清单02 函数（15个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（华东师大版）

清单02 函数（15个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 变量与函数 1.变量与函数 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 2.函数的解析式 像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。 3.自变量取值范围和函数值 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 清单02 函数的图像 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 清单03 一次函数 一．一次函数的图像与性质 1、一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2． 一次函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质。 3． 一次函数与方程、不等式的关系 1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 四，一次函数的应用 行程类： 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 销售类： 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 清单04 反比例函数 一．反比例的性质 在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的 二．反比例函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质 三．反比例函数系数K的几何意义 这类问题通常是由几何图形的面积求k且常与相似三角形等考查，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如： 四．反比例函数与一次函数交点 1.求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐标； 2.不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集时： ①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方， ②求交点的横坐标， ③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围；（没有其他要求时，解集一般有两部分，且其中一部分肯定和0有关） 五．反比例函数与一次函数图像存在问题 求两函数图象存在性的方法：①假设其中一个函数的图象正确，得到对应参数字母的范围；②以假设所得参数字母的范围验证另一个函数图象是否成立； 六．五.反比例函数与一次函数综合应用 一次函数与反比例函数的综合应用题，第一问通常是待定系数法求解析式，后边问题则常结合其他几何图形同步考察一次函数和反比例函数以及几何图形的性质，故常常需要多考虑与之结合的几何图形的性质； 【考点题型一】函数的概念（） 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了用图象法表示函数、根据函数定义等知识点，理解函数的定义成为解题的关键. 根据函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数； 故选：C． 【变式1-1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列表示y与x之间关系的图象中，y不是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查对函数概念的理解，即两个变量x、y，对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，此时我们称y是x的函数；关键是能准确运用数形结合理解该知识． 【详解】解：．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．对于每一个x的值，不都有唯一的y值与之相对应，y不是x的函数，故该选项符合题意； ．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，，y是x的函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）假期小战一家自驾游黑龙江省，爸爸开车到加油站加油，小战发现加油机上的数据显示牌金额随着油量的变化而变化，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则下列判断正确的是（    ） 178.00 金额/元 20.00 油量/升 8.90 单价/（元/升） A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．178和20是常量 D．金额是油量的函数 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义和基本概念进行判断即可． 【详解】解：A．金额是因变量，故A不符合题意； B．单价是常量，故B不符合题意； C．178是因变量，20是自变量，故C不符合题意； D．金额是油量的函数，故D符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（23-24八年级下·山西晋城·期中）已知n边形的内角和公式是，则其中变量是（    ） A． B．n C．和n D．，n和180° 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念及表示方法：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如和，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，我们就说是自变量，是因变量，此时也称是的函数． 【详解】解：在多边形的内角和公式是边形的内角和是边数中，常量是和，变量是和，是的函数 故选：C． 【变式1-4】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列式子中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义．在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 【详解】解：A．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意； B．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意； C．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意； D．对于的每一个取值，都有两个确定的值与之对应，不是的函数，此项符合题意． 故选：D． 【考点题型二】函数解析式（） 【例2】（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知等腰三角形的周长为20，那么底边长y与腰长x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用函数关系式表示变量之间的关系，根据等腰三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 【变式2-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）汽车油箱中有汽油50升，若耗油量为每千米0.1升，且不再加油，那么油箱中的剩余油量y（升）随行驶路程x（千米）变化的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及应用函数的知识解决实际问题的能力，难度不大．每行程千米，耗油升，即总油量减少升，则油箱中的油剩下升，据此作答． 【详解】解：根据题意，每行驶千米，耗油升，即总油量减少升， 则油箱中的油剩下升， 与的函数关系式为：； 故选：A． 【变式2-2】（23-24八年级下·广东广州·期中）周长为的长方形，若它的一边是，面积是．用含x的式子表示S为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列函数解析式，正确理解题意是解题的关键． 根据长方形的面积公式写出S与x之间的关系式． 【详解】∵周长为的长方形，若它的一边是， ∴另一边长为 ∴面积． 故答案为：． 