练案11 11.1.1 空间几何体与斜二测函法-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１１］ 第十一章　 立体几何初步 １１． １　 ［１１． １． １　 空间几何体与斜二测画法］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １． ＡＢ ＝ ２ＣＤ，ＡＢ∥ｘ轴，ＣＤ∥ｙ轴，已知在直观图 中，ＡＢ的直观图是Ａ′Ｂ′，ＣＤ的直观图是Ｃ′Ｄ′， 则 （　 ） Ａ． Ａ′Ｂ′ ＝ ２Ｃ′Ｄ′　 　 　 　 　Ｂ． Ａ′Ｂ′ ＝ Ｃ′Ｄ′ Ｃ． Ａ′Ｂ′ ＝ ４Ｃ′Ｄ′ Ｄ． Ａ′Ｂ′ ＝ １２ Ｃ′Ｄ′ ２．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正 确的是 （　 ） Ａ．水平放置的正方形的直观图不可能是平行 四边形 Ｂ．平行四边形的直观图仍是平行四边形 Ｃ．两条相交直线的直观图可能是平行直线 Ｄ．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直 ３．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图 形的直观图为一个正方形，则原来图形的形 状是 （　 ） ４．如图Ｒｔ△Ｏ′Ａ′Ｂ′是一个平 面图形的直观图，若Ｏ′Ｂ′ ＝ 槡２，则这个平面图形的面积 是 （　 ） Ａ． １ Ｂ．槡２ Ｃ． 槡２ ２ Ｄ． 槡４ ２ ５．如图，矩形Ｏ′Ａ′Ｂ′Ｃ′是水平放置的一个平面图 形用斜二测画法得到的直观图，其中Ｏ′Ａ′ ＝ ６ ｃｍ，Ｏ′Ｃ′ ＝ ２ ｃｍ，则原图形是 （　 ） Ａ．正方形　 　 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形　 　 Ｄ．梯形 二、填空题 ６．如图所示，平行四边形Ｏ′Ｐ′Ｑ′Ｒ′ 是四边形ＯＰＱＲ在斜二测画法 下的直观图，若Ｏ′Ｐ′ ＝３，Ｏ′Ｒ′ ＝ １，则原四边形ＯＰＱＲ的周长为　 　 　 　 ． ７．一个三角形（如图１）的直观图（如图２）为一 个边长为１的正三角形，原三角形的面积 为　 　 　 　 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 图１　 　 　 　 　 　 　 　 　 图２ ８．（２０２４·丹东高一检测）如 图所示，Ｒｔ△Ａ′Ｏ′Ｂ′表示水 平放置的△ＡＯＢ的直观图， ∠Ａ′Ｏ′Ｂ′ ＝ ９０°，点Ｂ′在ｘ′ 轴上，且Ａ′Ｏ′ ＝ １，则△ＡＯＢ 的边ＯＡ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．如图所示，四边形ＡＢＣＤ是 一个梯形，ＣＤ∥ＡＢ，ＣＤ ＝ ＡＯ ＝ １，三角形ＡＯＤ为等腰直 角三角形，Ｏ为ＡＢ的中点， 试求梯形ＡＢＣＤ水平放置的直观图的面积                                                                 ． —６４１— １０．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一 个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重 合，圆柱的底面直径为３ ｃｍ，高为４ ｃｍ，圆锥的 高为３ ｃｍ，画出此几何体的直观图． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）如图所示，△Ａ′Ｂ′Ｃ′是水平放置的 △ＡＢＣ的斜二测直观图，其中Ｏ′Ｃ′ ＝ Ｏ′Ａ′ ＝ ２Ｏ′Ｂ′ ＝ ２，以下说法正确的是 （　 ） Ａ．△ＡＢＣ是钝角三角形 Ｂ．△ＡＢＣ的面积是△Ａ′Ｂ′Ｃ′的面积的２倍 Ｃ．△ＡＢＣ是等腰直角三角形 Ｄ．△ＡＢＣ的周长是 槡４ ＋ ４ ２ ２．已知边长为１的菱形ＡＢＣＤ中，∠Ａ ＝ π３，则用 斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为 （　 ） Ａ．槡３２ Ｂ．槡 ３ ４ Ｃ． 槡６ ６ Ｄ． 槡６ ８ ３．（多选题）（２０２４·济南高一检 测）如图，△Ａ′Ｂ′Ｃ′是水平放 置的△ＡＢＣ的直观图，Ａ′Ｂ′ ＝ ２，Ａ′Ｃ′ ＝ Ｂ′Ｃ′ 槡＝ ５，则在原平 面图形△ＡＢＣ中，有 （　 　 ） Ａ． ＡＣ ＝ ＢＣ Ｂ． ＡＢ ＝ ２ Ｃ． ＡＣ 槡＝ ２ ５ Ｄ． Ｓ△ ＡＢＣ 槡＝ ４ ２ 二、填空题 ４．如图所示，△Ａ′Ｂ′Ｃ′是 水平放置的△ＡＢＣ用斜 二测画法得到的直观 图，则在△ＡＢＣ的三边 及中线ＡＤ中，最长的线 段是　 　 　 　 ． ５．如图，△Ａ′Ｏ′Ｂ′表示水平放置 的△ＡＯＢ的直观图，Ｂ′在ｘ′ 轴上，Ａ′Ｏ′和ｘ′轴垂直，且 Ａ′Ｏ′ ＝ ２，则△ＡＯＢ的边ＯＢ 上的高为　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．如图，正方形Ｏ′Ａ′Ｂ′Ｃ′的边长为１ ｃｍ，它是水 平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来 的平面图形的形状，并求原图形的周长与 面积． Ｃ组·创新拓展 　 如图所示，梯形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 是平面图形ＡＢＣＤ 的直观图．其中Ａ１Ｄ１ ∥ Ｏ′ ｙ′，Ａ１Ｂ１ ∥ Ｃ１Ｄ１， Ａ１Ｂ１ ＝ ２ ３ Ｃ１Ｄ１ ＝ ２，Ａ１Ｄ１ ＝ Ｏ′Ｄ１ ＝ １． （１）如何利用斜二测画法法则画出原四边形？ （２）如何求出水平放置的平面图形与直观图 的面积                                                                         ？ —７４１— Ｃ组　 创新拓展 　 （１）ａｒｇ ω ＝ ３π４ ，可设ω ＝ ａ － ａｉ（ａ∈Ｒ），将其代入（１ ＋ ω） ２ ＋ （１ ＋ ｉ）２ ＝ １ ＋ ｋω， 化简可得２ａ ＋ ２ａ（１ ＋ ａ）ｉ ＋ ２ｉ ＝ ｋａ － ｋａｉ， ∴ ２ａ ＝ ｋａ， ２ａ（１ ＋ ａ）＋ ２ ＝ － ｋａ{ ， 解得ｋ ＝ ２， ａ ＝ － １{ ， ∴ ω ＝ － １ ＋ ｉ． （２）｜ ｚ － ω ｜ ＝ ｜（ｃｏｓ θ ＋ １）＋（ｓｉｎ θ － １）ｉ ｜ ＝ （ｃｏｓ θ ＋ １）２ ＋（ｓｉｎ θ － １）槡 ２ ＝ ３ ＋ ２（ｃｏｓ θ － ｓｉｎ θ槡 ） 槡＝ ３ ＋ ２ ２ｃｏｓ θ ＋ π( )槡 ４ ． ∵ ｜ ｚ － ω 槡｜ ＝ １ ＋ ２， 槡∴ ３ ＋ ２ ２ｃｏｓ θ ＋ π( )槡 ４ 槡＝ １ ＋ ２， 化简得ｃｏｓ θ ＋ π( )４ ＝ １． ∵ ０≤θ ＜ ２π，π４ ≤θ ＋ π ４ ＜ ２π ＋ π ４ ， ∴ θ ＋ π４ ＝ ２π，即θ ＝ ７π ４ ． 