练案20 11.3.3 平面与平面平行-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

练案［２０］ 第十一章　 立体几何初步 １１． ３　 ［１１． ３． ３　 平面与平面平行］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．下列说法中正确的是 （　 ） Ａ．如果两个平面α，β只有一条公共直线ａ，就 说平面α，β相交，并记作α∩β ＝ ａ Ｂ．两平面α，β有一个公共点Ａ，就说α，β相交 于过Ａ点的任意一条直线 Ｃ．两平面α，β有一个公共点Ａ，就说α，β相交 于Ａ点，并记作α∩β ＝ Ａ Ｄ．两平面ＡＢＣ与ＤＢＣ相交于线段ＢＣ ２．（多选题）下列说法中，正确的是 （　 　 ） Ａ．平面内一个三角形各边所在的直线都与另 一个平面平行，则这两个平面平行 Ｂ．平行于同一个平面的两个平面平行 Ｃ．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直 线也互相平行 Ｄ．若两个平面平行，则其中一个平面内的直 线与另一个平面平行 ３．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相 等且不为零，则α与β的位置关系为（　 ） Ａ．平行 Ｂ．相交 Ｃ．平行或相交 Ｄ．可能重合 ４．在正方体ＥＦＧＨ － Ｅ１Ｆ１Ｇ１Ｈ１中，下列四对截面 彼此平行的一对是 （　 ） Ａ．平面Ｅ１ＦＧ１与平面ＥＧＨ１ Ｂ．平面ＦＨＧ１与平面Ｆ１Ｈ１Ｇ Ｃ．平面Ｆ１Ｈ１Ｈ与平面ＦＨＥ１ Ｄ．平面Ｅ１ＨＧ１与平面ＥＨ１Ｇ ５．下列结论正确的是 （　 ） ①一个平面内有两条直线都与另外一个平面 平行，则这两个平面平行； ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平 面平行，则这两个平面平行； ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平 行，则这两个平面平行； ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个 平面平行，则这两个平面平行． Ａ．①③　 　 　 Ｂ．②④　 　 　 Ｃ．③④　 　 　 Ｄ．②③④ 二、填空题 ６．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线ａ， 在β内总存在直线ｂ∥ａ，则α与β的位置关系 是　 　 　 　 　 （填“平行”或“相交”）． ７．如图，ａ∥α，Ａ是α的另一侧的 点，Ｂ、Ｃ、Ｄ∈ａ，线段ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ 分别交平面α于Ｅ、Ｆ、Ｇ，若ＢＤ ＝ ４，ＣＦ ＝ ４，ＡＦ ＝ ５，则ＥＧ ＝ 　 　 　 　 　 ． ８．