【变式2--3】（23-24八年级下·上海杨浦·期中）某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了千米，则乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数解析式，理解题意，根据题中等量关系列函数解析式即可． 【详解】解：由题意，乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为， 故答案为：． 【考点题型三】自变量取值范围（） 【例3】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、自变量的取值范围等知识点，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据分式的分母不等于0、二次根式的被开方数大于等于0列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． 故选A． 【变式3-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得， 故答案为：． 【变式3-2】（22-23八年级下·四川宜宾·期中）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的取值范围，熟练掌握二次根式的定义即可得到答案．根据即可得到答案． 【详解】解：依题意，， 解得． 故答案为：． 【变式3-3】（2024·四川眉山·一模）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且， 故答案为：且． 【考点题型四】平面直角坐标系（） 【例4】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在第二象限内且为正整数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内x轴上的点以及象限内的点的坐标特点，熟练掌握其特点并代入计算是解题的关键． （1）根据轴上纵坐标为0求解； （2）根据第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正得到不等式组，求解并取正整数解，即可求解坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）平面直角坐标系内有一点，点到轴的距离是2，到轴距离是4，且点在第四象限内，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征．熟练掌握点到坐标轴的距离，第四象限点坐标的特征是解题的关键． 由A到x轴的距离是2，到y轴距离是4，可得，，由A点在第四象限内，可得，，然后作答即可． 【详解】解：∵A到x轴的距离是2，到y轴距离是4， ∴，， ∵A点在第四象限内， ∴，， ∴点A的坐标是， 故选：A． 【变式4-2】（24-25八年级上·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴的距离为8，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离，根据题意得到，，即可解题． 【详解】解：点在第四象限， ，， 点到轴的距离为8，到轴的距离为2， ，， 点的坐标是， 故选：D． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·期中）若点在轴上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，熟练掌握点的坐标特点是解此题的关键． 根据在轴上的点的坐标的纵坐标为零，解一元一次方程，即可得出答案， 【详解】解：点在轴上， ∴， 解得： 故答案为：B． 【考点题型五】从函数图像获取信息（） 【例5】（2025·河南濮阳·一模）如图（1）所示，实验小组的同学设计了一种测量温度的电路．已知电源电压为，其允许通过的最大电流为，是定值电阻，阻值为，是热敏电阻，其阻值随温度变化的图像如图（2）所示．下列说法正确的是（ ） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． A．随着温度的升高，热敏电阻的阻值增大 B．随着温度的升高，电流表的示数减小 C．随着温度的升高，定值电阻两端的电压增大 D．当环境温度是时，电流表的示数是 【答案】C 【分析】本题考查了根据函数图象中获取信息，根据图象所给的信息，结合题意，逐一判断即可，熟练根据图象得出信息是解题的关键． 【详解】解：A、根据图象可得随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，故不符合题意； B、随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，则电路的总电阻减小，电路中的电流变大，电流表的示数增大，故不符合题意； C、随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，则电路的总电阻减小，电路中的电流变大，故定值电阻两端的电压增大，故符合题意； D、当环境温度是时，热敏电阻的阻值为，则电路中的总阻值为，则电路中的电流为，所以电流表的示数是，故不符合题意， 故选：C． 【变式5-1】（2025年河南省郑州市九年级中考一模数学试题）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【详解】解：．从图中可以看到，当温度为时，溶解度曲线对应的y值不为0，说明硫酸钠在 时在水中是溶解的，故该选项不符合题意； ．观察溶解度曲线，在时，硫酸钠的溶解度随着温度升高而增大，在时，溶解度随着温度升高而减小，并非一直增大，故该选项不符合题意； ．在时，溶解度曲线不是一条直线，这表明温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同，故该选项符合题意； ．从图中可知，当温度接近时，硫酸钠的溶解度就达到了，并且在 之间溶解度都不低于，而不是只控制在，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲、乙两人之间的最远距离是米 B．乙追上甲后，再走米才到达终点 C．乙用分钟追上甲 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件． 根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：由图象可知，甲出发分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故原选项正确，不符合题意； 根据图象，甲步行分钟走了米，甲步行的速度为（米分钟），乙的速度为（米分钟）， 则乙走完全程的时间为（分钟）， 乙追上甲剩下的路程为：（米）， ∴乙追上甲后，再走米才到达终点，故选项正确，不符合题意； 当乙到达终点时，甲步行了（米）， 甲离终点还有（米）， 故甲乙两人之间的最远距离是米，故错误，符合题意； ∵甲步行了米， ∴甲离终点还有（分）， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟，故正确，不符合题意， 故选：． 【变式5-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）以下是长沙某日气温变化情况的折线图，下列描述正确的是（   ） A．最低温度是 B．最高温度是 C．从0时到14时温度在持续上升 D．这一天的最大温差是 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图像，准确理解图像中的信息是解题的关键．根据图像获取信息进行判断即可． 【详解】解：最低温度是，故选项A错误； 最高温度是，故选项B正确； 从时到14时温度在持续上升，故选项C错误； 这一天的最大温差是，故选项D错误； 故选B． 【变式5-4】（2025七年级下·全国·专题练习）兄弟两人沿五四广场的木栈道跑步，领先的哥哥看弟弟跑得慢，就停下来看风景，过了一会发现弟弟跑前面去了，急忙追赶，结果比弟弟提前到达终点．用，分别表示哥哥和弟弟所跑的路程，t为跑步时间，则下列图象与故事情节相吻合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，根据题意，为过原点一直增加的线段，从原点开始，先上升，后水平，再上升，据此进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知：为过原点一直增加的线段，从原点开始，先上升，后水平，再上升；故满足题意，只有选项A； 故选A． 【考点题型六】一次函数的图像与性质（） 【例6】（23-24八年级下·天津南开·期中）对于函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，则 B．它的图像经过第一、二、三象限 C．它的图像必经过点 D．