练案［１１］ Ａ组　 基础自测 １． Ｃ　 ∵ ＡＢ∥ｘ轴，ＣＤ∥ｙ轴， ∴ ＡＢ ＝ Ａ′Ｂ′，ＣＤ ＝ ２Ｃ′Ｄ′， ∴ Ａ′Ｂ′ ＝ ＡＢ ＝ ２ＣＤ ＝ ２（２Ｃ′Ｄ′）＝ ４Ｃ′Ｄ′． ２． Ｂ　 平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，故选项 Ｂ正确． ３． Ａ　 由斜二测画法可知，与ｙ′轴平行的线段在原图中为在直观 图中的２倍．故可判断Ａ正确． ４． Ｃ　 由直观图可知，原平面图形是Ｒｔ△ＯＡＢ，其中ＯＡ⊥ＯＢ，则 ＯＢ ＝ Ｏ′Ｂ′ 槡＝ ２，ＯＡ ＝ ２Ｏ′Ａ′ ＝ ４， ∴ Ｓ△ＯＡＢ ＝ １ ２ ＯＢ·ＯＡ 槡＝ ２ ２，故选Ｃ． ５． Ｃ　 将直观图还原得到平行四边形ＯＡＢＣ，如图所示．由题意知Ｏ′Ｄ′ 槡＝ ２Ｏ′Ｃ′ 槡＝２ ２ ｃｍ， ＯＤ ＝ ２Ｏ′Ｄ′ 槡＝ ４ ２ ｃｍ，Ｃ′Ｄ′ ＝Ｏ′Ｃ′ ＝２ ｃｍ， ∴ ＣＤ ＝２ ｃｍ， ＯＣ ＝ ＣＤ２ ＋ ＯＤ槡 ２ ＝ ６ ｃｍ，又ＯＡ ＝ Ｏ′Ａ′ ＝ ６ ｃｍ ＝ ＯＣ， ∴原图形为菱形． ６． １０　 由四边形ＯＰＱＲ的直观图可知原四边形ＯＰＱＲ是矩形，且 ＯＰ ＝３，ＯＲ ＝２，所以原四边形ＯＰＱＲ的周长为２ ×（３ ＋２）＝１０． ７．槡６２ 　 如图所示，过Ａ′作Ａ′Ｑ∥ｙ′轴交ｘ′轴 于点Ｑ，作Ａ′Ｈ⊥ｘ′轴于点Ｈ，则∠Ａ′ＱＯ′ ＝４５°，Ａ′Ｈ ＝槡３２ ，所以Ａ′Ｑ ＝槡 ６ ２ ，所以原三 角形ＯＢ边上的高应为２Ａ′Ｑ 槡＝ ６，所以原三角形的面积为槡６２ ． ８． ３　 根据题意，如图①，在直观图中，作Ａ′Ｄ′∥Ｂ′Ｏ′，交ｙ′轴于点Ｄ′， ∠Ａ′Ｏ′Ｄ′ ＝ ４５°，Ａ′Ｏ′ ＝ １，则Ｏ′Ｄ′ 槡＝ ２，Ａ′Ｄ′ ＝ １，如图②，ＯＤ ＝ ２Ｏ′Ｄ′ 槡＝ ２ ２，ＡＤ ＝ Ａ′Ｄ′ ＝ １，∠ＡＤＯ ＝ ９０°，则ＯＡ 槡＝ １ ＋ ８ ＝ ３． ９．在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ ２，高ＯＤ ＝ １，由于梯形ＡＢＣＤ水平放置 的直观图仍为梯形，且上底ＣＤ和下底ＡＢ的长度都不变，在 直观图中，Ｏ′Ｄ′ ＝ １２ ＯＤ，梯形的高Ｄ′ Ｅ′ ＝槡 ２ ４ ，于是梯形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的面积为１２ ×（１ ＋ ２）×槡 ２ ４ ＝ 槡３ ２ ８ ． １０．（１）画轴．如图１所示，画ｘ轴、ｚ轴，使∠ｘＯｚ ＝９０°． （２）画圆柱的两底面，在ｘ轴上取Ａ、Ｂ两点，使ＡＢ的长度等 于３ ｃｍ，且ＯＡ ＝ ＯＢ．选择椭圆模板中适当的椭圆过Ａ，Ｂ两 点，使它为圆柱的下底面．在Ｏｚ上截取点Ｏ′，使ＯＯ′ ＝ ４ ｃｍ， 过Ｏ′作Ｏｘ的平行线Ｏ′ｘ′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱 的上底面． （３）画圆锥的顶点．在Ｏｚ上截取点Ｐ，使ＰＯ′等于圆锥的高３ ｃｍ． （４）成图．连接Ａ′Ａ、Ｂ′Ｂ、ＰＡ′、ＰＢ′，整理得到此几何体的直观 图．