如图是一几何体的平面展开 图，其中四边形ＡＢＣＤ为正 方形，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为Ｐ３Ａ， Ｐ２Ｄ，Ｐ４Ｃ，Ｐ４Ｂ的中点，在此 几何体中，给出下面五个 结论： ①平面ＥＦＧＨ∥平面ＡＢＣＤ；②ＰＡ∥平面ＢＤＧ； ③ＥＦ∥平面ＰＢＣ；④ＦＨ∥平面ＢＤＧ；⑤ＥＦ∥ 平面ＢＤＧ． 其中正确结论的序号是　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９． 如图所示，四棱锥 Ｐ －ＡＢＣＤ的底面ＡＢＣＤ 为矩形，Ｅ、Ｆ、Ｈ分别为 ＡＢ、ＣＤ、ＰＤ的中点．求 证：平面ＡＦＨ ∥ 平 面                                                                  ＰＣＥ． —６６１— １０．如图所示，在正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｏ 为底面ＡＢＣＤ的中心，Ｐ 是ＤＤ１的中点，设Ｑ是 ＣＣ１上的点，问：当点Ｑ 在什么位置时，平面 Ｄ１ＢＱ∥平面ＰＡＯ？ Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）对于不重合的两个平面α与β，给定下 列条件中，可以判定α与β平行的条件有（　 ） Ａ．存在平面γ，使得α，β都平行于ｙ Ｂ．存在平面γ，使得α，β都垂直于γ Ｃ． α内有不共线的三点到β的距离相等 Ｄ．存在异面直线ｌ，ｍ，使得ｌ∥α，ｌ∥β，ｍ∥α， ｍ∥β ２．（多选题）设α，β，γ为两两不重合的平面，ｌ，ｍ，ｎ 为两两不重合的直线，下列四个结论中，正确 的有 （　 ） Ａ．若α∥β，γ∥β，则α∥γ Ｂ．若ｍα，ｎα，ｍ∥β，ｎ∥β，则α∥β Ｃ．若α∥β，ｌα，则ｌ∥β Ｄ．若α∩β ＝ ｌ，β∩γ ＝ ｍ，γ∩α ＝ ｎ，ｌ∥γ，则 ｍ∥ｎ ３．在棱长为２的正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｍ 是棱Ａ１Ｄ１的中点，过Ｃ１，Ｂ，Ｍ作正方体的截 面，则这个截面的面积为 （　 ） Ａ． 槡３ ５２ Ｂ． ９ ２ Ｃ． ９８ Ｄ． 槡３ ５ ８ 二、填空题 ４．如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平 面外一点，平面α∥平面 ＡＢＣ，α分别交线段ＰＡ， ＰＢ，ＰＣ于点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′．若 ＰＡ′ ＡＡ′ ＝ ２  ３，则 Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ Ｓ△ＡＢＣ ＝ 　 　 　 　 　 ． ５．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么 这两个平面的位置关系为　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．