y的值随x值的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键，根据一次函数的图像与性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，正确，符合题意； B、∵，， ∴它的图像经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； C、∵当时，， ∴它的图像必经过点，原说法错误，不符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【变式6-1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于的不等式，可求得的取值范围． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，且， ∴随的增大而增大， ∴，解得：， 故选：C． 【变式6-2】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）关于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C．点，点在该函数的图象上，若，则 D．图象经过一、二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象经过点，故A选项结论正确，不符合题意； 的图象向上平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论正确，不符合题意； ，因此随的增大而减小，当时，，故选项C结论错误，符合题意； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论正确，不符合题意； 故选C． 【变式6-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）关于的一次函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，一次函数，当时，一次函数随的增大而增大，当时，一次函数随的增大而减小，进行解答，即可． 【详解】解：∵关于的一次函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-4】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k、b的取值情况是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了根据一次函数的增减性求参数的范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的函数值随自变量的增大而增大，可得，然后结合图象与轴的正半轴相交，可得图象与y轴的负半轴相交，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴， ∵一次函数的图象与x轴的正半轴相交，则图象与y轴的负半轴相交， ∴． 故选：B． 【考点题型七】一次函数图像上的点坐标的特征（） 【例7】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移4个单位长度后，得到一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数与y轴的交点，解题的关键是掌握一次函数的平移规律：上加下减，左加右减，以及求一次函数与坐标轴交点坐标的方法． 先根据一次函数的平移规律，得出新直线的函数解析式，再求出当时的函数值，即可解答． 【详解】解：直线沿y轴向下平移4个单位长度后的解析式为， 当时，， ∴该新直线与y轴的交点坐标是， 故选：B． 【变式7-1】（23-24八年级下·山西长治·期中）一次函数向上平移3个单位长度后，图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移，x轴上的点的坐标特征，先根据一次函数平移规律“左加右减，上加下减”，得出平移后的函数解析式，再求出当时自变量的值，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 函数向上平移3个单位长度后的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴与轴的交点坐标是， 故选：A． 【变式7-2】（23-24八年级下·吉林长春·期中）将直线向上平移1个单位，得到的图象与x轴的交点的横坐标为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减”的原则得到平移后的直线的解析式，再把代入所得的解析式解答即可． 【详解】解：将直线向上平移1个单位，得到， 把代入得，， 解得， 所以该直线与轴的交点的横坐标是， 故答案为：1． 【变式7-3】（23-24八年级下·福建福州·期中）一次函数与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 代入求出与之对应的的值，进而可求出一次函数的图象与轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【考点题型八】一次函数与方程，不等式的关系（） 【例8】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，一次函数的图象过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的知识点，解答本题的关键是进行数形结合，此题比较简单．根据一次函数与一元一次不等式的关系即可直接得出答案． 【详解】解：由一次函数的图象经过两点， 根据图象可知：关于的不等式的解集是， 故选：A． 【变式8-1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象．熟练掌握一次函数图象经过的点坐标，根据纵坐标的取值范围确定横坐标的取值范围，是解决问题的关键． 根据一次函数的图象过点和点，可知时，． 【详解】∵一次函数的图象过点和点， ∴当时，． 故选：C． 【变式8-2】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集， 先将代入关系式求出x，从交点向左一次函数的图象在一次函数的图象上方，即可得出不等式的解集． 【详解】解：当时，， 解得． 当时，两个函数值相等， ∴当时，． 故选：B． 【变式8-3】（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交点的意义，得，结合交点坐标与方程组的关系解答即可． 本题考查了交点的意义，交点坐标与方程组的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 故选：A． 【变式8-4】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据的解就是函数与直线的交点即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 故关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 【变式8-5】（24-25八年级上·福建漳州·期中）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得解．根据函数图象与轴的交点坐标和函数的增减性可直接解答． 【详解】解：∵一次函数与轴的交点坐标为，y随x的增大而增大， ∴当时，． 故答案为． 【考点题型九】一次函数的实际应用（） 【例9】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）为了增强学生体质，响应国家阳光体育活动，某校计划购买甲乙两种跳绳．经市场反馈，甲种跳绳每根20元，乙种跳绳每根15元．若学校准备购买甲乙两种跳绳共200根，且购买乙种跳绳的数量不多于甲种跳绳数量的3倍． (1)设购买甲种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式； (2)在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】(1)； (2)当购买甲种跳绳50根，乙种跳绳150根时，学校实际所花费用最省，最省的费用为3250元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用式和不等式的应用， （1）设购买甲种跳绳为x根， 则购买设购买乙种跳绳为根，根据总金额等于数量乘以单价即可列出总金额的函数关系式； （2）根据题意列出不等式求得购买甲种跳绳数量，结合函数的性质即可求得最省的购买方案． 