精品解析：浙江省杭州市第十四中学(康桥校区)2024-2025学年高一下学期3月阶段测试数学试题

杭十四中（康桥）高一年级3月阶段性检测数学学科试卷 注意事项： 1.考试时间：120分钟； 2.答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号； 3.将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效； 4.本卷满分150分，共2页； 5.本试卷不得使用计算器. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正六边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B. 棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 8. 已知函数定义域均为为奇函数，且，则（ ） A. 不为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为0 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为 10. 下列命题中，正确是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 已知复数，则下列命题一定成立的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量在向量上的投影向量的坐标为________． 13. 在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为_________. 14. 已知平面向量，（，），与夹角为，且（），则t的最小值是__________. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若方程在区间上有两个解，求实数取值范围． 17. 设向量，满足，，． （1）求的值； （2）已知与的夹角的余弦值为，求的值． 18. 在中，角所对的边分别为. （1）若，求的面积S； （2）若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 19. 已知函数（为常数，），且是偶函数. （1）求的值； （2）若函数，问是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭十四中（康桥）高一年级3月阶段性检测数学学科试卷 注意事项： 1.考试时间：120分钟； 2.答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号； 3.将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效； 4.本卷满分150分，共2页； 5.本试卷不得使用计算器. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的运算即可求解. 【详解】因为集合， 所以或，又， 所以. 故选：C. 2. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法运算结合复数模长公式计算即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故选：C 3. 如图，在正六边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用表示，即可得答案. 【详解】由题设及正六边形的结构特征知，，且，， 又，所以. 故选：B 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得，计算的值，结合二倍角公式可得结果. 【详解】∵，∴，即， ∴， ∵，∴，∴，故， ∵，∴， ∴. 故选：C. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B. 棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】C 【解析】 【分析】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D. 【详解】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误； 对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：C 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切的两角差公式化为角正切，再利用二倍角公式也把所求的式子化为角正切，从而得解. 【详解】， . 故选：C. 7. 中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正余弦定理和向量数量积求得的代数式，进而求得其最大值. 【详解】过点作、，垂足分别为、， 如图，因为是外接圆圆心，则、分别为、的中点， 在中，， 所以，即， 即， ， 同理， 则 ， 由正弦定理得， 当且仅当时取“=”， 所以的最大值为. 故选：C. 8. 已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（ ） A. 不为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案 【详解】因为， 所以，与联立可得， 即的图象关于直线对称， 又为奇函数，则， 所以，即， 所以，所以是周期为4的周期函数， 因为，所以也是周期为4的周期函数， 因为，，所以， 即，从而为偶函数，故A错误． 又为奇函数，则，即， 所以， 故，故C错误． 由，得，则不可能为奇函数，故B错误． 可求， 所以，故D正确． 故选D． 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为0 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对数的运算性质判断A，利用基本不等式结合指数的运算性质判断B，利用基本不等式中“1”的代换判断C，先对原式平方，再结合重要不等式与给定条件判断D即可. 【详解】因为，，，所以由基本不等式得， 当且仅当时取等，下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由对数的运算性质得， 则的最大值为0，故A正确， 对于B，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，则的最小值为4，故B正确， 对于C，因为，所以， 则， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 此时解得，得到， 则的最小值不为9，故C错误， 对于D，我们对进行平方， 得到， 由重要不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则， 故，得到， 而，，解得， 即的最大值为，故D正确. 故选：ABD 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 11. 已知复数，则下列命题一定成立的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可. 【详解】设，则. 对于A：， 若，则， 所以，即，故A一定成立； 对于B：，若，则①， ，同理， 若，则需满足且，与①式不同，故B不一定成立； 选项C：， ， 所以，故C一定成立； 选项D：②， ，与②式不同，故D不一定成立. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量在向量上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故答案为：. 13. 在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理和图形关系得到，然后解不等式即可. 【详解】在中，，，若有两解，必须满足的条件为：，即， 故答案为： 14. 已知平面向量，（，），与夹角为，且（），则t的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】作半径为2的圆O，圆O上取三点，，，A在两点的优弧上，，这样，，满足与的夹角为，然后把模式平方求得，可得最小值． 【详解】如图，不妨作圆O半径为2，在圆O， 设，，，，， 设，， 则，， 由得，因， 所以，时等号成立． 故答案为：． 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若方程在区间上有两个解，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及辅助角公式化简函数式，再根据正弦型函数的性质求最小正周期和单调递减区间； （2）由题设有，结合的性质求各单调区间的值域，由方程解的个数求参数范围. 【小问1详解】 由题设， 所以其最小正周期为， 令，，可得， 所以单调递减区间为； 【小问2详解】 在上有， 对于在上单调递减，对应值域为； 在上单调递增，对应值域为； 所以方程在区间上有两个解，只需. 17. 设向量，满足，，． （1）求值； （2）已知与的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）； （2）6 【解析】 【分析】（1）利用模长关系即可得出向量，的数量积，可求得的值； （2）根据向量夹角计算公式可得，解方程即可得. 【小问1详解】 由可得， 所以； 因此， 可得. 【小问2详解】 易知 而 所以, 即，也即； 又∵， 解得． 18. 在中，角所对的边分别为. （1）若，求的面积S； （2）若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积. （2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值. 【小问1详解】 由， 得. 由正弦定理得. 所以， 因为，所以. 在中，， 由余弦定理， 得，解得. 所以. 即的面积S为. 【小问2详解】 因为角C平分线，，所以. 在中，， 所以， 由，得，所以. 因为，所以由基本不等式，得， 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 19. 已知函数（为常数，），且是偶函数. （1）求的值； （2）若函数，问是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数运算求解即可； （2）整理可得，换元令，根据对数的真数大于0可得，且，对对数的底数分类讨论，结合对数函数单调性分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为， 若函数是偶函数，则， 又因为， 即，结合x的任意性可得，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， 可得， 若不等式对恒成立，即， 令，可得， 可知对任意恒成立， 且，可得， 因为在内单调递增，则， 可得，且， 若，则，可得， 因为在内单调递增， 可知在内单调递增，则， 可得，即符合题意； 若，则，可得， 因为在内单调递增， 可知在内单调递增，则， 可得，无解； 综上所述：存在正实数符合题意，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于对数函数问题，要先考虑对数的真数大于0，否则容易出现错误. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$