如图，已知Ｓ是平行四边形 ＡＢＣＤ平面外一点，Ｍ，Ｎ分 别是ＳＡ，ＢＤ上的点，且ＳＭＭＡ ＝ ＢＮＮＤ，求证：ＭＮ ∥平 面ＳＢＣ． Ｃ组·创新拓展 　 如图所示，斜三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１中，点Ｄ，Ｄ１ 分别为ＡＣ，Ａ１Ｃ１上的点． （１）当Ａ１Ｄ１Ｄ１Ｃ１等于何值时，ＢＣ１∥平面ＡＢ１Ｄ１？ （２）若平面ＢＣ１Ｄ∥平面ＡＢ１Ｄ１，求ＡＤＤＣ的值                                                                         ． —７６１— ３． Ｂ　 由ＡＥＥＢ ＝ ＡＦＦＤ ＝ １４知，ＥＦ∥ＢＤ，且ＥＦ ＝ １５ ＢＤ， 又∵ ＥＦ平面ＢＣＤ，ＢＤ平面ＢＣＤ， ∴ ＥＦ∥平面ＢＣＤ，又点Ｈ，Ｇ分别为ＢＣ，ＣＤ的中点， ∴ ＨＧ∥ＢＤ且ＨＧ ＝ １２ ＢＤ， ∴ ＥＦ∥ＨＧ且ＥＦ≠ＨＧ，故选Ｂ． ４． Ａ　 由长方体性质知：ＥＦ∥平面ＡＢＣＤ， ∵ ＥＦ平面ＥＦＧＨ，平面ＥＦＧＨ∩平面ＡＢＣＤ ＝ ＧＨ， ∴ ＥＦ∥ＧＨ． 又∵ ＥＦ∥ＡＢ，∴ ＧＨ∥ＡＢ． ５． ＢＣ　 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个 平面平行或相交，故Ａ错误，Ｂ正确，Ｃ正确；过空间一点不一 定存在某个平面与两条异面直线都平行，当此点在其中一条 直线上时，平面可能与其中一条平行，经过另一条直线，故Ｄ 错误．故选ＢＣ． ６． ３２ 　 由于点Ａ不在直线ａ上，则直线ａ和点Ａ确定一个平面 β，所以α∩β ＝ ＥＦ． 因为ａ∥平面α，ａ平面β，所以ＥＦ∥ａ． 所以ＥＦＢＣ ＝ ＡＦ ＡＣ．所以ＥＦ ＝ ＡＦ·ＢＣ ＡＣ ＝ ３ × ４ ５ ＋ ３ ＝ ３ ２ ． ７．②③④　 ①中ｂ可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平 行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出ｂ∥α． ８． ｌ∥Ａ１Ｃ１ 　 ∵平面ＡＢＣＤ∥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，ＡＣ 平面ＡＢＣＤ， ∴ ＡＣ∥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ ． 又平面ＡＣＢ１ 经过直线ＡＣ 与平面 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１相交于直线ｌ， ∴ ＡＣ∥ｌ，又∵ ＡＣ∥Ａ１Ｃ１，∴ ｌ∥Ａ１Ｃ１ ． ９．［证明］　 如图所示，连接ＳＢ． ∵ Ｅ、Ｇ分别是ＢＣ、ＳＣ的中点， ∴ ＥＧ∥ＳＢ． 又∵ ＳＢ平面ＢＤＤ１Ｂ１，ＥＧ平面ＢＤＤ１Ｂ１， ∴直线ＥＧ∥平面ＢＤＤ１Ｂ１ ． １０．