如图２所示． Ｂ组　 素养提升 １． ＣＤ　 根据斜二测画法可知，在原图形中，Ｏ为ＣＡ的中点，ＡＣ ⊥ＯＢ，因为Ｏ′Ｃ′ ＝ Ｏ′Ａ′ ＝ ２Ｏ′Ｂ′ ＝ ２，所以ＣＯ ＝ ＡＯ ＝ ２，ＡＣ ＝ ４， ＯＢ ＝ ２，则△ＡＢＣ是斜边为４的等腰直角三角形，所以△ＡＢＣ 的周长是 槡４ ＋ ４ ２，面积是４，故Ａ错误，Ｃ、Ｄ正确．由斜二测 画法可知，△ＡＢＣ的面积是△Ａ′Ｂ′Ｃ′的面积的槡２ ２倍，故Ｂ错 误．故选ＣＤ． ２． Ｄ　 在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ １，∠Ａ ＝ π３                                                                      ， —２２８— 则菱形的面积为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ ２Ｓ△ＡＢＤ ＝ ２ × １２ × １ × １ × ｓｉｎ π ３ ＝ 槡３ ２ ．所以这个菱形的直观图的面积为Ｓ ＝ Ｓ菱形ＡＢＣＤ 槡２ ２ ＝ 槡３ ２ 槡２ ２ ＝槡６８ ． 故选Ｄ． ３． ＢＤ　 在直观图△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，过Ｃ′作Ｃ′Ｄ′⊥ Ａ′Ｂ′于Ｄ′， 因为Ａ′Ｂ′ ＝ ２，Ａ′Ｃ′ ＝ Ｂ′Ｃ′ 槡＝ ５，所以 Ａ′Ｄ′ ＝ １，Ｃ′Ｄ′ ＝ Ａ′Ｃ ′２ － Ａ′Ｄ ′槡 ２ ＝ ２， 又∠Ｃ′Ｏ′Ｄ′ ＝ ４５°，所以Ｏ′Ｄ′ ＝ ２，Ｏ′Ａ′ ＝ １，Ｏ′Ｃ′ 槡＝ ２ ２， 所以利用斜二测画法将直观图△Ａ′Ｂ′Ｃ′还原 为原平面图形△ＡＢＣ，如图， ＯＣ 槡＝ ４ ２，ＯＡ ＝ １，ＡＢ ＝ ２，故选项Ｂ正确； 又ＡＣ ＝ ＯＡ２ ＋ ＯＣ槡 ２ 槡＝ ３３，ＢＣ ＝ ＯＢ２ ＋ ＯＣ槡 ２ 槡＝ ４１，故选项Ａ、Ｃ错误； Ｓ△ ＡＢＣ ＝ １ ２ × ＡＢ × ＯＣ ＝ １ ２ 槡 槡× ２ × ４ ２ ＝ ４ ２， 故选项Ｄ正确． ４． ＡＣ　 画出原图形如图所示，△ＡＢＣ为直角三角形，显然，ＡＣ边 最长． ５． 槡４ ２　 由直观图与原图形中与ｘ轴平行或重合的线段长度不 变，且Ｓ原 槡＝ ２ ２Ｓ直观，设ＯＢ上的高为ｈ，则１２ ＯＢ·ｈ 槡＝ ２ ２ × １ ２ × ２Ｏ′Ｂ′．因为ＯＢ ＝ Ｏ′Ｂ′，所以ｈ 槡＝ ４ ２． ６．如图，建立直角坐标系ｘＯｙ，在ｘ轴上取 ＯＡ ＝ Ｏ′Ａ′ ＝ １ ｃｍ；在ｙ轴上取ＯＢ ＝ ２Ｏ′Ｂ′ 槡＝ ２ ２ ｃｍ；在过点Ｂ的ｘ轴的平行线上取 ＢＣ ＝Ｂ′Ｃ′ ＝１ ｃｍ． 顺次连接Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ各点，即得到了原图形． 由作法可知，四边形ＯＡＢＣ为平行四边 形，ＯＣ ＝ ＯＢ２ ＋ ＢＣ槡 ２ 槡＝ ８ ＋ １ ＝ ３（ｃｍ）， ∴平行四边形ＯＡＢＣ的周长为（３ ＋ １）× ２ ＝ ８（ｃｍ），面积为１ × 槡 槡２ ２ ＝２ ２（ｃｍ２）． Ｃ组　 创新拓展 　 （１）如图，建立平面直角坐标系ｘＯｙ，在ｘ轴上截取ＯＤ ＝Ｏ′Ｄ１ ＝ １，ＯＣ ＝Ｏ′Ｃ１ ＝２， 在过点Ｄ与ｙ轴平行的线上截取ＤＡ ＝ ２Ｄ１Ａ１ ＝ ２．在过点Ａ与 ｘ轴平行的线上截取ＡＢ ＝ Ａ１Ｂ１ ＝ ２．