【详解】（1）解∶设购买甲种跳绳为x根， 则购买设购买乙种跳绳为根． ∴ ∴ （2）解：由题意得 解得 ∵， ∵ ∴y随x的增大而增大 ∴当时， y取得最小值为 此时 ∴当购买甲种跳绳50根，乙种跳绳150 根时，学校实际所花费用最省，最省的费用为3250元 【变式9-1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）在年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车辆，已知中级型汽车的售价为万元/辆，紧凑型汽车的售价为万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于辆，设购进a辆中级型汽车，辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元 (2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，W最大为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用；根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元． ， 解得， ∴中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元． （2）由题可得， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值为， ∴该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，W最大为万元． 【变式9-2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】(1)； (2)这个月该户用了11吨水． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，根据题意列出一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意，分类和两种情况分别列出函数关系式即可； （2）先判断该户居民用了超过6吨水，再代入求解方程得出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，分2种情况讨论： ①当时，； ②当时，； 与x的函数关系式为． （2）， 该户居民用了超过6吨水， 当时，， 解得：， 答：这个月该户用了11吨水． 【变式9-3】（23-24八年级上·四川巴中·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)分别求，关于x的函数解析式； (2)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择____________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） (3)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 【答案】(1)， (2)A (3)5或40 【分析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题． （1）用待定系数法即可求解； （2）①先分段求出关于的函数解析式，再根据“时间路程速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解； ②分两种情况讨论：当时，；当时，或．以此列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得，， 设， 将点代入得，， 解得：， ， 关于的函数解析式为； 设当时，， 将点，代入得，， 解得， 当时，， ； （2）由图象可知，当时，， 小明从家骑行到工厂所需时间为， A品牌所需费用为元， B品牌所需费用为元， ， 选择A品牌共享电动车更省钱； 故答案为：A； （3）当时，，， ， 解得：， 当时，或， 或， 解得：（舍去）或， 综上，当的值为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【变式9-4】（2024·陕西汉中·三模）在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． (1)从地到地的距离为______； (2)求出段的函数表达式： (3)求小明距地时所用的时间． 【答案】(1)1500 (2)段的函数表达式为； (3)小明距地时所用的时间为． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据，可以计算出从地到地的距离； （2）先计算出小明跑步的速度，即可计算出小明从地到地用的时间，从而可以写出点的坐标，再根据点的坐标，即可得到段的函数表达式； （3）令（2）中的值为750，求出相应的的值，即可得到小明距地时所用的时间． 【详解】（1）解：由图象可得， 从地到地的距离为：， 故答案为：1500； （2）解：由图象可得， 小明的跑步速度为：， 小明从地到地用的时间为：， 点的坐标为， 设段的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即段的函数表达式为； （3）解：令，， 解得， 即小明距地时所用的时间为． 【变式9-5】（24-25八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【答案】(1)图象见解析，一次 (2)； (3)这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求出一次函数解析式是关键． （1）根据表格数据，画出函数图象，从图象观察符合一次函数图象特征即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）先计算出一天的漏水量，再计算出一月的漏水量，最后与1600作除法运算即可． 【详解】（1）解：关于的函数图象如图所示： 从所画图象看，符合一次函数的特征． 故答案为：一次； （2）解：设一次函数解析式为，将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为； （3）解：一天， 一天的盛水量， 一月的盛水量， 可供一人饮用（天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 【考点题型十】反比例函数的性质（） 【例10】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图像经过点 C．图像关于直线对称 D．图像位于第二、四象限 【答案】A 【分析】考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．通过反比例图象上的点的坐标特征，可对B选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：由反比例函数的性质，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故A是不正确的，符合题意； 由点的坐标满足反比例函数，故B是正确的，不符合题意； 由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数的图象关于对称是正确的，故C是正确的，不符合题意； 由，双曲线位于二、四象限，故D是正确的，不符合题意； 故选：A． 【变式10-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象在一、三象限 B．当时，随增大而减小 C．若在该函数图象上，则 D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意； 、当时，随增大而增大，故不符合题意; 、若在该函数图象上，则，故符合题意； 、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意； 故选：. 【变式10-2】（22-23九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， 故答案为：． 【考点题型十一】反比例图像上点坐标的特征（） 【例11】（2024·云南·模拟预测）已知点与点关于轴对称，若反比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，要熟练掌握代入法求解析式，关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数等基本知识点． 根据两点关于y轴对称的点的坐标特点，求A点坐标，即可将A点坐标代入中求k的值． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为 ∵反比例函数的图象经过点， ∴，即． 故选：B． 【变式11-1】（24-25八年级上·上海崇明·期中）在函数的图象上有三点，已知，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，正确判断反比例函数的图像所在的象限和增减性是解题的关键．