［证明］　 连接ＡＣ１，设ＡＣ１∩Ａ１Ｃ ＝ Ｅ， 连接ＤＥ， 则Ｅ为ＡＣ１的中点，又Ｄ为ＡＢ的中点，∴ ＤＥ∥ＢＣ１ ． ∵ ＤＥ平面Ａ１ＤＣ，ＢＣ１平面Ａ１ＤＣ，∴ ＢＣ１∥平面Ａ１ＤＣ． Ｂ组　 素养提升 １． ＢＣＤ　 对于Ｂ项，可连接ＣＤ，因为ＡＢ∥ＣＤ，Ｍ，Ｑ分别是所在 棱的中点，所以ＭＱ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥ＭＱ．又ＡＢ平面ＭＮＱ， ＭＱ平面ＭＮＱ，所以ＡＢ∥平面ＭＮＱ．同理可证，Ｃ，Ｄ项中均 有ＡＢ∥平面ＭＮＱ，Ａ项则不能证明．故选ＢＣＤ． ２． ＡＢＣ　 依题意，如图，正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，令平面ＡＢＣＤ为平面α， 平面ＣＤＤ１Ｃ１为平面β，则ＣＤ为直线ａ． ∵ ａ∥ ｂ，∴ 不妨设Ａ１Ｂ１ 为直线ｂ． ∵ Ａ１Ｂ１∥ＡＢ，ＡＢ平面ＡＢＣＤ， Ａ１Ｂ１平面ＡＢＣＤ， ∴ Ａ１Ｂ１∥平面ＡＢＣＤ， ∴ ｂβ且ｂ∥α，即Ａ项成立； ∵ Ａ１Ｂ１∥Ｃ１Ｄ１，Ｃ１Ｄ１平面ＣＤＤ１Ｃ１，Ａ１Ｂ１平面ＣＤＤ１Ｃ１， ∴ Ａ１Ｂ１∥平面ＣＤＤ１Ｃ１，∴ ｂα，且ｂ∥β，即Ｂ选项成立；由ＡＢ 可知，Ｃ选项成立；对于Ｄ，若ａ∥ｂ，且α∩β ＝ ａ，则ｂ∥α或ｂ α，所以ｂ不可能与α相交，同理，ｂ不可能与β相交，故Ｄ不 可能成立．故选ＡＢＣ． ３． Ｃ　 通过作辅助线，在选项ＡＢＤ中，都能在△ＥＦＧ所在平面内 找出与ＡＢ平行的直线，又因为ＡＢ平面ＥＦＧ，所以选项ＡＢＤ 中，ＡＢ∥平面ＥＦＧ．在选项Ｃ中，平移ＡＢ．当Ｂ与Ｆ重合时，点 Ａ不在平面ＥＦＧ内，即直线ＡＢ与平面ＥＦＧ相交．故选Ｃ． ４． ｍｎ　 ∵ ＡＣ∥平面ＥＦＧＨ， ∴ ＥＦ∥ＡＣ，ＨＧ∥ＡＣ， ∴ ＥＦ ＝ ＨＧ ＝ ＢＥＡＢｍ． 同理，ＥＨ ＝ ＦＧ ＝ ＡＥＡＢｎ，∴ ＢＥ ＡＢｍ ＝ ＡＥ ＡＢｎ， ∴ ＡＥＥＢ ＝ ｍｎ． ５． Ｐ是ＣＣ１中点（答案不唯一）　 如图，取ＣＣ１中点Ｐ，连接Ａ１Ｐ． ∵在直三棱柱ＡＢＣ －Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｄ为ＡＡ１ 中点，点Ｐ在侧面ＢＣＣ１Ｂ１ 上运动，∴当 点Ｐ是ＣＣ１中点时，Ａ１Ｐ∥ＣＤ． ∵ Ａ１Ｐ平面ＢＣＤ，ＣＤ平面ＢＣＤ， ∴ Ａ１Ｐ∥平面ＢＣＤ． ６．［证明］　 如图所示，连接ＢＤ交ＡＣ于 点Ｏ，连接ＥＯ，ＡＥ，则Ｏ是ＢＤ的中 点．又Ｅ是ＰＤ的中点，∴ ＰＢ∥ＥＯ． ∵ ＰＢ平面ＥＡＣ，ＥＯ平面ＥＡＣ， ∴ ＰＢ∥平面ＥＡＣ． 又∵平面ＰＢＭ∩平面ＥＡＣ ＝ ＧＨ，ＰＢ 平面ＰＢＭ，∴ ＧＨ∥ＰＢ． Ｃ组　 创新拓展 　 在折叠后的线段ＡＤ上存在一点Ｐ，使得ＣＰ∥平面ＡＢＥＦ，此 时ＡＰＰＤ ＝ ３ ２ ．以下为证明过程： 当ＡＰＰＤ ＝ ３ ２时， ＡＰ ＡＤ ＝ ３ ５ ，过点Ｐ作ＭＰ∥ＦＤ交ＡＦ于点Ｍ，连接 ＥＭ（图略），则有ＭＰＦＤ ＝ ＡＰ ＡＤ ＝ ３ ５ ． 因为ＢＥ ＝ １，所以ＦＤ ＝ ５，所以ＭＰ ＝ ３．