精品解析：江苏省凤凰传媒职业学校职教高考联盟2025届高三下学期第二轮复习调研测试数学试题

凤凰传媒职业学校职教高考联盟 2025届高三年级第二轮复习调研测试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑） 1. 已知集合，则集合的真子集共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交运算，真子集个数的求法即可求解. 【详解】因为集合，则. 所以集合的真子集共有个. 故选：B. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，则， 又，所以，解得. 故选：D. 3. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法、共轭复数的模求解. 【详解】因为，所以. 根据的幂次规律：，其幂次以 4 为周期循环. 所以 . 所以. 则. 所以. 故选：B. 4. “”是“不等式恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的概念，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为恒成立，则，解得. 则“”不一定可得“不等式恒成立”， “不等式恒成立”可得“”. 所以“”是“不等式恒成立”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知函数，其中，函数的部分图象如图所示，且，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象与性质即可求解. 【详解】由题意得，，解得，所以， 由图象可得，，所以， 则或，因为，所以. 所以. 故选：C. 6. 已知的展开式中各二项式系数之和为1024，则展开式的中间项为（ ） A. 252 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，再根据二项式的展开式求中间项. 【详解】因为各二项式系数之和为1024，所以，解答. 则展开式的中间项为第项. 因为的展开式为， 所以. 故选：C. 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径都为5，且侧面积相等，若圆柱的高为5，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由圆柱的侧面积公式求出圆柱和圆锥的侧面积，再由圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，由母线长和底面圆的半径求出圆锥的高，最后由圆锥的体积公式求值即可. 【详解】已知圆柱和圆锥的底面半径都为5， 且圆柱的高为5，则圆柱的侧面积为， 因为圆柱和圆锥侧面积相等， 设为母线，则圆锥的侧面积为， 则，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积为， 故选：D. 8. 已知不重合的两条直线与，若上的动点关于原点的对称点都在直线上，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出点关于原点的对称点，代入直线，结合两直线的位置关系即可求解. 【详解】在上，则满足， 且关于原点的对称点在上， 代入的方程得，即. 由题意得，直线与直线重合， 所以，且，解得. 故选：A. 9. 已知函数为上的奇函数，且对于任意都有成立，当时，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，周期性，对数函数的运算即可求解. 【详解】因为函数为上的奇函数，所以. 因为时，，所以，解得. 所以. 因为，所以，则， 所以是以为周期的周期函数，则. 故选：A. 10. 已知直线与圆相切，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】因为直线与圆相切， 所有. 展开化简得. 则, 当且仅当 ，即 时等号成立. 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. ______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数恒等式，换底公式和指数幂的运算法则计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 12. 在平面直角坐标系中，函数的图像恒过定点P，若角的终边过点P，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】令幂指数等于零，可得定点，根据任意角的三角函数的定义，可得，的值，利用诱导公式及二倍角的正弦公式将原式变形后，代入可求值. 【详解】在函数中， 令，即时，， 所以图像恒过定点. 因为角的终边过点P， 所以. 所以 . 故答案为： 13. 已知数列是等比数列，，则数列的通项公式______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求值即可. 【详解】已知数列是等比数列， 且，则， 设公比为，所以， 即，解得， 所以，即， 故答案为：. 14. 已知圆锥曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，其离心率为，且经过点，若抛物线的焦点与曲线的一个焦点重合，则实数______________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出曲线的方程，再根据抛物线的焦点坐标求解. 【详解】因为圆锥曲线的离心率，所有圆锥曲线为等轴双曲线， 故设标准方程可设. 已知曲线经过点可得： ，解得. 所以双曲线的方程，其焦点坐标为. 因为抛物线的焦点与曲线的一个焦点重合， 所以，解得. 故答案为：. 15. 已知函数有最大值，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有最大值，分别讨论指数函数与二次函数的单调性结合最值情况确定实数的取值即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递减，因为， 所以无限接近，但取不到最大值， 则当时有最大值，且最大值， 由当时，有最大值， 得，对称轴为， 最大值为， ，因为，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知． （1）求实数的值； （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算即可求解. （2）根据对数函数的定义，对数函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴，∴，∴. 【小问2详解】 由（1）得，∴，解得或. ∴不等式的解集为. 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，为二次函数且,． （1）求在上的解析式； （2）若函数在区间上有最大值4，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据确定对称轴，再由对称轴求出时的两根，再设时函数的两根式为，即可得出时的函数解析式，再由奇函数的性质求出时的解析式即可. （2）分别讨论当时和时，其函数值为4时，的取值，由此确定的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，为二次函数且， 可知当时，对称轴为， 又，即， 设， 因为，代入得，即， 所以当时，， 令，则，则， 又是奇函数，即，所以， 故的解析式为． 【小问2详解】 由（1）可知，， 当时，若时，则，解得， 若时，则，解得，舍去， 如图所示，在为增函数，为减函数，为增函数， 要使函数在区间上有最大值4，则， 所以的取值范围为. 18. 已知四棱锥的底面是矩形，与底面垂直，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，以及线面垂直的定理求解. （2）首先找到直线与所成角，根据线面垂直得到线线垂直，利用直角三角形的边长关系，即可求解. 【小问1详解】 因为底面是矩形，所以， 因为底面，且平面，所以 又因为，、平面，所以平面， 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为是的中位线，所以， 所以直线与所成角就是直线与所成角， 则即为所求， 因为底面，所以底面，又平面， 所以， 因为在中，，所以， 即直线与所成角的大小为． 19. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）如图所示，若是边上一点，且，求的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式求解. （2）利用正弦定理以及余弦定理求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为中，，所以， 所以，所以. 因为， 所以. 因为，所以， 化简得，又，所以； 【小问2详解】 中由余弦定理得， 因为中，，所以，所以， 所以在中，由正弦定理得，即， 解得． 20. 已知某校有甲、乙两个演讲社团，甲演讲社团共有7名成员，有3个女生和4个男生；乙演讲社团共有5名成员，有3个女生和2个男生。