首先判断反比例函数的图像所在的象限和增减性，再由增减性比较大小即可． 【详解】已知函数的图象经过二，四象限， 由图象上有三点， 且， 可得点在第二象限， 在第四象限， ， 函数的图象在第二象限内，随的增大而增大， ， ， ， 故选：C． 【变式11-2】（2023•义乌市校级开学）以下四个点中，不在反比例函数y＝图象上的是（　　） A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，） D．（﹣4，） 【答案】D 【解答】解：因为反比例函数的表达式是y＝， 所以横纵坐标的积等于4的点，在这个反比例函数的图象上． 又2×2＝4，﹣2×（﹣2）＝4，，． 所以D选项中的点的坐标不在反比例函数的图象上． 故选：D． 【考点题型十二】反比例函数系数k的几何意义（） 【例12】（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握反比例函数中比例系数的几何意义是解决此题的关键．根据题意列式表示出D点的坐标，然后在根据k的几何意义即可求出答案． 【详解】解：设，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴，即， 又∵，即， ∴， ∴ 故选：C． 【变式12-1】（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为2，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得到三角形的面积，由于三角形的面积，得到，即可得到结论，明确是解题的关键． 【详解】如图，连， ∵轴， ∴， ∴三角形的面积， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式12-2】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，平行四边形的顶点B在双曲线上，顶点C在双曲线上，中点P恰好落在y轴上，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是． 连接，过点和点分别作轴的垂线段和，先证明，则，易知，，由此可得，从而得到，求出的值即可． 【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，垂足分别为点E、D，如图所示：   ， 中点恰好落在轴上， ， ， ， ， 点在双曲线上， ， 点在双曲线上，且从图像得出， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【变式12-3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点．在轴上，垂直于轴，点分别在函数和的图象上．若的面积为，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，，即可得出即 ，与构成方程组，解方程组即可求解，明确是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的顶点在轴上，垂直于轴， ∴轴， ∴， ∵点分别在函数和的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵， 得，即 ， 故答案为：． 【变式12-4】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于点，，分别过点，作轴、轴的垂线，垂足分别为点，．若四边形的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数中的几何意义．根据反比例函数是中心对称图形可得，，进而得到，从而得到值． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图像交于点，， ，， 四边形是平行四边形， ， 点在反比例函数上， ， 故答案为：． 【变式12-5】（23-24八年级下·四川遂宁·期中）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知的面积为6，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为，然后两个三角形面积作差即可求出结果． 【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴． 故答案为：12． 【变式12-6】（23-24八年级下·福建泉州·期中）点P，Q，R在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．，若，则k的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 27 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，设，得到，结合阴影部分的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵点P，Q，R在反比例函数（常数，）图象上， ∴， ∴， ∴当，则：， ∴； 当，则：， 则：； ∴； 故答案为：． 【考点题型十三】反比例函数与一次函数交点问题（） 【例13】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解是（　　） ​ A． B． 或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点， 观察函数图象，发现： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集是或． 故选：B． 【变式13-1】（23-24八年级下·全国·期中）如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键； 根据反比例函数和一次函数的图像和性质求解即可； 【详解】解：观察函数图象可知：点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴关于的方程的解为和． 故答案为：和． 【变式13-2】（23-24八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象特征，函数图象在上面的y值总比函数图象在下面的y值大；反之，就越小；据此解答即可． 【详解】解：∵函数与反比例函数的图象相交于，两点，且， ∴时，函数的图象在反比例函数图象的上方，且， 故答案为：． 【变式13-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图所示，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，则的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，由题意得正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点为，确定正比例函数的图象在反比例函数的图象上方的部分即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象有一个交点， ∴正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点为， 由图象可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴的解是或 故答案为：或 【变式13-4】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点的综合运用，根据题意利用数形结合思想进一步分析是解题关键．将不等式变形为，从而转化为两个函数的大小关系，据此进一步求解即可． 【详解】解：由得，，如图 所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移个单位得到， 由反比例函数图像的对称性知：点的横坐标分别为 ∴不等式的解集是或 故答案为：或． 【考点题型十四】反比例函数与一次函数存在问题（） 【例14】（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数、一次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，一次函数与轴的交点坐标为，根据当反比例函数，此时一次函数应经过第一、三、四象限；当反比例函数，此时一次函数应经过第一、二、四象限；对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，一次函数与轴的交点坐标为， 当反比例函数，此时一次函数应经过第一、三、四象限；当反比例函数，此时一次函数应经过第一、二、四象限； ∴A正确，故符合要求；B、C、D错误，故不符合要求； 故选：A． 【变式14-1】（23-24八年级下·福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断，张掌握函数图象与系数的关系是解题关键．由反比例函数图象，得出的取值范围，进而判断一次函数的图象，即可得出答案． 【详解】解：A、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象不符合，选项错误； B、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象符合，选项正确； C、反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，则，所以一次函数的图象经过第二、三、四象限，图象不符合，选项错误； D、反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，则，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，图象不符合，选项错误； 故选：B． 【变式14-2】（23-24八年级下·四川内江·期中）已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于明确系数与函数图象的关系．当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限；当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限，进而得出答案． 【详解】解：当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限； 当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限， ∴与D选项中图象一致， 故选：D． 【变式14-3】（23-24八年级下·福建泉州·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故B错误，C正确； 当时，， 反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A、D选项错误； 故选：C． 【考点题型十五】反比例函数与一次函数综合应用（） 【例15】（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数表达式为 (2)4 (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入反函数表达式，再求解B的坐标，再求解一次函数的解析式即可； （2）先求解D的坐标，结合点A，点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例的解析式为； 把代入， ∴， ∴， 将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， （2）解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， ∴点B的坐标为，， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 【变式15-1】（23-24八年级下·重庆万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数时，自变量的取值范围； (3)点P为反比例函数图象上第一象限的一点，若，求P点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)P点坐标 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合： （1）先把点A坐标代入一次函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）借助图象得到时自变量的取值范围即可； （3）先求出点C的坐标，进而求出的面积，进而根据三角形面积公式求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）∵点在图象上 ∴， ∴，点A在上， ， ∴反比例函数的解析式； （2）∵在上， ∴ 根据图象可得，当或，时； （3）∵与x轴相交点C， ∴，， 设P在第一象限反比例的坐标， ， ，， ∴P点坐标． 【变式15-2】（23-24八年级下·海南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点A坐标为，点的坐标为 (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图像直接写出时的取值范围是______； (4)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式； （2）根据两三角形面积和可得到结论； （3）直接根据图像一次函数在反比例函数上边时对应x的值； （4）分为两种情况，根据点A的坐标综合图形可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点A坐标为， ∴将点A代入到反比例函数中可得到：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：， ∴将点B的坐标代入到反比例函数中得到：， 解得：， ∴， 将A、B的坐标代入到一次函数中可得到： ，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图所示，当时，，即， ， ∴， ∴； （3）解：根据图像可得，当时，即一次函数图像在反比例函数图像上方时，的取值范围是：或； （4）解：当是以为腰的等腰三角形时，存在以下两种情况： 当时，如图所示： ， ∵， ∴， ∴或； 当时，如图所示： ， 根据等腰三角形的特征以及点A的坐标可得到：； 综上，P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形面积的公式，数形结合是解题的关键． 【变式15-3】（23-24八年级上·上海崇明·期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作， 交反比例函数的图象于点交正比例函数的图象于点，    (1)求a、k的值 (2)连接，求的面积 (3)P为射线上一点，若的面积为9，求点P的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是利用函数的解析式求出点坐标． （1）先根据反比例函数的图象求出a，在根据点B的坐标求出k的值即可； （2）过点B作，垂足为E，先根据正比例函数的图象求出点C的坐标 ，再根据点C和点A的横坐标相等和点A在反比例函数的图象上求出点A的坐标，即可求出和的长度，即可求出三角形的面积； （3）过点P作，垂足为F，根据三角形的面积求出的值，根据两种情况展开讨论，结合正比例函数的图象就可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：过点B作，垂足为E，    设点，， ∵正比例函数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，, ∴； （3）解；如下图所示，过点P作，垂足为F，设, ∵，    ∴， ∴， 当P在C点上方时， ∴的横坐标为， ∴， ∴， 当P在C点下方时， ∴的横坐标为， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 函数（15个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 变量与函数 1.变量与函数 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 2.函数的解析式 像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。 3.自变量取值范围和函数值 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 清单02 函数的图像 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点 清单03 一次函数 一．一次函数的图像与性质 1、一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 2． 一次函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质。 3． 一次函数与方程、不等式的关系 1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 四，一次函数的应用 行程类： 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 销售类： 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 清单04 反比例函数 一．