又ＥＣ ＝ ３，ＭＰ∥ＦＤ∥ ＥＣ，所以四边形ＭＰＣＥ为平行四边形，所以ＣＰ∥ＭＥ．又ＣＰ 平面ＡＢＥＦ，ＭＥ平面ＡＢＥＦ，所以ＣＰ∥平面ＡＢＥＦ成立． 练案［２０］ Ａ组　 基础自测 １． Ａ　 Ｂ不正确，若Ａ∈α∩β，则α，β相交于过Ａ点的一条直线； 同理Ｃ不正确；Ｄ不正确，两个平面相交，其交线为直线而非 线段． ２． ＡＢＤ　 Ｃ选项分别在两个平行平面内的直线，可能平行，也可 能异面． ３． Ｃ　 若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布 于平面β的两侧，则α与β相交． ４． Ａ　 如图，易得ＥＧ∥Ｅ１Ｇ１                                                                       ， —２３８— ∵ ＥＧ平面Ｅ１ＦＧ１，Ｅ１Ｇ１平面Ｅ１ＦＧ１， ∴ ＥＧ∥平面Ｅ１ＦＧ１ ． 易得Ｇ１Ｆ∥Ｈ１Ｅ，同理可证Ｈ１Ｅ∥平面Ｅ１ＦＧ１ ． ∵ Ｈ１Ｅ∩ＧＥ ＝ Ｅ，Ｈ１Ｅ平面ＥＧＨ１，ＥＧ平面ＥＧＨ１， ∴平面Ｅ１ＦＧ１∥平面ＥＧＨ１ ． 易证选项Ｂ、Ｃ、Ｄ中截面不平行，故选Ａ． ５． Ｃ　 如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个 平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线． 对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果 这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找 得到这样的直线存在． 对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行， 同①． 对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两 个平面平行．这是两个平面平行的定义． 对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理． 所以只有③④正确，选择Ｃ． ６．平行　 假若α∩β ＝ ｌ，则在平面α内，与ｌ相交的直线ａ，设ａ ∩ｌ ＝ Ａ，对于β内的任意直线ｂ，若ｂ过点Ａ，则ａ与ｂ相交，若 ｂ不过点Ａ，则ａ与ｂ异面，即β内不存在直线ｂ∥ａ．故α∥β． ７． ２０９ 　 ∵ ａ∥α，α∩平面ＡＢＤ ＝ ＥＧ， ∴ ａ∥ＥＧ，即ＢＤ∥ＥＧ， ∴ ＥＧＢＤ ＝ ＡＦ ＡＦ ＋ ＦＣ，则ＥＧ ＝ ＡＦ·ＢＤ ＡＦ ＋ ＦＣ ＝ ５ × ４ ５ ＋ ４ ＝ ２０ ９ ． ８．①②③④　 先把平面展开图还原为一个四棱锥，再根据直线 与平面、平面与平面平行的判定定理判断即可． ９．［证明］　 因为Ｆ为ＣＤ的中点，Ｈ为ＰＤ的中点， 所以ＦＨ∥ＰＣ，所以ＦＨ∥平面ＰＣＥ． 