现从两个社团中各选取2人去参加演讲比赛，求下列事件的概率： （1）选取的4人均为女生； （2）选取的4人中恰有2名女生； （3）甲社团中的男生小王与乙社团中的女生小红至少有 1 人入选 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先分析事件可能的情况，再根据组合数公式计算事件的概率. （2）先分析事件所有的情况，再根据组合数公式计算事件的概率. （3）先分析事件的对立情况，再根据组合数公式计算事件的概率. 【小问1详解】 从两个社团中各选取2人，选取的4人均为女生， 则只有从甲演讲社团中选取2名女生，从乙演讲社团选取2名女生一种情况， 所以，所以事件发生的概率为． 【小问2详解】 选取的 4 人中恰有 2 名女生有三种情况： 情况一：甲社团选2男，乙社团选2女. 情况二：甲社团选1男1女，乙社团选1男1女. 情况三：甲社团选2女，乙社团选2男. 所以； 所以事件发生的概率为． 【小问3详解】 先分析甲社团中的男生小王与乙社团中的女生小红都不入选的情况： 甲社团除小王外有 6 人，从中选 2 人，乙社团除小红外有 4 人，从中选 2 人. 则甲社团中的男生小王与乙社团中的女生小红都不入选的组合数为. 所以，所以事件发生的概率为． 21. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式； （3）若数列的首项，且满足：，求数列的通项公式及其前项的和． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和列方程求值即可. （2）根据等差数列的定义得，由此即可解答. （3）根据错位相减法得，再由等比数列和等差数列的前项和求值即可. 【小问1详解】 ∵是等差数列，． ∴，解得， ∴的通项公式. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴当时，， 因为是等差数列，所以 ∴，∴， 又时，，且， 解得满足， ∴. 【小问3详解】 由（1）可知， 则， ∴，，，， ，， ∴， 即， 又，满足， ∴ . 22. 人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现某中学运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，该阶段消耗体力，已知该运动员初始体力为千焦，不考虑其他因素，所用时间为（单位：），请回答下列问题： （1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； （2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ 【答案】（1） （2）千焦． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出速度关于时间的函数，再分别代入和中列关系式即可. （2）根据函数的单调性和基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 已知在稳定阶段作速度为的匀速运动， 在疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动， 则速度关于时间的函数， 因为稳定阶段消耗体力为， 疲劳阶段消耗体力为， 代入与公式可得， 整理得. 【小问2详解】 由（2）可知，， 当时，稳定阶段中单调递减， 此过程中最小值， 当时，疲劳阶段， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 所以疲劳阶段中体力最低值为，且， 因此，在时，运动员体力有最小值千焦. 23. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若点是椭圆上的一点，斜率为的直线与椭圆C相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直． ①若，求的方程； ②记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率的公式，以及三角形的面积公式求解. （2）①首先设出直线l的方程，与椭圆方程联立，再由弦长公式求解. ②利用①中的方程，利用韦达定理代入化简. 【小问1详解】 由题意得，解得 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设直线的方程为， 联立方程组，消去得， 由，解得， ， 则，解得， 当时，直线方程为，经过点，不符合题意，舍去． 当时，直线方程为，不经过点，符合题意． 所以时，的方程为，即． ②证明：由①可知，直线均不与轴垂直，所以， 则且. 所以 ， 所以为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤凰传媒职业学校职教高考联盟 2025届高三年级第二轮复习调研测试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑） 1. 已知集合，则集合的真子集共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 6 C. D. 4 3. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“不等式恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，其中，函数的部分图象如图所示，且，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式中各二项式系数之和为1024，则展开式的中间项为（ ） A. 252 B. C. D. 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径都为5，且侧面积相等，若圆柱的高为5，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不重合的两条直线与，若上的动点关于原点的对称点都在直线上，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 9. 已知函数为上的奇函数，且对于任意都有成立，当时，，则（ ） A. 1 B. C. D. 10. 已知直线与圆相切，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. ______________． 12. 在平面直角坐标系中，函数的图像恒过定点P，若角的终边过点P，则________. 13. 已知数列是等比数列，，则数列的通项公式______________． 14. 已知圆锥曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，其离心率为，且经过点，若抛物线的焦点与曲线的一个焦点重合，则实数______________. 15. 已知函数有最大值，则实数的取值范围是______________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知． （1）求实数的值； （2）解不等式． 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，为二次函数且,． （1）求在上的解析式； （2）若函数在区间上有最大值4，求的取值范围． 18. 已知四棱锥的底面是矩形，与底面垂直，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的大小． 19. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）如图所示，若是边上一点，且，求的长． 20. 已知某校有甲、乙两个演讲社团，甲演讲社团共有7名成员，有3个女生和4个男生；乙演讲社团共有5名成员，有3个女生和2个男生。现从两个社团中各选取2人去参加演讲比赛，求下列事件的概率： （1）选取的4人均为女生； （2）选取的4人中恰有2名女生； （3）甲社团中的男生小王与乙社团中的女生小红至少有 1 人入选 21. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式； （3）若数列的首项，且满足：，求数列的通项公式及其前项的和． 22. 人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现某中学运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，该阶段消耗体力，已知该运动员初始体力为千焦，不考虑其他因素，所用时间为（单位：），请回答下列问题： （1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； （2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ 23. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若点是椭圆上的一点，斜率为的直线与椭圆C相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直． ①若，求的方程； ②记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $