专题02 解三角形（易错必刷48题6种题型专项训练）高一数学下学期湘教版

专题02 解三角形 （易错必刷48题6种题型专项训练） 题型一　解三角形 题型二　三角形形状的判断 题型三　三角形中距离、高度、角度问题 题型四　三角形多解问题 题型五　面积与周长求值问题 题型六　三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型一　解三角形 1．（河南省安阳市2025届高三第二次模拟考试数学试题）在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则 ． 2．（天津市河西区2024-2025学年高三下学期数学总复习质量调查试卷一）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)设，． （i）求的值； （ii）求的值． 3．（浙江省四校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 4．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则 ． 5．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）已知中，，，. (1)求a、c的值； (2)求的值. 6．（2025·吉林延边·一模）在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为 . 7．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）已知△ABC内角A， B， C的对边分别为a， b，c．已知则 ． 8．（24-25高一下·全国·随堂练习）中，若，则.( ) 题型二　三角形形状的判断 9．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）在中，角所对的边为，有如下判断，其中错误的判断是（    ） A．若，则为等腰直角三角形 B．若，则 C．若，则符合条件的有两个 D．在锐角三角形中，不等式恒成立 10．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法中正确的有（   ）. A．若，则有两组解 B．在中，已知，则是等边三角形 C．若，则直线AP一定经过这个三角形的外心 D．若为锐角三角形，则，且 11．（24-25高一下·安徽·阶段练习）若一个三角形中两边的平方和是第三边平方的倍，则称该三角形为阶准直角三角形.在中，角的对边分别为，且. (1)证明：是2阶准直角三角形； (2)若，求的值； (3)若，求的面积的最大值. 12．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·山西太原·开学考试）的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（ ） A． B．是锐角三角形 C．若，则外接圆半径为4 D．的最大内角是最小内角的2倍 14．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 15．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）（1）若的面积为，，，求边AB的长度； （2）在中，已知，且.求证：为等腰直角三角形. 16．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，则（    ） A． B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则的形状能唯一确定 题型三　三角形中距离、高度、角度问题 17．（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 .    (1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): (2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 18．（24-25高一下·全国·课后作业）仰角和俯角 （1）前提：在视线所在的垂直平面内； （2）仰角：视线在水平线 时，视线与水平线所成的角； （3）俯角：视线在水平线 时，视线与水平线所成的角. 19．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 20．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 21．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 22．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 23．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ） A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 24．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（   ） A． B． C．90m D． 题型四　三角形多解问题 25．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）已知中，，.则（   ） A．若，则有两解 B．若是钝角三角形，则 C．若是锐角三角形，则 D．的最大值是 26．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形有两个 C．若为锐角三角形，则 D．若，则 27．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 28．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）在中，，则角A为（   ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 30．（23-24高三上·北京·开学考试）中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 31．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·甘肃平凉·模拟预测）下列说法正确的有（    ） A．命题，的否定是，. B．P是所在平面内一点，若，则P是的垂心 C．关于x的方程有一正一负根，则 D．若，，，则此三角形有两解 题型五　面积与周长求值问题 33．（2025·北京·模拟预测）在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 34．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知向量，设 (1)求函数的周期和单调区间； (2)在中，角所对的边分别为.若，，，求的面积. 35．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 nmile，为钝角，且. (1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积； (2)记为，为，求的值. 36．（24-25高二上·上海·期末）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 37．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，的面积是，求的周长． 38．