又ＡＥ∥ＣＦ且ＡＥ ＝ ＣＦ， 所以四边形ＡＥＣＦ为平行四边形， 所以ＡＦ∥ＣＥ，所以ＡＦ∥平面ＰＣＥ． 由ＦＨ平面ＡＦＨ，ＡＦ平面ＡＦＨ，ＦＨ∩ＡＦ ＝ Ｆ，所以平面 ＡＦＨ∥平面ＰＣＥ． １０．当Ｑ为ＣＣ１的中点时，平面Ｄ１ＢＱ∥平面 ＰＡＯ． ∵ Ｑ为ＣＣ１的中点，Ｐ为ＤＤ１的中点， ∴ ＱＢ∥ＰＡ．而ＱＢ平面ＰＡＯ，ＰＡ平面 ＰＡＯ， ∴ ＱＢ∥平面ＰＡＯ． 连接ＤＢ，∵ Ｐ、Ｏ分别为ＤＤ１，ＤＢ的中点，∴ ＰＯ为△ＤＢＤ１ 的 中位线，∴ Ｄ１Ｂ∥ＰＯ． 而Ｄ１Ｂ平面ＰＡＯ，ＰＯ平面ＰＡＯ， ∴ Ｄ１Ｂ∥平面ＰＡＯ． 又Ｄ１Ｂ∩ＱＢ ＝ Ｂ， ∴平面Ｄ１ＢＱ∥平面ＰＡＯ． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＤ　 对于Ａ，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两平面平 行，∴ Ａ正确． 对于Ｂ，设正方体的一个底面为γ，两个相邻侧面分别为α，β， 满足α⊥γ，β⊥γ，但α与β相交，∴ Ｂ不正确． 对于Ｃ，不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的 同一侧时，α与β相交，∴ Ｃ不正确． 对于Ｄ，可以判定α与β平行，可在平面α内作ｌ′∥ｌ，ｍ′∥ｍ， 则ｌ′与ｍ′必相交．又∵ ｌ∥β，ｍ∥β，∴ ｌ′∥β，ｍ′∥β，∴ α∥β， ∴ Ｄ正确．故选ＡＤ． ２． ＡＣＤ　 对于Ａ，由面面平行的传递性可知Ａ正确；对于Ｂ，若 ｍα，ｎα，ｍ∥β，ｎ∥β，则α∥β或α与β相交，所以Ｂ错；对 于Ｃ，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一 个平面平行，所以Ｃ正确；对于Ｄ，因为α∩β ＝ ｌ，β∩γ ＝ ｍ， ｌ∥γ，所以ｌ∥ｍ，同理ｌ∥ｎ，由平行线的传递性可得ｍ∥ｎ，所 以Ｄ正确． ３． Ｂ　 取ＡＡ１的中点Ｎ，连接ＭＮ，ＮＢ，ＭＣ１，ＢＣ１，由于截面被平行 平面所截，所以截面为梯形，且ＭＮ ＝ １２ ＢＣ１ 槡＝ ２，ＭＣ１ ＝ ＢＮ 槡＝ ５， 所以梯形的高为槡３ ２２ ， 所以梯形的面积为１２ ×（槡槡２ ＋２ ２）× 槡 ３ ２ ２ ＝ ９ ２ ． ４． ４２５ 　 ∵平面α∥平面ＡＢＣ， ∴ ＡＢ∥Ａ′Ｂ′， ＢＣ∥Ｂ′Ｃ′，ＡＣ∥Ａ′Ｃ′． 由等角定理得∠ＡＢＣ ＝∠Ａ′Ｂ′Ｃ′， ∠ＢＣＡ ＝∠Ｂ′Ｃ′Ａ′，∠ＣＡＢ ＝∠Ｃ′Ａ′Ｂ′， ∴ △ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′． ∵ △ＰＡＢ∽△ＰＡ′Ｂ′，ＰＡ′ＡＡ′ ＝ ２３， ∴ Ａ′Ｂ′ＡＢ ＝ ＰＡ′ ＰＡ ＝ ２ ５ ， ∴ Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ａ′Ｂ′( )ＡＢ ２ ＝ ＰＡ′( )ＰＡ ２ ＝ ４２５ ． ５．