详解】由直线不平行于平面，且直线，得直线与平面相交，则与有公共交点，C正确； 平面内不存在直线与平行，否则，与已知矛盾，因此内所有直线都与异面或相交，ABD错误. 故选：C 2．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出下面三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若是两条异面直线，且，则. 其中正确结论的序号为 A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【解析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】由题意，若，，则与平行或异面，故①错误； 若，则与可能平行也可能相交，故②错误； 若，是两条异面直线，且，则，故③正确. 故正确的结论只有③，故选D. 【点睛】主要考查了空间中平行关系的判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 求解几何体的体积和表面积题型02 3．（23-24高一下·贵州·期中）若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得该圆柱的高，底面半径，进而可得体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的高，    底面圆的周长为，解得， 所以圆柱的体积． 故选：D． 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（    ） A．60.08斛 B．171.24斛 C．61.73斛 D．185.19斛 【答案】C 【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数． 【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为尺， 则底面周长为尺，解得尺， 又高为尺， 所以圆锥的体积为（立方尺）； 又（斛）， 所以估算堆放的稻谷约有（斛）． 故选：C． 5．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定旋转一周形成的旋转体的形状，结合圆台侧面积公式以及球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球， 其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为， 挖去半球的半径为2， 故形成的旋转体的表面积为， 故选：B 6．（23-24高一下·贵州毕节·期中）把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有C和D，再根据三角形的位置，即可得出答案， 故选：C 7．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，是线段上的动点，则（    ）    A．不存在点，使四点共面 B．存在点，使平面 C．三棱锥的体积是定值 D．经过四点的球的表面积为 【答案】BC 【分析】当与重合时，说明，即可判断A；当为的中点时，证明平面，判断B；结合三棱锥体积公式判断C；利用割补法求得经过四点的球的半径，即可求得球的表面积，判断D. 【详解】对A选项，当与重合时，连接，由于, 则四边形为平行四边形，故，又，故， 从而可得四点共面，A选项错误；    对B选项，当为的中点时，，而四边形为平行四边形， 故，知，平面，平面， 得平面，B选项正确； 对C选项，点到面的距离为2，而，所以是定值，C选项正确； 对D选项，设分别为的中点，则为长宽高分别为2，2，1的长方体， 根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球，   所求球的直径满足：， 经过四点的球的表面积为，D选项错误． 故选：BC． 8．（23-24·高一下·贵州贵阳·期中）已知的顶点都是球的球面上的点，，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】取的中点，则为外接圆的圆心，得到平面，结合三棱锥的体积求得，结合球的截面圆的性质，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】因为，取的中点，则为外接圆的圆心， 所以平面， 因为，，，所以， 所以， 又由三棱锥的体积为，所以，解得， 所以球的半径为， 故球的表面积. 故答案为：. 9．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. (1)求圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由勾股定理求出圆锥底面半径，然后由侧面积公式求解即可； （2）分别求出圆锥，圆柱的体积，然后求和即可求出几何体的体积. 【详解】（1）因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm， 所以圆锥底面半径为cm， 所以圆锥的侧面积为 （2）由（1）可知，圆锥的体积为： ， 圆柱的体积为：， 所以几何体的体积为：. 空间几何体题型03 10．（23-24高一下·贵州毕节·期中）下面关于空间几何体的表述,正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C．正四棱柱一定是长方体 D．用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台 【答案】AC 【分析】用简单几何体的定义及特征去逐个判断即可. 【详解】对于A:棱柱的所有侧面都是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,故A正确. 对于B:只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥,以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体.故B错误. 对于C:正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱,所以必然是长方体,故C正确. 对于D:只有截面与底面平行时,截面与底面之间的部分才是棱台,故D错误. 故选:AC. 11．（23-24高一下·贵州毕节·期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积． 【详解】作出原来的平面图形，如图，，， 在题设等腰梯形中，，因此， 所以． 故选：D．    12．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可. 【详解】由直观图画出原图的图像，如图所示： ，， 所以， 所以原的周长为：. 故选：D 13．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证：平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）根据线面平行得出三棱锥的高，再结合三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）如图，连接． 点为的中点，且点为的中点 为的中位线，即． 又平面平面 平面 （2）为矩形 又平面平面 点到平面的距离为1，即棱锥的高为1． 又为的中点，且 ． 14．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）如图所示正四棱锥S-ABCD，，，P为侧棱SD上的点，且，求： (1)正四棱锥S-ABCD的表面积； (2)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）应用棱锥表面积的求法求正四棱锥S-ABCD的表面积； （2）取SD中点为Q，过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE，由线面平行的判定可得平面PAC，根据等比例性质有，再根据线面平行的判定得平面PAC，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性. 【详解】（1）正四棱锥S-ABCD中，，则侧面的高， 所以正四棱锥S-ABCD的表面积. （2）在侧棱SC上存在一点E，使平面PAC，满足， 理由如下： 取SD中点为Q，因为，则， 过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE. 在中有，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC， 由，则，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC，而，故面面PAC， 又面，则平面PAC，此时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$