（2025·青海海南·模拟预测）已知中，所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．的面积是 D．的周长是 39．（2025·黑龙江·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度． 条件①：的面积，且， 条件②： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 40．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）在中，角的对边分别为边，若. (1)求角； (2)若，求的面积. 题型六　三角形边长、面积、周长最值与范围问题 41．（2025·贵州毕节·二模）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（    ） A． B．的周长的最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的取值范围为 42．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，，且最短边的长为2，则周长的取值范围是 ． 43．（2025高三·全国·专题练习）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为 ． 44．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 45．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且的面积． (1)求的大小； (2)若的外接圆半径为3，求周长的取值范围． 46．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 47．（2025·河北保定·模拟预测）记的内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求周长的最大值. 48．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解三角形 （易错必刷48题6种题型专项训练） 题型一　解三角形 题型二　三角形形状的判断 题型三　三角形中距离、高度、角度问题 题型四　三角形多解问题 题型五　面积与周长求值问题 题型六　三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型一　解三角形 1．（河南省安阳市2025届高三第二次模拟考试数学试题）在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则 ． 【答案】 【分析】利用三角形面积相等结合半角公式求出，再根据余弦定理可求解. 【详解】由面积相等，可得， 即， 化简得， 又. 由余弦定理可得. 故答案为：. 2．（天津市河西区2024-2025学年高三下学期数学总复习质量调查试卷一）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)设，． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】(1) (2) ； 【分析】根据余弦定理化简求出角. 根据已知条件套用余弦定理求. 根据二倍角，两角和与差公式代入求解即可. 【详解】（1）因为得； 即，得； 所以，因为； 所以. （2），则. ，则，. 所以. 3．（浙江省四校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示、三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得； （2）由（1）问过程知，，代入所求化简可将所求转化为，即先求出，化边为角，利用三角形内角和定理、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系将转化为关于角的三角函数式，再利用角的范围求得的范围. 【详解】（1），且， ， ， ， ， ， 由正弦定理可得， ， ， ，． （2）由（1）知，，则， 为锐角三角形，，则， ，． ． ，，， ，， 的取值范围为，则， 所以的范围为. 4．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则 ． 【答案】 【分析】根据根与系数之间的关系，结合余弦定理进行求解即可． 【详解】由题意得，又已知， 则由余弦定理，得， 所以． 故答案为：． 5．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）已知中，，，. (1)求a、c的值； (2)求的值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据余弦定理计算求解； （2）根据同角三角函数关系，结合二倍角公式结合两角差余弦公式计算求解. 【详解】（1）设，，， 则根据余弦定理得， 即， 解得（负舍）； 则，. （2）因为B为三角形内角， 所以， ， 因为，则 则， 6．（2025·吉林延边·一模）在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为 . 【答案】 【分析】由题意知，先根据正弦定理边化角，再利用余弦定理求出角即可. 【详解】由题意知，， 由正弦定理得，，即，所以， 由余弦定理得，， 又，所以. 故答案为：. 7．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）已知△ABC内角A， B， C的对边分别为a， b，c．已知则 ． 【答案】3 【分析】先得到，再利用余弦定理求解. 【详解】由，故， 则，故． 故答案为：3 8．（24-25高一下·全国·随堂练习）中，若，则.( ) 【答案】正确 【分析】根据余弦定理的推论可求. 【详解】由余弦定理，且， 故，该说法正确. 故答案为：正确. 题型二　三角形形状的判断 9．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）在中，角所对的边为，有如下判断，其中错误的判断是（    ） A．若，则为等腰直角三角形 B．若，则 C．若，则符合条件的有两个 D．在锐角三角形中，不等式恒成立 【答案】AC 【分析】A选项，由得到或，得到答案；B选项，由正弦定理得到，从而得到；C选项，，故无解；D选项，为锐角，由余弦定理得到恒成立. 【详解】A选项，，， 故或，解得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； B选项，，由正弦定理得， 因为， 所以， 故， 因为，所以，故，， 因为，故，故B正确； C选项，若，则， 则符合条件的有0个，故C错误； D选项，为锐角三角形，故为锐角， 由余弦定理得，，故不等式恒成立，故D正确. 故选：AC 10．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法中正确的有（   ）. A．若，则有两组解 B．在中，已知，则是等边三角形 C．若，则直线AP一定经过这个三角形的外心 D．若为锐角三角形，则，且 【答案】AD 【分析】对于选项A，利用正弦定理求出，再根据三角形的内角和定理判断即可；对于选项B，利用正弦定理和同角三角函数的基本关系式化简已知条件，由此判断三角形的形状；对于选项C，利用向量的运算和三角形的性质判断；对于选项D，利用三角形的性质和正弦定理的单调性判断. 【详解】对于选项A，由正弦定理得，所以， 因为，所以，所以有两组解，故选项A正确； 对于选项B，由及正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以是等腰三角形， 无法判断是等边三角形，故选项B错误； 对于选项C，因为分别表示与同方向的单位向量， 所以表示与的角平分线共线的向量，所以直线AP一定经过这个三角形的内心，故选项C错误； 对于选项D，因为为锐角三角形，所以，所以， 因为，，所以，即， 同理可得，故选项D正确. 