反比例的性质 在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的 二．反比例函数图像上点坐标的特征 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质 三．反比例函数系数K的几何意义 这类问题通常是由几何图形的面积求k且常与相似三角形等考查，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如： 四．反比例函数与一次函数交点 1.求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐标； 2.不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集时： ①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方， ②求交点的横坐标， ③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围；（没有其他要求时，解集一般有两部分，且其中一部分肯定和0有关） 五．反比例函数与一次函数图像存在问题 求两函数图象存在性的方法：①假设其中一个函数的图象正确，得到对应参数字母的范围；②以假设所得参数字母的范围验证另一个函数图象是否成立； 六．五.反比例函数与一次函数综合应用 一次函数与反比例函数的综合应用题，第一问通常是待定系数法求解析式，后边问题则常结合其他几何图形同步考察一次函数和反比例函数以及几何图形的性质，故常常需要多考虑与之结合的几何图形的性质； 【考点题型一】函数的概念（） 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列表示y与x之间关系的图象中，y不是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）假期小战一家自驾游黑龙江省，爸爸开车到加油站加油，小战发现加油机上的数据显示牌金额随着油量的变化而变化，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则下列判断正确的是（    ） 178.00 金额/元 20.00 油量/升 8.90 单价/（元/升） A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．178和20是常量 D．金额是油量的函数 【变式1-3】（23-24八年级下·山西晋城·期中）已知n边形的内角和公式是，则其中变量是（    ） A． B．n C．和n D．，n和180° 【变式1-4】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列式子中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】函数解析式（） 【例2】（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知等腰三角形的周长为20，那么底边长y与腰长x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）汽车油箱中有汽油50升，若耗油量为每千米0.1升，且不再加油，那么油箱中的剩余油量y（升）随行驶路程x（千米）变化的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·广东广州·期中）周长为的长方形，若它的一边是，面积是．用含x的式子表示S为 ． 【变式2--3】（23-24八年级下·上海杨浦·期中）某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了千米，则乘车费用（元）关于里程数（千米）的函数解析式为 ． 【考点题型三】自变量取值范围（） 【例3】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式3-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式3-2】（22-23八年级下·四川宜宾·期中）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【变式3-3】（2024·四川眉山·一模）函数的自变量的取值范围是 ． 【考点题型四】平面直角坐标系（） 【例4】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在第二象限内且为正整数． 【变式4-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）平面直角坐标系内有一点，点到轴的距离是2，到轴距离是4，且点在第四象限内，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·山西晋中·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限，且点到轴的距离为8，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·期中）若点在轴上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】从函数图像获取信息（） 【例5】（2025·河南濮阳·一模）如图（1）所示，实验小组的同学设计了一种测量温度的电路．已知电源电压为，其允许通过的最大电流为，是定值电阻，阻值为，是热敏电阻，其阻值随温度变化的图像如图（2）所示．下列说法正确的是（ ） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． A．随着温度的升高，热敏电阻的阻值增大 B．随着温度的升高，电流表的示数减小 C．随着温度的升高，定值电阻两端的电压增大 D．当环境温度是时，电流表的示数是 【变式5-1】（2025年河南省郑州市九年级中考一模数学试题）硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中不溶解 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲、乙两人之间的最远距离是米 B．乙追上甲后，再走米才到达终点 C．乙用分钟追上甲 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【变式5-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）以下是长沙某日气温变化情况的折线图，下列描述正确的是（   ） A．最低温度是 B．最高温度是 C．从0时到14时温度在持续上升 D．这一天的最大温差是 【变式5-4】（2025七年级下·全国·专题练习）兄弟两人沿五四广场的木栈道跑步，领先的哥哥看弟弟跑得慢，就停下来看风景，过了一会发现弟弟跑前面去了，急忙追赶，结果比弟弟提前到达终点．用，分别表示哥哥和弟弟所跑的路程，t为跑步时间，则下列图象与故事情节相吻合的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】一次函数的图像与性质（） 【例6】（23-24八年级下·天津南开·期中）对于函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，则 B．它的图像经过第一、二、三象限 C．它的图像必经过点 D．y的值随x值的增大而增大 【变式6-1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）关于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C．点，点在该函数的图象上，若，则 D．图象经过一、二、四象限 【变式6-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）关于的一次函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k、b的取值情况是（     ） A．， B．， C．， D．， 【考点题型七】一次函数图像上的点坐标的特征（） 【例7】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移4个单位长度后，得到一条新的直线，该新直线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级下·山西长治·期中）一次函数向上平移3个单位长度后，图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24八年级下·吉林长春·期中）将直线向上平移1个单位，得到的图象与x轴的交点的横坐标为 ． 【变式7-3】（23-24八年级下·福建福州·期中）一次函数与x轴的交点坐标为 ． 