专题01 函数及其性质（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（贵州专用）

专题01 函数及其性质 题型概览 题型01指对幂函数 题型02函数及其性质 题型03函数的零点问题 题型04函数综合 指对幂函数题型01 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）设，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州遵义·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数． (1)证明：的定义域与值域相同． (2)若，，，求m的取值范围． 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 函数及其性质题型02 5．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·贵阳·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上是单调递增 B．函数在上是单调递增 C．当时，函数有最大值 D．当或时，函数有最小值 8．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意x都有，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．e 9．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）高斯是德国著名的数学家，被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：，，其中表示不超过x的最大整数，例如：，.令函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．是周期函数 C．在上单调递增 D． 10．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）定义域为，为偶函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于（1，0）对称 B．的图象关于对称 C．4为的周期 D． 11．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 函数的零点问题题型03 12．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数的一个零点是，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·贵阳·期中）若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围 ． 14．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数，关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是 . 函数综合题型04 15．（23-24高一下·贵阳·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 16．（23-24高一下·贵州遵义·期中）行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[   ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为． (1)求二阶行列式的值； (2)求不等式的解集； (3)若存在，使得，求m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数及其性质 题型概览 题型01指对幂函数 题型02函数及其性质 题型03函数的零点问题 题型04函数综合 指对幂函数题型01 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）设，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可借助于指数函数和对数函数的单调性以及中间量比较大小. 【详解】， ， ， . 故选：A. 2．（23-24高一下·贵州遵义·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，，，再由对数函数的性质及对数的运算法则判断. 【详解】因为，，， 又，所以． 故选：C 3．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数． (1)证明：的定义域与值域相同． (2)若，，，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由具体函数的定义域可得，解不等式即可求出的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出的值域. （2）设，则，分别求出，即可得出答案. 【详解】（1）证明：由，得， 所以的定义域为． ， 因为在上单调递增． 所以，所以的值域为， 所以的定义域与值域相同． （2）解：由（1）知在上单调递增， 所以当时，． 设， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 因为，，， 所以，即m的取值范围为． 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上“友好” (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断； （2）根据单调性求出函数的最值，即可得到，参变分离得到，换元，利用函数的单调性求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， ， 所以， 即，有， 所以当时，函数在上是 “友好”的. （2）依题意可得在上单调递减， 则，， 则有， 即， 即，可得，即， 令，因为，则且， 则， 令，， 令， 令任意的且， 则， 即，所以函数在上单调递减， 同理可得在上单调递增， 又，， 当或时，取最大值，此时， 于是当或时，取最大值， 依题意， 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以，此时， 综上可得的取值范围是. 函数及其性质题型02 5．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，定义域为，关于原点对称，因为， 所以为奇函数，且在区间上单调递减，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，因为， 所以为偶函数，故B错误； 对于C，定义域为，关于原点对称，因为， 所以为奇函数，且在区间上单调递增，故C正确； 对于D，定义域为， 所以在区间上不具备单调性，故D错误. 故选：C. 6．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数每一段都是增函数，且左侧函数值不大于右侧函数值求解. 【详解】由题意可知是上的单调递增函数，则，解得． 故选：B. 7．（23-24高一下·贵阳·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上是单调递增 B．函数在上是单调递增 C．当时，函数有最大值 D．当或时，函数有最小值 【答案】BD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可． 【详解】，作出函数的图象如下： 由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递增，故A错误，B正确； 由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值，故C错误，D正确； 故选：BD． 8．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意x都有，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．e 【答案】C 【分析】利用函数的周期性求解即可. 【详解】，故， 所以. 故选：C 9．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）高斯是德国著名的数学家，被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：，，其中表示不超过x的最大整数，例如：，.令函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．是周期函数 C．在上单调递增 D． 【答案】ABD 【分析】根据“高斯函数”的含义结合函数周期性以及单调性一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，表示不超过x的最大整数，故，A正确； 对于B，函数，则， 即是周期函数，B正确； 对于C，不妨取以及，则， 即在上不单调递增，C错误； 对于D，，， 则，即，D正确， 故选：ABD 10．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）定义域为，为偶函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于（1，0）对称 B．的图象关于对称 C．4为的周期 D． 【答案】ABC 【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项. 【详解】因为为偶函数，则，可知函数关于对称， ，把换成可得， 两式相加可得，关于对称， 又关于轴对称，则可得，， 可知4为的周期，所以ABC都正确． 令，，，， ，D选项错误. 故选:ABC． 11．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 函数的零点问题题型03 12．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数的一个零点是，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合零点的定义，有，解方程即可. 【详解】函数的一个零点是，则有， 即，则，即， 所以当时，有最小值. 故选：A. 13．（23-24高一下·贵阳·期中）若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】依据函数零点存在定理列不等式组解之即可求得实数a的取值范围. 【详解】函数在区间上为增函数， 若函数在区间上有零点，则，， 即，解之得 故答案为： 14．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数，关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【分析】作出的图象，由，得，所以或，所以与和的图象共3个公共点，结合图象分析求解即可. 【详解】作出的图象：    因为，故， 解得：或， 由题意，与和的图象共3个公共点， 由图象可得或， 故或， 所以的取值范围为或. 故答案为：或. 函数综合题型04 15．（23-24高一下·贵阳·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元． 【分析】（1）根据已知条件及年利润年销售收入固定成本变动成本即可求解； （2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 所以； （2）当时，， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以当时，取得最大值为； 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 因为， 所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元． 16．（23-24高一下·贵州遵义·期中）行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[   ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为． (1)求二阶行列式的值； (2)求不等式的解集； (3)若存在，使得，求m的取值范围． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）根据二阶行列式计算公式直接计算即可； （2）根据二阶行列式计算公式得到，求出解集； （3）根据二阶行列式计算公式，令，则，求出，分，和三种情况，得到答案. 【详解】（1）； （2）， 故，故， 解得， 不等式的解集为； （3）， 令，则， 其中， 因为，所以，， 故， 当时，无解，不合要求， 当时，， 其中在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为2，故； 当时，， 其中在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为-2，故， 因为存在，使得，所以或， m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$