故选：AD. 11．（24-25高一下·安徽·阶段练习）若一个三角形中两边的平方和是第三边平方的倍，则称该三角形为阶准直角三角形.在中，角的对边分别为，且. (1)证明：是2阶准直角三角形； (2)若，求的值； (3)若，求的面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）由已知及余弦边角关系化简条件为，即可证； （2）由正弦边角关系有，结合（1）结论和余弦定理求； （3）由已知和余弦定理得，结合，应用三角形面积公式、基本不等式求面积的最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由及余弦定理，得， 整理，得，故是2阶准直角三角形. （2）由正弦定理，得，则， 由（1）得，所以. （3）由，得， 整理得，又，所以，由（1）得， 所以的面积为 当且仅当时，取得等号，故的面积的最大值为. 12．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分与，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由三角形的三边关系可得，解得， 当时，长边所对的角为最大角，由三角形为锐角三角形可得， ，解得，且，则； 当时，长边所对的角为最大角，由三角形为锐角三角形可得， ，解得，且，则； 综上所述，. 故选：D 13．（24-25高一下·山西太原·开学考试）的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（ ） A． B．是锐角三角形 C．若，则外接圆半径为4 D．的最大内角是最小内角的2倍 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出三边的比例关系，再结合正弦定理、余弦定理以及三角形外接圆半径公式等知识逐一分析选项. 【详解】设，，. 将这三个式子相加可得：，即. 用分别减去，，，可得： ，，. 所以. 根据正弦定理（为外接圆半径）， 可得，故选项A正确. 因为最大，所以角最大. 根据余弦定理，将，，代入可得： ，所以角为锐角. 因为最大角为锐角，所以是锐角三角形，故选项B正确. 已知，由，可得，则. 由正弦定理，，可得. 所以，则，故选项C错误. 因为最小，所以角最小. . ，而，所以. 因为，是三角形内角，所以，故选项D正确. 故选：ABD. 14．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理证明的内角都为锐角即可. 【详解】设， 因为， 所以， 因此 从而， 即的三个内角都为锐角，因此是锐角三角形， 故选：. 15．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）（1）若的面积为，，，求边AB的长度； （2）在中，已知，且.求证：为等腰直角三角形. 【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【分析】（1）应用三角形面积公式可得，法一：由余弦定理求边长；法二：确定为等边三角形，即可求边长； （2）由正弦边角关系及已知得，设结合已知得到，即可证结论. 【详解】（1）由，得， 法一：由余弦定理得， 所以，即边AB的长度等于2. 法二：易知，又，所以为等边三角形， 所以，即边AB的长度等于2. （2）证明：因为，所以，又， 所以，则，即. 设，则，，. 又，所以，即， 所以为等腰直角三角形. 16．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，则（    ） A． B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则的形状能唯一确定 【答案】AB 【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，则，故B正确； 由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误； 由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误. 故选：AB 题型三　三角形中距离、高度、角度问题 17．（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 .    (1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): (2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 【答案】(1)的长为米. (2)的长为米，. 【分析】（1）设的长为米，利用三角函数的关系式建立等式关系，求解即可得到结论； （2）利用正弦定理和余弦定理，建立方程关系，即可得到结论. 【详解】（1）设的长为米，则 ，， 因为，所以，则， 即，解得：米. 故的长为米. （2）由题设， 由正弦定理得，即米， 所以，则米， 又，则， 故的长为米，. 18．（24-25高一下·全国·课后作业）仰角和俯角 （1）前提：在视线所在的垂直平面内； （2）仰角：视线在水平线 时，视线与水平线所成的角； （3）俯角：视线在水平线 时，视线与水平线所成的角. 【答案】 上方 下方 【分析】略 【详解】略 19．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 20．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 21．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 22．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 23．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ） A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 【答案】B 【分析】设米，结合已知条件得，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】设米，在中，，则， 在中，，则， 因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得（米）. 故选：B 24．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（   ） A． B． C．90m D． 【答案】A 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可. 【详解】如图所示，由题意， 则， 在中，因为， 所以， 在中，， 所以建筑的高度为. 故选：A. 题型四　三角形多解问题 25．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）已知中，，.则（   ） A．若，则有两解 B．若是钝角三角形，则 C．若是锐角三角形，则 D．的最大值是 【答案】CD 【分析】先由正弦定理解三角形判断A，根据钝角三角形边长关系计算判断B，应用正弦定理结合角的范围计算值域即可判断C，D. 【详解】因为中，，，， 由正弦定理得，，即， 故，所以，故有一解，故选项A错误； 因为，又因为为钝角三角形， 当为钝角时，，即，故B错误； C选项，因为为锐角三角形，所以， 所以，， 又因为即，，故C正确； 因为，当时，的最大值是，故D正确. 故选：CD. 26．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形有两个 C．