【考点题型八】一次函数与方程，不等式的关系（） 【例8】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，一次函数的图象过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式8-4】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【变式8-5】（24-25八年级上·福建漳州·期中）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【考点题型九】一次函数的实际应用（） 【例9】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）为了增强学生体质，响应国家阳光体育活动，某校计划购买甲乙两种跳绳．经市场反馈，甲种跳绳每根20元，乙种跳绳每根15元．若学校准备购买甲乙两种跳绳共200根，且购买乙种跳绳的数量不多于甲种跳绳数量的3倍． (1)设购买甲种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式； (2)在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【变式9-1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）在年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车辆，已知中级型汽车的售价为万元/辆，紧凑型汽车的售价为万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于辆，设购进a辆中级型汽车，辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 【变式9-2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【变式9-3】（23-24八年级上·四川巴中·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)分别求，关于x的函数解析式； (2)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择____________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） (3)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 【变式9-4】（2024·陕西汉中·三模）在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． (1)从地到地的距离为______； (2)求出段的函数表达式： (3)求小明距地时所用的时间． 【变式9-5】（24-25八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【考点题型十】反比例函数的性质（） 【例10】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图像经过点 C．图像关于直线对称 D．图像位于第二、四象限 【变式10-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象在一、三象限 B．当时，随增大而减小 C．若在该函数图象上，则 D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 【变式10-2】（22-23九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为 ． 【考点题型十一】反比例图像上点坐标的特征（） 【例11】（2024·云南·模拟预测）已知点与点关于轴对称，若反比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式11-1】（24-25八年级上·上海崇明·期中）在函数的图象上有三点，已知，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2023•义乌市校级开学）以下四个点中，不在反比例函数y＝图象上的是（　　） A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，） D．（﹣4，） 【考点题型十二】反比例函数系数k的几何意义（） 【例12】（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为2，则的值是 ． 【变式12-2】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，平行四边形的顶点B在双曲线上，顶点C在双曲线上，中点P恰好落在y轴上，已知，则 ． 【变式12-3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点．在轴上，垂直于轴，点分别在函数和的图象上．若的面积为，且，则的值为 ． 【变式12-4】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于点，，分别过点，作轴、轴的垂线，垂足分别为点，．若四边形的面积为，则 ． 【变式12-5】（23-24八年级下·四川遂宁·期中）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知的面积为6，则 ． 【变式12-6】（23-24八年级下·福建泉州·期中）点P，Q，R在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．，若，则k的值为 ；若，则的值为 ． 【考点题型十三】反比例函数与一次函数交点问题（） 【例13】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解是（　　） ​ A． B． 或 C．或 D． 【变式13-1】（23-24八年级下·全国·期中）如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为 ． 【变式13-2】（23-24八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，，则不等式的解集为 ． 【变式13-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图所示，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，则的解是 ． 【变式13-4】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和，则不等式的解集是 ． 【考点题型十四】反比例函数与一次函数存在问题（） 【例14】（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（23-24八年级下·福建泉州·期中）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24八年级下·四川内江·期中）已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24八年级下·福建泉州·期末）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A．B． C． D． 【考点题型十五】反比例函数与一次函数综合应用（） 【例15】（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【变式15-1】（23-24八年级下·重庆万州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出一次函数时，自变量的取值范围； (3)点P为反比例函数图象上第一象限的一点，若，求P点坐标． 【变式15-2】（23-24八年级下·海南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点A坐标为，点的坐标为 (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图像直接写出时的取值范围是______； (4)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 【变式15-3】（23-24八年级上·上海崇明·期中）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点，点为轴正半轴上一点，过点作， 交反比例函数的图象于点交正比例函数的图象于点，    (1)求a、k的值 (2)连接，求的面积 (3)P为射线上一点，若的面积为9，求点P的坐标 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$