平行或相交　 三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能 相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行． ６．过点Ｎ作ＮＧ∥ＡＤ交ＡＢ于点Ｇ，连接ＭＧ，可得ＢＮＮＤ ＝ ＢＧ ＡＧ                                                                      ， —２３９— 由已知条件ＳＭＭＡ ＝ ＢＮ ＮＤ，得 ＳＭ ＭＡ ＝ ＢＧ ＡＧ，所以ＭＧ∥ＳＢ． 因为ＭＧ平面ＳＢＣ，ＳＢ平面ＳＢＣ，所以ＭＧ∥平面ＳＢＣ．又 ＡＤ∥ＢＣ，所以ＮＧ∥ＢＣ． 因为ＮＧ平面ＳＢＣ，ＢＣ平面ＳＢＣ，所以ＮＧ∥平面ＳＢＣ． 因为ＭＧ∩ＮＧ ＝ Ｇ，所以平面ＳＢＣ∥平面ＭＮＧ， 因为ＭＮ平面ＭＮＧ，所以ＭＮ∥平面ＳＢＣ． Ｃ组　 创新拓展 　 （１）如图所示，取Ｄ１为线段Ａ１Ｃ１的中点，此时Ａ１Ｄ１Ｄ１Ｃ１ ＝ １． 连接Ａ１Ｂ，交ＡＢ１于点Ｏ，连接ＯＤ１ ． 由棱柱的性质知，四边形Ａ１ＡＢＢ１为平行四边形，所以点Ｏ为Ａ１Ｂ 的中点．在△Ａ１ＢＣ１ 中，点Ｏ，Ｄ１ 分别为Ａ１Ｂ，Ａ１Ｃ１ 的中点，所以 ＯＤ１∥ＢＣ１ ． 又因为ＯＤ１平面ＡＢ１Ｄ１，ＢＣ１平面ＡＢ１Ｄ１， 所以ＢＣ１∥平面ＡＢ１Ｄ１ ． 所以当Ａ１Ｄ１Ｄ１Ｃ１ ＝ １时，ＢＣ１∥平面ＡＢ１Ｄ１ ． （２）由平面ＢＣ１Ｄ∥平面ＡＢ１Ｄ１，且平面Ａ１ＢＣ１∩平面ＢＣ１Ｄ ＝ ＢＣ１，平面Ａ１ＢＣ１∩平面ＡＢ１Ｄ１ ＝ Ｄ１Ｏ得ＢＣ１∥Ｄ１Ｏ，同理可 证，ＡＤ１∥ＤＣ１，所以Ａ１Ｄ１Ｄ１Ｃ１ ＝ Ａ１Ｏ ＯＢ，∴ Ａ１Ｄ１ Ｄ１Ｃ１ ＝ ＤＣＡＤ， Ａ１Ｏ ＯＢ ＝ １，所以 ＤＣ ＡＤ ＝ １，即 ＡＤ ＤＣ ＝ １． 练案［２１］ Ａ组　 基础自测 １． Ｃ　 连接Ａ１Ｂ（图略），由题意，得Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ，则∠Ａ１ＣＢ是异面 直线Ａ１Ｃ与Ｂ１Ｃ１所成的角或其补角，在△Ａ１ＢＣ中，ＢＣ 槡＝ ２， Ａ１Ｂ ＝ ＡＢ ２ ＋ ＡＡ槡 ２１ 槡＝ ２，Ａ１Ｃ ＝ ＡＣ２ ＋ ＡＡ槡 ２１ 槡＝ ２，即△Ａ１ＢＣ为 正三角形，则∠Ａ１ＣＢ ＝ ６０°，即异面直线Ａ１Ｃ与Ｂ１Ｃ１所成角的 大小为６０°．故选Ｃ． ２． Ｂ　 取ＢＣ的中点Ｈ，连接ＥＨ，ＦＨ（图略），则ＦＨ瓚 １２ ＡＣ，ＥＨ瓚 １ ２ ＢＤ，∠ＥＦＨ或其补角为ＥＦ和ＡＣ所成的角．又∵ ＡＣ ＝ ＢＤ， 且ＡＣ⊥ ＢＤ，∴ △ＥＦＨ为等腰直角三角形，∠ＥＨＦ ＝ ９０°， ∴ ∠ＥＦＨ ＝ ４５°． ３． Ｂ　 Ａ中，由α∥β，且ｍα，知ｍ∥β；Ｂ中，由ｎ⊥β，知ｎ垂直 于平面β内的任意直线，再由ｍ∥ｎ知，ｍ也垂直于β内的任 意直线，所以ｍ⊥β，符合题意；Ｃ、Ｄ中，ｍβ或ｍ∥β或ｍ与 β相交，不符合题意．