若为锐角三角形，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】应用正弦定理有，进而求外接圆的面积判断A；应用正弦定理判断三角形个数判断B；由锐角三角形及诱导公式有、判断C；假设为钝角即可判断D. 【详解】因为，所以（为外接圆的半径）， 所以，故的外接圆的面积为，故A正确； 若，则，所以无解，故B错误； 若为锐角三角形，则，所以， 所以，同理， 所以，故C正确； 若为钝角，显然满足，但，不满足，故D错误. 故选：AC 27．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理求解三角形的边或角，结合三角形的边角关系，一一判断各选项中三角形解的情况，即得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故， 则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若，由正弦定理得，即， 解得，无解，故B正确； C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角， 不可能，则无解，故C错误； D选项，若，由正弦定理得， 即，解得，因为，所以或， 所以有两解，D正确. 故选：ABD. 28．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）在中，，则角A为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由正弦定理可得.结合，即可求解. 【详解】在中，由正弦定理，得. 因为，，所以或. 故选：AB. 29．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 【答案】BD 【分析】ABC选项，根据得到三角形有一解，由得到三角形有两解，D选项，由余弦定理得到唯一，故三角形有一解. 【详解】对A：由知，，所以三角形有一解，A错误； 对B：由，即，所以三角形有两解，B正确； 对C：由，即，故三角形为直角三角形，有一解，C错误； 对D：， 由余弦定理得，唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确. 故选：BD． 30．（23-24高三上·北京·开学考试）中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】给定的边、和角，通过正弦定理来分析三角形解的情况，进而判断两个条件之间的逻辑关系 【详解】判断充分性， 由正弦定理可得. 已知，即（因为），由于，所以. 当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么可能有两解，所以由不能推出有且仅有一解，充分性不成立.   判断必要性， 若有且仅有一解，有两种情况： 情况一：且，此时由正弦定理，可得，因为，所以. 情况二：且或，当时，；当时，.   所以由有且仅有一解不能推出，必要性不成立.   则“”是“有且仅有一解”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 31．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，或，进而可得. 【详解】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 32．（2024·甘肃平凉·模拟预测）下列说法正确的有（    ） A．命题，的否定是，. B．P是所在平面内一点，若，则P是的垂心 C．关于x的方程有一正一负根，则 D．若，，，则此三角形有两解 【答案】AB 【分析】运用存在量词命题的否定判定A；运用垂心概念，结合向量垂直判定B；运用一元二次方程根的判定和韦达定理判定C；运用正弦定理计算判定D. 【详解】A选项：命题的否定是，A正确； B选项：由，得，所以，， 同理，，故是三角形的垂心，所以B正确； C选项：当方程有一正一负根时，，解得，C选项错误； D选项：由正弦定理，得，即， 得，不符合题意，此时三角形无解，故D错误. 故选：AB. 题型五　面积与周长求值问题 33．（2025·北京·模拟预测）在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 【答案】(1) (2)选①无解；选②或；选③ 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式可得； （2）选①，由三角形中边长数据分析可得不合题意；选②，利用正弦定理，余弦定理及三角形面积公式即得；选③，由，利用余弦定理可求得，再由余弦定理可求得，进而求得，由三角形面积公式即得. 【详解】（1）在中，， 又， 由正弦定理得，， 即， 即，由正弦定理得，， 又，所以. （2）选①边上的高为7， 过作于，如图， 由已知，在中，，， 显然这样的三角形不存在，所以无解. 选②，即， 又，，则由正弦定理得，即， 则， 由余弦定理，得， 即，解得或， 当时， 的面积， 当时， 的面积. 选③边上的中线长5， 设的中点为，由（1）知，则， 又， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 因为，所以， 则，解得， 在中，由余弦定理，， 则， 所以的面积. 34．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知向量，设 (1)求函数的周期和单调区间； (2)在中，角所对的边分别为.若，，，求的面积. 【答案】(1)周期为，单调递增区间为， 单调递减区间为 (2) 【分析】（1）利用数量积公式和二倍角公式以及辅助角公式可化简求解析式，再利用整体代换思想求单调区间； （2）先求，再利用余弦定理求，最后利用面积公式即可. 【详解】（1） ， 则周期为， 令，得， 令，得， 故的单调递增区间为， 单调递减区间为 （2），则， 因，则，则，即， ，，在中利用余弦定理可得，解得（负值舍去）， 则的面积为. 35．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 nmile，为钝角，且. (1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积； (2)记为，为，求的值. 【答案】(1)nmile；nmile2. (2) 【分析】（1）在和中利用余弦定理可得，再利用三角形面积公式四边形的面积； （2）在和中利用余弦定理可得，再利用二倍角公式计算，最后利用两角和差的正弦公式计算. 【详解】（1）为钝角，且得， 因，则，, 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 将代入得或（舍）， 或（舍）， 则小岛A与小岛D之间的距离为nmile，四个小岛所围成的四边形的面积为nmile2 （2）在中利用余弦定理得， ，因， 则， 则，， 则. 36．（24-25高二上·上海·期末）已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或 (2)3 【分析】（1）利用向量平行和向量模长的从标表示列式求解即可； （2）利用向量数量积和向量模长的坐表示求出夹角进而求得面积即可. 【详解】（1）根据题意，，则， 若，设，又由，则， 解可得，故或. （2）根据题意，， 则， 则，故， 故. 37．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，的面积是，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理即可求； （2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案. 