连接ＢＣ，擦去作图过程中 的辅助线，即得到了原四边形． （２）由图可知，原四边形ＡＢＣＤ是直角梯形，上、下底边长度分 别为２，３，直角腰的长度ＡＤ ＝ ２，所以面积Ｓ ＝ ２ ＋ ３２ × ２ ＝ ５． 易得直观图中梯形的高为槡２２ ，因此其面积Ｓ′ ＝ １ ２ ×（２ ＋ ３）× 槡２ ２ ＝ 槡５ ２ ４ ． 练案［１２］ Ａ组　 基础自测 １． Ｂ　 点运动形成的是直线或曲线，故Ａ错；Ｃ中若曲线在一个 平面上，则在该平面上移动时不能形成曲面；Ｄ中没有说明移 动的方向与距离，故不一定成长方体． ２． Ｃ　 棱ＣＤ在平面ＡＢＣＤ内，故ＣＤ平面ＡＢＣＤ． ３． Ｄ　 连接ＡＣ，则ＡＣ 槡＝ ２ ２．又ＣＣ１⊥平面ＡＢＣＤ，∴ ＡＣ２１ ＝ ＡＣ２ ＋ ＣＣ２１ ＝ １２，∴ ＡＣ１ 槡＝ ２ ３． ４． ＡＢＣ　 连接Ａ１Ｂ（图略），因为Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ１，ＢＣ１的中点， 所以ＥＦ是△Ａ１ＢＣ１的中位线， 所以ＥＦ∥Ａ１Ｃ１，故Ａ、Ｂ、Ｃ正确，Ｄ错误． ５． Ｂ　 如图，在长方体中， 平面ＡＢＣＤ∥平面Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，Ａ′Ｄ′平面 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，ＡＢ平面ＡＢＣＤ，Ａ′Ｄ′与ＡＢ不 平行，且Ａ′Ｄ′与ＡＢ垂直，所以①③错． ６． ３　 平面ＡＢＣＤ，平面Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′　 平面ＡＢＣＤ 与平面Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′平行，平面ＡＢＢ′Ａ′与平面ＣＤＤ′Ｃ′平行，平面 ＡＤＤ′Ａ′与平面ＢＣＣ′Ｂ′平行，共３对．与ＡＡ′垂直的平面是平面 ＡＢＣＤ，平面Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′． ７． ７　 不相交包括与Ａ１Ｂ１平行的棱，有３条，与Ａ１Ｂ１ 异面的棱， 有４条． ８． ６　 如图所示，在长方体ＡＣ１中， 与对角线ＡＣ１ 成异面直线的是：Ａ１Ｄ１，ＢＣ，ＢＢ１，ＤＤ１，Ａ１Ｂ１， ＤＣ，所以组成６对异面直线． ９．（１）与直线Ｂ′Ｃ′平行的平面有：平面ＡＤ′，平面ＡＣ． （２）与直线Ｂ′Ｃ′垂直的平面有：平面ＡＢ′，平面ＣＤ′． （３）与平面ＢＣ′平行的平面有：平面ＡＤ′． （４）与平面ＢＣ′垂直的直线有：ＡＢ，ＣＤ，Ａ′Ｂ′，Ｃ′Ｄ′． １０．（１）点Ａ′到平面Ｂ′ＢＣＣ′的距离为Ａ′Ｂ′ ＝ ３ ｃｍ． （２）直线Ａ′Ｄ′与平面ＡＢＣＤ的距离为ＡＡ′ ＝ １ ｃｍ． （３）平面ＡＢＢ′Ａ′与平面ＣＤＤ′Ｃ′的距离为ＡＤ ＝ ２ ｃｍ． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＢＣ　 点在平面上，用“∈”表示，不能用“”表示，故Ａ不正 确；ＡＢ在α内，用“”表示，不能用“∈”表示，故Ｂ不正确                                                                       ； —２２９—