故选Ｂ． ４． Ｄ　 ∵ ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ， ∴ ＰＡ⊥ＡＢ，ＰＡ⊥ＡＤ，ＰＡ⊥ＢＣ，ＰＡ⊥ＣＤ． ＡＢ⊥ＢＣ ＰＡ⊥ＢＣ ＰＡ∩ＡＢ ＝ } Ａ ＢＣ⊥平面ＰＡＢＢＣ⊥ＰＢ 由 ＣＤ⊥ＡＤ ＣＤ⊥ＰＡ ＰＡ∩ＡＤ ＝ { } Ａ ＣＤ⊥平面ＰＡＤＣＤ⊥ＰＤ． ∴ △ＰＡＢ，△ＰＡＤ，△ＰＢＣ，△ＰＣＤ都是直角三角形． ５． Ｂ　 ∵折叠前后ＡＨ⊥ＨＥ，ＡＨ⊥ＨＦ不变，ＥＨ∩ＨＦ ＝ Ｈ，∴ ＡＨ⊥ 平面ＥＦＨ，Ｂ正确； ∵过Ａ只有一条直线与平面ＥＦＨ垂直，∴ Ａ不正确； ∵ ＡＧ⊥ＥＦ，ＥＦ⊥ＨＧ，∴ ＥＦ⊥平面ＨＡＧ，在ＡＧ上找一点Ｇ′，使 ＨＧ′⊥ＡＧ， 由题意可得Ｇ′不是Ｇ或Ｆ， ∴ ＨＦ⊥平面ＡＥＦ不正确，ＨＧ⊥平面ＡＥＦ不正确，Ｄ不正确． 故选Ｂ． ６． ４　 与ＢＤ异面且成６０°角的有ＡＢ１，ＡＤ１，ＣＤ１，ＣＢ１ ． ７． ６０°　 取Ｂ１Ｃ１的中点Ｍ，连接ＢＭ，ＤＭ（图略），则ＤＭ∥Ａ１Ｃ１∥ ＡＣ，所以异面直线ＢＤ与ＡＣ所成角为∠ＢＤＭ或其补角，因为 ＤＭ ＝ １２ ＡＣ 槡＝ ５，ＢＤ ＝ １ ２ ＋ ２槡 ２ 槡＝ ５， ＢＭ ＝ １２ ＋ ２槡 ２ 槡＝ ５，所以∠ＢＤＭ ＝ ６０°， 即异面直线ＢＤ与ＡＣ所成角的大小为６０°． ８．垂直　 由已知，ＡＢ∥ＣＤ． 由ＡＢ⊥α，ＥＦα，所以ＡＢ⊥ＥＦ， 又ＢＤ⊥ＥＦ，且ＡＢ∩ＢＤ ＝ Ｂ． 所以ＥＦ⊥平面ＡＢＤＣ，ＡＣ平面ＡＢＤＣ，所以ＥＦ⊥ＡＣ． ９． ∵ ＡＢ是圆Ｏ的直径， ∴ ＢＣ⊥ＡＣ． ∵点Ｃ是弧ＡＢ的中点，∴ ＢＣ ＝ ＡＣ， ∴ ∠ＡＢＣ ＝ ４５°． 在△ＶＢＣ中，∵ Ｄ，Ｅ分别为ＶＢ，ＶＣ的中点， ∴ ＤＥ∥ＢＣ，∴ ＤＥ与ＡＢ所成的角为∠ＡＢＣ ＝４５°． １０．［证明］　 ∵ ＡＡ１⊥底面ＡＢＣ，平面Ａ１Ｂ１Ｃ１∥平面ＡＢＣ，∴ ＡＡ１ ⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１， 显然Ａ１Ｃ１平面Ａ１Ｂ１Ｃ１，∴ Ａ１Ｃ１⊥ＡＡ１ ． 又∠Ｂ１Ａ１Ｃ１ ＝９０°，∴ Ａ１Ｃ１⊥Ａ１Ｂ１，而Ａ１Ｂ１∩ＡＡ１ ＝ Ａ１，∴ Ａ１Ｃ１⊥ 平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ，又ＡＤ平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ，∴ Ａ１Ｃ１⊥ＡＤ． 由已知计算得ＡＤ 槡＝ ２，Ａ１Ｄ 槡＝ ２，ＡＡ１ ＝ ２． ∴ ＡＤ２ ＋ Ａ１Ｄ ２ ＝ ＡＡ２１，∴ Ａ１Ｄ⊥ＡＤ． ∵ Ａ１Ｃ１∩Ａ１Ｄ ＝ Ａ１，∴ ＡＤ⊥平面Ａ１ＤＣ１ ． Ｂ组　 素养提升 １． ＢＣＤ　 ∵六棱锥Ｐ － ＡＢＣＤＥＦ的底面是正六边形，∴ ＡＦ∥ＣＤ， 由线面平行的判定定理，可得ＣＤ∥平面ＰＡＦ，故Ｄ正确； ∵ ＤＦ⊥ＡＦ，ＤＦ⊥ＰＡ，又ＡＦ∩ＰＡ ＝ Ａ， ∴ ＤＦ⊥平面ＰＡＦ，故Ｂ正确                                                                       ； —２４０—