【详解】（1）由题意在中，得， 故 ， 由于，所以. （2）由（1）及题意可知的面积是，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 于是的周长为. 38．（2025·青海海南·模拟预测）已知中，所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．的面积是 D．的周长是 【答案】AC 【分析】通过正弦定理对已知条件进行转化，再结合三角函数的性质求出三角形的内角，进而求出三角形的面积和周长. 【详解】由正弦定理，知， 又，则， 将代入，得， ， 又，当且仅当时，等号成立． 因为为三角形的内角，所以， 可得，故A正确，B错误． 又由正弦定理知，则三角形的面积，周长为，故C正确，D错误． 故选：AC 39．（2025·黑龙江·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度． 条件①：的面积，且， 条件②： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角转化，再应用余弦定理求解即可； （2）选条件①先应用面积公式计算得出，再应用余弦定理计算求解；选条件②先应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理结合余弦定理计算求解. 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得， ， ． （2）若选条件①： ∵的面积，，， ， ， 为的中点，， 在中，， ． 若选条件②： ， 由正弦定理得，， ，解得或（舍）， 为的中点，， 在中，， ． 40．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）在中，角的对边分别为边，若. (1)求角； (2)若，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用辅助角公式求出. （2）利用正弦定理边化角，利用二倍角公式求出，进而利用正弦定理求出，再求出三角形面积. 【详解】（1）由得，则， 由，得，则或 所以或. （2）由，得，， 在中，由及正弦定理，得， 而，则，于是， 又，则，解得，即，则， 由，得， 所以的面积. 题型六　三角形边长、面积、周长最值与范围问题 41．（2025·贵州毕节·二模）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（    ） A． B．的周长的最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用余弦定理结合基本不等式可求出的周长的最大值为，可判断B选项；利用正弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用正弦定理、三角恒等变换结合正弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理可得， 因为，故，A错； 对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得 ，即， 当且仅当时，等号成立，故的周长为， 即的周长的最大值为，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，则， 当且仅当时，取最大值，此时，，，C对； 对于D选项，由正弦定理可得，则，， 所以， ， 因为，则，可得，则，D对. 故选：BCD. 42．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，，且最短边的长为2，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用正弦定理化边为角，可得得关系，再结合余弦定理可得，再利用正弦定理将用表示，再根据三角函数的性质即可得解. 【详解】由及正弦定理，得， 故， 因为，所以，即， 由，得，，且， 所以， 所以，所以， 由，，得， 因为，所以，， 所以，， 所以的周长为， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 故周长的取值范围是． 故答案为： 43．（2025高三·全国·专题练习）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理可得出，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可得出，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得线段长的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理可得． 由平面向量数量积的定义可得， 在锐角中，点是线段的中点，则， 所以 ． 由及正弦定理，得，， 所以 ． 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，所以， 所以，所以． 所以线段的长的取值范围为． 故答案为：． 44．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求角，再结合基本不等式和余弦定理可求三角形周长的取值范围. 【详解】由， 因为为三角形内角，所以，所以，所以. 由余弦定理：，即. 所以，所以，所以. 又，所以. 故答案为： 45．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且的面积． (1)求的大小； (2)若的外接圆半径为3，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式和余弦定理化简，再利用特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据正弦定理边化角，利用三角形的内角和消元，再利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理，有，即，所以， 因为，所以； （2）因为的外接圆半径为3，所以，，， 又，所以， 即，因为，所以， 故，所以的周长的取值范围为． 46．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； （2）因为，， 由余弦定理，即， ∴，解得， ∴； （3）在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 47．（2025·河北保定·模拟预测）记的内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求周长的最大值. 【答案】(1)(2)(3)3 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可求解， （2）利用正弦定理即可求解， （3）由余弦定理，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，所以， 又，所以， 因为，所以. （2）若，则， 故. （3）因为，由余弦定理得， 化简得，即， 当且仅当时等号成立， 故周长的最大值为3. 48．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角的三角函数关系可得； （2）由正弦定理边化角结合两角和的正弦表示出，再结合正弦和正切的单调性求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. （2）由正弦定理可得，， 所以， 因为在均为单调递增， 所以在为单调递减， 所以当时，最大值为；所以当时，最小值为； 所以的取值范围为. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$